FORMULARIO NÚMEROS COMPLEJOS
Unidad imaginaria. Es el número
−1
y
se designa por i
Números complejos: Son aquellos que se pue-
den escribir de la forma
abi ,
donde a y
b son números reales e
i
la unidad imagina-
ria.
a= Re(z) es la parte real
b=Im(z) es la parte imaginaria
El conjunto de todos los números complejos se designa por
ℂ
y se define como
ℂ:=
{
z=abi /a , b∈ ℜ
}
Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma
parte real y la misma parte imaginaria:
abi=a ' b' i a=a' y b=b '
Forma binómica de un número complejo:
z=abi
Si
b=0z=a
es un número real.
Si
b≠0y a=0z=bi ,
es un número imaginario puro.
Conjugado, opuesto e inverso de un número en forma binó-
mica: * opuesto:
−z=−a−bi
* conjugado:
z=a−bi
* inverso:
z−1=1
z=1
abi
Representación de números complejos
ℂ:=
{
Pa , b / a ,b ∈ℜ
}
A cada número complejo
z=a+bi se le hace corresponder el punto P(a,b), que se llama
afijo del número complejo.
Potencias de i:
i0=1, i1=i , i2=−1, i3=−i , i4=1, i5=i...
i254 =i463
⋅i2=1−1=−1
Operaciones con números complejos:
• Suma
abicdi=acbdi
• Resta
abi−cdi=a−cb−di
• Producto
abicdi=ac−bdadbc i
• División
abi
cdi =abic−di
cdic−di=...
Números complejos en forma polar:
r
r=
∣
z
∣
Es el módulo de un número
complejo.
Es el argumento del número
complejo, que se puede expresar en gra-
dos o en radianes. Dos números com-
plejos son iguales si tienen el mismo
módulo y el mismo argumento.
r=r ' 'r=r ' y = 'k · 360º k∈ ℤ
Tomaremos siempre
∈[ 0,360 º)
Conjugado, opuesto e inverso de un número en forma polar:
•opuesto:
−z=r180º
•conjugado:
z=r−
•inverso:
z−1=1
z=1
r
=10º
r
=
1
r
−
Paso de forma binómica a polar:
r=
∣
z
∣
=
a2b2tg= b
a =arctg
b
a
Paso de forma polar a binómica:
a=rcos b=r sen
Forma trigonométrica:
z=abi=rcos r seni=rcos i sen
Producto de números complejos en forma polar:
r
⋅r ''=r⋅r ' '
Cociente de números complejos en forma polar:
r
r''
=
r
r'
− '
Potencias de números complejos:
rα
n=r
⋅r
⋅r
⋅...r
n veces
=r · r ·r ·... · r ...=rnn
Fórmula de Moivre:
zn=rn=rncos ni sen n
Si r =1, es muy útil
en trigonometría:
1n=cos i sen n=cosni sen n
Raíces de números complejos:
n
r=
n
r
360º k
n
Siendo k = 0, 1, 2,.., (n-1)
Los afijos de
n
r
son los
vértices de un polígono regular
de n lados inscrito en una cir-
cunferencia de radio
n
r
Formula del binomio de Newton
abin=∑
k=0
n
n
k
an−kbik
r
r−
r
