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A mis alumnos
se pretende enseñar las bases de los fenómenos físicos que subyacen en las aplicaciones tecnológicas de las telecomunicaciones, que iréis estudiando en^ Con este tema se inicia nuestra andadura, la vuestra y la mía, en la asignatura de Fundamentos Físicos I. Con ella, junto con Fundamentos Físicos II, cursos siguientes y usaréis en vuestra vida profesional como ingenieros. El conocimiento de la base del fenómeno es lo que os capacitará para aplicarlo correctamente en situaciones parecidas, pero sobre todo, para innovar y resolver situaciones nuevas del futuro. No desdeñéis profundizar ahora en los principios físicos, eso habréis ganado para el éxito en el futuro.
Leed esta cita de alguien muy importante para los físicos y los ingenieros de las telecomunicaciones: J.C. Maxwell. Por favor, leedla entera porque si de algo sirven todos los años que llevo enseñando física es para deciros que lo que decía Maxwell hace siglo y medio, sigue siendo absolutamente válido ahora, y es la verdadera clave para tener éxito en la asignatura.
Ánimo y ¡buen comienzo!
……… Pero esfuerzo intelectual no equivale a pensar. Y aquellos que, con gran trabajo, han adquirido el hábito de aplicarse a su tarea, frecuentemente encuentran mucho más sencillo aprenderse una fórmula de memoria que dominar un principio físico. Voy a esforzarme en demostrarles, y ustedes mismos lo verificarán más adelante, que los principios son fértiles en resultados, mientras que los resultados por sí mismos son estériles. Quien se aprende una fórmula se halla a merced de su memoria; pero el que domina un principio puede mantener la cabeza libre de fórmulas, pues sabe que puede fabricar las que le hagan falta, en el momento que quiera. ¿Será necesario añadir que, a pesar del rechazo natural del espíritu ante el duro proceso de pensar, este proceso, una vez realizado, hace sentir al espíritu un poder y alegría que le animan a seguir adelante, olvidando el trabajo y las angustias que acompañan el paso de un estado de desarrollo a otro? Conferencia inaugural en el King´s College de Londres (1860). Texto reproducido en la revista American Journal Physics 47, 928 (1979)^ J.C. Maxwell
Tema 1: Campos escalares y vectoriales
Con él iniciamos la forma de manejarnos con los dos tipos de magnitudes físicas: las magnitudes escalares y las vectoriales. Aunque es un tema más de matemáticas que de física, es muy importante porque permite establecer las reglas del juego para el resto de la asignatura. Dominar este tema es tener mucho ganado para los siguientes.
a
u
O H
Producto escalar de dos vectores (proyección). El resultado es un escalar obtenido como: a b a b cos Interpretación geométrica: es la proyección de uno de los vectores en la dirección del otro multiplicado por el módulo del otro vector. Efectivamente: la proyección de a en la dirección del vector b es OH :OH a cos la proyección de b en la dirección del vector aes OM :OM b cos
Aplicación: La proyección de un vector a en una determinada dirección puede obtenerse como el producto escalar del vector a y un vector unitario u en la dirección en la que se desea proyectarlo. La proyección de aen la dirección de u es OH OH a cos a u
Propiedades del producto escalar 1.- Conmutativa:a b b a 2.- Asociativa respecto a la multiplicación por un escalar: (a b) ( a) b a ( b) 3.- Distributiva respecto de la suma: a (b c) a b a c 4.- Para el producto escalar ¿tendría sentido hablar de propiedad asociativa?, es decir,^ a (b c)^ ?(a b) c
a
b
a
b
O
H
M a b^ ^ a b cos^ ^ OH b^ OM a
Producto vectorial de dos vectores. El resultado del producto vectorial de dos vectores a y b es otro vector, c, tal que c a b. Su módulo se obtiene como c a b a b sen, siendo el ángulo formado por a y b. Su dirección es perpendicular al plano formado por a y (^) b y su sentido es el del sacacorchos que gira del primer vector al segundo por el camino más corto.
Interpretación geométrica: el módulo del producto vectorial de dos vectores representa el área del paralelogramo que definen. Efectivamente: Área del paralelogramo: “base” por “altura” h
S a h a b sen a b
Aplicación: vector superficie.
