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FORMULARIO DE TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN
Densidad Espectral y Función de Autocorrelación de una Señal
Señales definidas en energía
Autocorrelación
R
x
(τ )= x( τ )∗x
(t−τ )= ∫
−∞
∞
x (t )⋅x
( t−τ )⋅dt
Densidad espectral de energía Energía media
G
x
( ω )=TF {
R
x
( τ ) }
∫
−∞
∞
R
x
( τ )⋅e
− j ωτ
⋅dτ=∣X ( ω )∣
2
E
x
2π
∫
−∞
∞
G
x
ω
⋅dω=R
x
Señales definidas en potencia
Autocorrelación x(t) periódica x(t) arbitraria
R
x
(τ )=〈 x ( t )⋅x
(t−τ )〉
R
x
(τ )=
T
0
∫
T
0
x ( t )⋅x
(t−τ )⋅dt
R
x
(τ )= lim
T → ∞
T
∫
−T / 2
T / 2
x ( t )⋅x
( t−τ )⋅dt
Densidad espectral de potencia Potencia media
S
x
( ω) =TF
{
R
x
( τ )
}
∫
−∞
∞
R
x
( τ )⋅e
− j ωτ
⋅dτ P
x
=S
x
=〈∣x
t
2
2π
∫
−∞
∞
S
x
ω
⋅dω=R
x
PAM -banda base-
Densidad espectral de
potencia de la PAM
Simplificación de S x
(ω) si los a[n] están incorrelados
x (t )= ∑
n=−∞
∞
a
n
· h(t−nT )
S
x
(ω)=
1
T
·∣H (ω)∣
2
· S
a
(ω)
S
x
(ω)=
σ
a
T
·∣H (ω)∣
2
2 π
T
2
m
a
2
m=−∞
∞
∣H (m ·
2 π
T
)∣
2
·δ (ω−m
2 π
T
)
Transformada de una función periódica
x ( t) = ∑
k =−∞
∞
a
k
e
jk ω
0
t
X ( ω )=2π ∑
k =−∞
∞
a
k
δ
ω−kω
0
Muestreo de señales
x
s
(t) = x(t) s(t) X
s
(f) = X(f) S(f) f
s
2W + G (f. de NIQUIST)
Muestreo ideal
Muestreo ideal
x
s
( t )=x ( t) ∑
n=−∞
∞
δ
t−nT
s
X
s
ω
T
s
∑
k =−∞
∞
X
ω−kω
s
, con ω
s
2π
T
s
Muestreo practico
Muestreo natural
x
s
( t )=x ( t)⋅
∑
n=−∞
∞
p
t−nT
s
X
S
ω
T
s
∑
k =−∞
∞
P
kω
s
⋅X
ω−kω
s
Muestreo instantáneo
x
s
( t )=
∑
n=−∞
∞
x
nT
s
⋅p
t−nT
s
X
s
ω
T
s
P
ω
∑
k =−∞
∞
X
ω−kω
s
MODULACIONES DE AMPLITUD
Modulacion A.M.
x
A. M.
( t )= A
p
[
1 + m x
n
( t )
]
cos ( ω
p
t ) m=
∣x ( t )∣
max
A
p
x
n
t
x ( t )
∣x ( t )∣
max
P
m
[
x
AM
( t )
]
A
P
2
m
2
A
P
2
S
xn
= P
P
+ 2P
BL
P
CRESTA
[
x
AM
]
[
A
P
t
max
]
2
A
P
2
[ 1 + m]
2
Modulación D.B.L.
x
DBL
( t )=A
P
· x ( t) cos(ω
p
t ) P
m
[
x
DBL
t
]
A
P
2
S
x
=2P
BL
P
CRESTA
[
x
DBL
t
]
[
A
P
∣x
t
max
]
2
Modulación B.L.U.
x
BLU
( t )=
A
P
x ( t ) cos (ω
P
t )∓
A
P
x ( t ) sen( ω
P
t )
P
m
[
x
BLU
t
]
P
m
[
x
DBL
t
]
A
P
2
S
x
Modulación B.L.V.
x
BLU
( t )=x ( t )∗h ( t )=
A
P
x ( t ) cos( ω
P
t )∓
A
P
q ( t ) sen( ω
P
t )
P
m
[
x
BLV
t
]
P
m
[
x
DBL
t
]
A
P
2
S
x
Modulación B.L.C.
