Intervals de confiança
•Interval de confiança per al paràmetre pd’una distribució de Bernouilli. Per una mostra de
tamany nd’una variable aleatòria X∼B(1, p), sigui ˆp=k
nla freqüència relativa d’éxit (kés el
número de casos favorables).
IC (p) = ˆp−zα/2rˆp(1 −ˆp)
n,ˆp+zα/2rˆp(1 −ˆp)
n!
•Interval de confiança per a la mitjana d’una distribució normal. Sigui x1, . . . , xnmostra d’una
variable aleatòria X∼N(µ, σ). Calculem la seva mitjana mostral ¯xi variància mostral s2.
–Cas variància coneguda (σ2):
IC (µ) = ¯x−zα/2
σ
√n,¯x+zα/2
σ
√n
–Cas variància desconeguda:
IC (µ) = ¯x−tα/2,(n−1)
s
√n,¯x+tα/2,(n−1)
s
√n
•Interval de confiança per a la diferència de mitjanes de variables aleatòries dependents (dades
aparellades). Sigui (x1, y1), . . . , (xn, yn)una mostra de dues variables aleatòries normals depen-
dents X∼N(µx, σx),Y∼N(µy, σy)(amb distribució conjunta normal 2-dimensional). Definim
D=X−Y∼N(µd, σd), on µd=µx−µy, i considerem la seva mostra d1, . . . , dn, amb
dk=xk−yk, que té mitjana mostral ¯
di variància mostral s2
d.
IC (µx−µy) = ¯
d−tα/2,(n−1)
sd
√n,¯
d+tα/2,(n−1)
sd
√n
•Interval de confiança per a la diferència de mitjanes de variables aleatòries independents.
Siguin x1, . . . , xnxiy1, . . . , ynydues mostres de les variables aleatòries X∼N(µx, σx)iY∼
N(µy, σy), respectivament. Calculem les corresponents mitjanes mostrals ¯x,¯yi variàncies mostrals
s2
x,s2
y.
–Cas variàncies iguals (σ2
x=σ2
y):
IC (µx−µy) = ¯x−¯y±tα/2,(nx+ny
−2)spq1/nx+ 1/ny
on s2
p=(nx−1)s2
x+ (ny−1)s2
y
nx+ny−2.
–Cas variàncies diferents (σ2
x6=σ2
y):
IC (µx−µy) = ¯x−¯y±tα/2,ν q(s2
x/nx)+(s2
y/ny)
on νés la part entera de
g=s2
x/nx+s2
y/ny2
s2
x/nx2
nx−1+s2
y/ny2
ny−1
+ 0.5.
•Interval de confiança per al qüocient de variàncies. Siguin x1, . . . , xnxiy1, . . . , ynydues mostres
de les variables aleatòries X∼N(µx, σx)iY∼N(µy, σy), respectivament. Calculem les corre-
sponents variàncies mostrals s2
x,s2
y.
IC (σ2
x/σ2
y) = 1
fα/2,(nx
−1),(ny
−1)
s2
x
s2
y
, fα/2,(ny
−1),(nx
−1)
s2
x
s2
y.