Propiedades 1.- Asociativa respecto a la multiplicación por un escalar: (a b) ( a) b a ( b) 2.- Distributiva respecto de la suma: a (b c) a b a c 3.- No cumple la propiedad conmutativa: a b b a ; a b b a 4.- No cumple la propiedad asociativa: a (b c) (a b) c
b a
c
b h a ds
Derivada de un vector respecto de un escalar
Sea a un vector expresado, por ejemplo, en cartesianas: a a ux x a uy y a uz z donde ax, ay y az
pueden ser función de un escalar s. La derivada de dicho vector respecto del escalar s es:
dads dads (^) x u (^) x dads y u (^) y dadszuz
Este escalar puede ser, por ejemplo, el tiempo, es decir, s t;
Por tanto, derivar un vector con respecto a un escalar s, es derivar cada una de las componentes del vector con respecto a dicho escalar.
La derivada respecto de un escalar s del producto escalar de dos vectores es:
d(a b)ds dads b a dbds
La derivada respecto de un escalar s del producto vectorial de dos vectores es:
d(a b) (^) da (^) b adb ds ds ds
Sistemas de coordenadas
Coordenadas cartesianas (x, y, z) vectores unitarios: u x , uy , uz, o bien i , j, k
Vector de posición de P: r xu (^) x yu (^) y zuz Desplazamiento elemental de r a r ^ r dr, o elemento de longitud : dr dl dxu (^) x dyu (^) y dzuz Elementos de superficie , o superficies elementales : ds 1 dxux dyuy dxdy(u (^) x u )y dxdyuz ds 2 dyuy dzuz dydz(u (^) y u )z dydzux ds 3 dzu (^) z dxux dzdx(uz u )x dzdxuy
Elemento de volumen , o volumen elemental : d^ ^ dxux^ (dyu^ y ^ dzu )z dxdydz Cualquier otro vector se expresa como: A A ux x A uy y A uz z / A 2 A A A (^2) x^ A^2 y A^2 z
con:
x x y y z z
A A u Acos A A u Acos A A u Acos
, donde los ángulos , y se llaman ángulos de los cosenos directores
uz
Y
X
Z
r
ux
uy
x y
z
P
r dy^ dx
dz dr
ds 1
ds 3 ds 2
r dr
(^)
Vector de posición : r u (^) zuz Comprobación: partiendo de ren cartesianas, y teniendo en cuenta las relaciones cartesianas cilíndricas r xu (^) x yuy zuz cos cos^ u (^) sen u (^) ^ sen sen u^ (^) cos u (^) zu (^) z ( cos^2 sen 2 )u (^) z uzu (^) zuz Desplazamiento elemental : dr dl d( u (^) zu )z d u (^) du (^) dzuz d u (^) d u (^) dzuz
Elementos de superficie:
2 z z
1
3
z z
d u d u d d (u u ) z dzu d u dzd (u u ) d u dzu d
ds d d u ds d dz u ds dz(u u ) d dz u
Elemento de volumen: d d u (^) ( d u (^) dzu )z d d dz
Cualquier otro vector se expresa como: A A u A u A uz z / A 2 A A A (^2) ^ A^2 ^ A^2 z
X
Y
Z ds 1 ds 2
ds 3
dr
Coordenadas esféricas (r, , ) u , u , ur ( entre sí)
Relaciones entre coordenadas cartesianas esféricas
x r sen cos y r sen sen z r cos
r x 2 y 2 z^2
2 2 2 2 2
r x y z
tg x^ y z tg y x
^
r x y z x y z x y
u sen cos u sen sen u cos u u cos cos u cos sen u sen u u sen u cos u
x r y r z r
u sen cos u cos cos u sen u u sen sen u cos sen u cos u u cos u sen u
Derivada de los vectores unitarios ( u , u , ur son función de y )
r r
r
r
u (^) u u sen u
u (^) u u cos u u 0 u sen u cos u
(^) (^) (^)
Y
X
Z
r u
u ur
Concepto de campo: Región del espacio en la que en cada punto de esa región puede asignarse un
valor de una cierta magnitud. Si la magnitud es escalar campo escalar (punto de la región tiene asignado un número) Si la magnitud es vectorial campo vectorial (punto de la región tiene asignado un vector con su módulo, dirección y sentido)
Posibilidades: Campo (escalar o vectorial) uniforme: la magnitud tiene el mismo valor en todos los puntos. Sin embargo, el valor podría variar en el tiempo siempre que varíe igual en todos los puntos, y a la vez. Campo (escalar o vectorial) constante: si el valor de la magnitud en cada punto no varía en el tiempo. Sin embargo, el valor de la magnitud podría ser distinto entre unos puntos y otros. Ejemplos: Campo vectorial uniforme y constante: Een un condensador planoparalelo cargado. Mientras se está cargando, o descargando, la carga está cambiando en el tiempo Eserá uniforme pero no constante. Campo escalar uniforme y constante: un cuerpo en equilibrio térmico y aislado. Todos los puntos del cuerpo tienen igual temperatura. Campo vectorial no uniforme y no constante: campo de velocidades del agua en un río. Distintos puntos tienen distintas velocidades, y cambiantes. Campo escalar no uniforme y no constante: la presión atmosférica en una cierta región. La presión varía con la altura y es una magnitud que varía con el tiempo (dependiendo de las condiciones climatológicas).