x
BLU
( t )=
A
P
[
1 + μx ( t )
]
cos ( ω
P
t )∓
A
P
m q ( t ) sen ( ω
P
t )
P
m
[
x
BLC
( t )
]
= P
m
[
x
BLV
( t )
]
+P
m
[
p ( t )
]
A
P
2
S
xn
A
P
2
=2P
BL
+P
P
Ancho de banda
B
[
x
AM
( t)
]
=2W
x
B
[
x
DBL
( t )
]
=2W
x
B
[
x
BLU
( t )
]
=W
x
B
[
x
BLV
( t )
]
=W
x
1
B
[
x
BLC
( t )
]
=W
x
1
MODULACIONES ANGULARES
x t A cos t A cos t t
MA P P P
t desviaciónmáximadefase
max
pulsación instantanea
ω
i
t
dθ ( t )
dt
=ω
p
d ϕ ( t)
dt
frecuencia instantanea
f
i
t
= f
P
2π
d ϕ ( t )
dt
= f
P
i
t
desviacion maxima de frecuencia
Δf =∣Δf
i
( t )∣
max
Modulación FM
Δω
i
( t )=ω
d
x ( t )
ϕ ( t )=2πf
d
∫
t
x ( λ ) dλ= ω
d
∫
t
x ( λ) dλ
x
FM
( t )= A
P
cos
[
ω
P
t +ω
d
∫
t
x ( λ) dλ
]
Modulación FM con un tono
[
x ( t )=A
m
cos ( ω
m
t )
]
x
FM
( t )= A
P
cos
[
ω
P
t +ω
d
∫
t
A
m
cos ( ω
m
λ ) dλ
]
= A
P
cos
[
ω
P
t+ β sen( ω
m
t )
]
= A
P
∑
n=−∞
∞
J
n
( β ) cos
[
ω
P
m
t
]
Δω=ω
d
∣x ( t )∣
max
=ω
d
A
m
ϕ ( t )∣
max
= β=
ω
d
A
m
ω
m
Δω
ω
m
B
[
x
FM
( t )
]
= 2 M ω
m
B
[
x
FM
( t )
]
≈ 2 ( β+a) ω
m
Modulación FM multitono [
x
1
( t )= A
1
cos( ω
1
t )+ A
2
cos(ω
2
t )
]
[
ω
1
ω
2
]
x
FM
( t )= A
P
cos
[
ω
P
t + β
1
sen ( ω
1
t )+ β
2
sen( ω
2
t )
]
= A
P
∑
k =−∞
∞
∑
n=−∞
∞
J
k
β
1
J
n
β
2
cos
[
ω
P
+kω
1
+nω
2
t
]
β
1
ω
d
A
1
ω
1
β
2
ω
d
A
2
ω
2
B
[
x
FM
( t )
]
= 2 M ω
1
B
[
x
FM
( t )
]
β
1
+a
ω
1
Modulación FM para una x(t) cualquiera
Δω=ω
d
∣x ( t )∣
max
ϕ ( t )∣
max
=D=
ω
d
∣x ( t )∣
max
W
x
Δω
W
x
B
[
x
FM
( t )
]
≈ 2 ( D+a ) W
x
Modulación PM
t x t
d
t x t D
d max max
dt
dxt
t
i d
x t A t x t
PM P P d
cos
Multiplicador de frecuencia ( k )
x t A K tt A tt
MA P i P i
cos cos
P P
K
t K t
d d
K
K ´ D KD
FM x x
B x t KDaW DaW
Ruido en demodulación angular
PM FM
FM deénfasis
(B de
<<W)
FM banda
ancha (d>>1)
N D
R
x
S
N W
0
R
x
S
NW
3
0
R
x
de
S
W
N B
2
0
(S/N) D
d x
S
2
xn
D S
2
3
x
de
d
S
B
2
x
x
T
S
W
B
2
4
3
dB
N
S
RTh
10
20 M(D) 20 (D 2 )
th
(
S
N
)
Dth
= 60 D
2
( D+ 2 )S
xn
Teoría de la Información
Entropía
H ( S )=
∑
k = 0
M − 1
p
k
log
2
(
p
k
)
Eficiencia de un
codificador
η=
H ( S )
L
Entropía Condicional
H ( X /Y ) =
∑
k = 0
K − 1
∑
j= 0
J − 1
p
x
j
, y
k
log
2
(
p
x
j
/ y
k
)
, con
p
x
j
, y
k
= p
x
j
/ y
k
p
y
k
Entropía Conjunta
H ( X , Y )=
∑
k = 0
K− 1
∑
j= 0
J − 1
p
x
j
, y
k
log
2
(
p
x
j
, y
k
)
Información mutua
I(x; y) = h(x) – h(x/y) I ( X ; Y )=
∑
k = 0
K − 1
∑
j= 0
J − 1
p
x
j
, y
k
log
2
(
p
x
j
/ y
k
p
x
j
)
I(x; y) = h(y) – h(y/x) I(x; y) = h(x) + h(y) – h(x,y)
Capacidad (canal discreto sin memoria)
C=máx I ( X ;Y ) ( bits /uso)
{
p
x
j
)}
Variables aleatorias continuas
Entropía Diferencial
h
X
∫
−∞
∞
f
X
x
log
2
(
f
X
( x ) )
dx h
X
∫
−∞
∞
f
⃗ X
x
log
2
(
f
⃗
X
x
) )
d ⃗x
Información Mutua I ( X ; Y )= ∫
−∞
∞
∫
−∞
∞
f
XY
( x , y ) log
2
(
f
X
x / y
f
X
( x )
)
dxdy
Entropía Condicional
h
X /Y
∫
−∞
∞
∫
−∞
∞
f
XY
x , y
log
2
(
f
X
( x / y ) )
dxdy
Entropía Conjunta
h
X , Y
∫
−∞
∞
∫
−∞
∞
f
XY
x , y
log
2
(
f
XY
( x , y )
)
dxdy
Capacidad de Canales
Gaussianos (Limitados en
Potencia y Ancho de Banda)
C=
log
2
(
P
σ
2
)
bits / uso
C=B log
2
(
P
N
0
B
)
bits /s
Probabilidad de error
Sistema M-ario unidimensional
P
e
2 ( M − 1 )
M
Q
(
d
2N
0
)
Cota de la unión
P
e
M
∑
i= 1
M
∑
k= 1
k ≠i
M
Q
(
d
ik
2N
0
)
Cota de la unión simplificada
P
e
≤( M − 1 )⋅Q
(
d
mín
2N
0
)
Filtro de coseno alzado, 0≤ α ≤
h( t )=sinc
(
t
T
)
cos
(
πα t
T
)
4α
2
t
2
T
2
H (ω )=
1 ∣ω∣≤π
1 −α
T
2 [
1 +cos
(
T
2α
(
∣ω∣−π
1 −α
T
) )
]
π
1 −α
T
<∣ω∣<π
1 +α
T
0 resto
Fuente: Oppenheim, Willsky, Señales y Sistemas. Prentice-Hall, 1998