Forma de representar un campo
un campo escalar, (x,y,z) por superficies equiescalares, que son el lugar geométrico de puntos
que tienen el mismo valor de la magnitud escalar que estemos representando.
Si se representan en un plano pasan a ser líneas o curvas equiescalares Ejemplos:
isóbaras en los mapas del tiempo: curvas que unen puntos de igual presión atmosférica
curvas de nivel en un mapa geográfico
superficies de igual potencial eléctrico (equipotenciales) creadas por cargas eléctricas
Dos superficies equiescalares, o dos curvas equiescalares, nunca podrán cortarse ya que en los puntos de intersección el campo escalar no estaría unívocamente determinado.
Gradiente de un campo escalar. Sea (r)un campo escalar (r) (x,y,z) en cartesianas,
o bien (r) ( , ,z) en cilíndricas, o bien (r) (r, , ) en esféricas.
El gradiente de un campo escalar es una generalización del concepto de derivada cuando el campo escalar depende de más de una variable. Da información de cómo varía el campo escalar (r) según la dirección en la que nos movamos en el espacio.
¿Qué expresión tiene? Imaginemos que queremos calcular cuánto varía la magnitud escalar cuando pasamos de un punto P a otro P´ muy muy próximo a P , es decir, separados entre sí un (^) dr. Por matemáticas sabemos que
habrá variado una cantidad elemental, o infinitesimal, d, que, si estamos trabajando en cartesianas, se calcularía como:
r r^ dr
dr
(r) d
P ^ (r)^ (r^ ^ dr)^ (^ r)d P´
3 i (^1) i i^ x^ y^ z^ x^ y^ z
x y z
dr
d dx dx dy dz u u u (dxu dyu dzu )
grad dr d
x x y z x y z
x u^ y u^ zu^ dr r
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ (^)
^ ^
donde
^ ^ ^ ^ ^ ^ (^) (^) operador vectorial
x y z nab
x y z la
grad x u y u zu xu y u zu y se le llama gradiente de .
El concepto de gradiente sólo es aplicable a campos escalares aunque el gradiente de un campo escalar es siempre un vector, por tanto, con módulo, dirección y sentido en cada punto.
Significado físico del gradiente:
módulo de gradiente de .
De forma totalmente general se ha obtenido la propiedad importante:
d dr dr cos^ donde^ ^ es el ángulo entre^ y dr
Propiedad importante del gradiente de un campo escalar
cte, es decir, el gradiente de un campo escalar siempre es perpendicular, en cada
punto, a las superficies equiescalares, es decir, a las supeficies = cte. Justificación: Sean dos puntos, P y P´ , con vectores de posición r y r r dr, pertenecientes ambos a la misma superficie equiescalar, = cte.
Puesto que d dr es un resultado general (independiente del sistema de coordenadas en el que se expresen y dr),
para los puntos P y P´ anteriores se tiene que: d = 0 dr; pero como dr pertenece (es tangente) a la superficie equiescalar cte
Estudio de las propiedades de un campo vectorial. Sea F(r) un campo vectorial
F(r) F(x,y,z) en cartesianas, o bien F(r) F( , ,z) en cilíndricas, o F(r) F(r, , ) en esféricas.
De un campo vectorial F(r) existente en una cierta región interesa conocer si tiene fuentes o
sumideros y si sus líneas de campo tienen tendencia a rotar alrededor de algún punto de la región. Eso
lo estudiamos con las operaciones vectoriales divergencia del campo vectorial , div F, y rotacional del
campo vectorial , rot F.
Cuando estudiamos cómo es el campo F(r) en puntos concretos de la región estamos haciendo un:
Estudio de las propiedades locales de F(r) formulación diferencial de los campos
Pero si extendemos el estudio a regiones de dimensiones finitas (curvas, superficies, volúmenes…) estamos haciendo una formulación integral de los campos
Podemos pasar de una formulación a otra: formulación diferencial formulación integral, aplicando 2 teoremas: teorema de la divergencia y de Stokes, que veremos más adelante.
