Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: Teoria de la comunicacion, Profesor: ROSA ROSA, Carrera: Ingeniería en Tecnologías de Telecomunicación, Universidad: UAH
Tipo: Apuntes
1 / 57
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Bibliograf´ıa
´Indice
1.- Probabilidad
2.- Variables aleatorias
3.- Caracter´ısticas de las variables aleatorias
4.- Modelos de Probabilidad
Relaci´on de eclipses totales de sol hasta el a˜no 2030: 21 de agosto de 2017, 2 de julio de 2019, 14 de diciembre de 2020. 4 de diciembre de 2021, 8 de abril de 2024, 12 de agosto de 2026∗∗, 2 de agosto de 2027∗∗, 22 de julio de 2028, 25 de noviembre de 2030.
Los fen´omenos que observamos se pueden clasificar en
Un fen´omeno determinista es aquel cuya ocurrencia y resultado se conoce con antelaci´on. En contraposici´on, son aleatorios aqu´ellos cuyo resultado no se conoce con total seguridad hasta despu´es de que han tenido lugar.
Ejemplos de fen´omenos aleatorios: n´umero de llamadas recibidas en una central telef´onica en un d´ıa, volumen de lluvia caida en una ciudad en un a˜no, valor de una se˜nal distorsionada por un ruido, la cotizaci´on que tendr´a ma˜nana un activo financiero...
En todos los ejemplos anteriores no se dispone de una f´ormula matem´atica expl´ıcita que nos proporcione por adelantado su valor. La oportunidad de ocurrencia de fen´omenos aleatorios se eval´ua mediante probabilidades.
Espacio muestral y sucesos
El conjunto de todos los posibles resultados del experi- mento aleatorio se llama espacio muestral y lo deno- taremos por Ω. Algunos ejemplos son:
i) Lanzamiento de un dado. Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
ii) Si se controla el n´umero de defectos en las piezas procedentes de una producci´on industrial, por ejem- plo ruedas para veh´ıculos, los posibles resultados son todos los n´umeros naturales incluido el cero.
iii) Radiaci´on emitida por una antena de telefon´ıa m´ovil Ω = (0, ∞)
Los espacios muestrales pueden ser finitos o no, as´ı como discretos o continuos.
Cualquier subconjunto del espacio muestral, E, se de- nomina suceso.
En el ejemplo i), ‘sale par’ se corresponde con E = { 2 , 4 , 6 } mientras que en el ejemplo iii), el suceso ‘la radiaci´on es superior a 450 microvatios por cm^2 ’ equivale a F = (450, ∞).
Operaciones y ´algebra de sucesos
Sean E y F dos sucesos cualesquiera en Ω. Se definen las siguientes operaciones:
De la uni´on de dos sucesos se puede obtener la totalidad del espacio muestral, tambi´en llamado suceso seguro. Por ejemplo, E = ‘sale par’y F = ‘sale impar’.
Por el contrario, la intersecci´on de dos sucesos E y F que no tienen resultados comunes da lugar al conjunto vacio o suceso imposible denotado ∅. En este ´ultimo caso E y F se dicen excluyentes o incompatibles.
Para cualquier suceso E se define como complemen- tario de E, denotado Ec, al suceso que est´a formado por todos los posibles resultados del experimento aleatorio que no est´an en E. Por tanto se tiene que Ec^ ocurre si y s´olo si E no tiene lugar, es decir, ambos son excluyentes.
Ejemplo: Lanzamiento de un dado Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
E 1 = Salir m´ultiplo de 3 = { 3 , 6 }
E 2 = Salir par = { 2 , 4 , 6 }
E 3 = Salir 6 = { 6 }
E 4 = Salir impar = { 1 , 3 , 5 }
E 1 ∩ E 2 = { 6 }, E 1 ∪ E 2 = { 2 , 3 , 4 , 6 }, E 1 c = { 1 , 2 , 4 , 5 }
E 3 ⊆ E 2 , E 3 ⊆ E 1 , E 4 ∩ E 2 = ∅
La relaci´on de implicaci´on entre dos sucesos, A ⊆ B, significa que siempre que ocurre A, entonces ocurre B. El rec´ıproco no tiene por qu´e ocurrir, puede producirse la ocurrencia de B sin que A haya tenido lugar.
Asignaci´on de la probabilidad
Frecuentista: En experimentos que pueden ser repeti- dos en las mismas condiciones, la probabilidad se inter- preta como el l´ımite de la frecuencia relativa a medida que crece el n´umero de experimentos. Por ejemplo, la proporci´on de caras en 10^6 lanzamientos de moneda se aproxima a 12 o cuando estimamos que la fracci´on de piezas defectuosas en una producci´on, a partir de la ob- servaci´on de 50000 piezas, es del 1%.
Subjetiva: En experimentos que no son susceptibles de ser repetidos una y otra vez, la probabilidad viene a significar una medida de certidumbre. As´ı por ejemplo puedo apostar 10 a 1 a que el caballo A ganar´a al B en una carrera, significando que veo 10 veces m´as posible el ´exito del caballo A.
0 50 100 150 200 250
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
Número de intentos
Frecuencia relativa número de caras
Frecuencia relativa número de caras vs número de intentos
Se constata c´omo limn→∞ n´umero de caras n → (^12)
Principales consecuencias de los axiomas:
∪ni=1Ei
∑n i=1 P^ (Ei)
Para la uni´on de n sucesos:
P (^) (∪ni=1Ei) =
∑^ n
i=
P (Ei) −
i<j
P (^) (Ei ∩ Ej) +
i<j<k
P (Ei ∩ Ej ∩ Ek) +... +
+... + (−1)n^
i 1 <i 2 <...<in− 1
P (^) (Ei 1 ∩... ∩ Ein− 1 )
Probabilidad Condicional
En ocasiones la probabilidad asignada a un suceso en unas condiciones experimentales dadas, debe ser re- visada al conocerse cierta informaci´on adicional que pue- de afectar al resultado de aqu´el. La probabilidad de un suceso, cuando se conoce que otro ha tenido lugar, se denomina probabilidad condicional.
Ejemplo En sistema de comunicaci´on la tasa de error es de un bit por cada mil transmitidos. Los errores se producen raramente pero cuando ocurren tienden a hacerlo de modo que afectan a varios bits consecutivos. Si se transmite s´olo un bit, ser´a err´oneo con probabili- dad 1/1000; sin embargo, si el bit anterior era err´oneo, podr´ıamos pensar en que el siguiente lo ser´a tambi´en con probabilidad mayor que 1/1000.
Ejemplo Supongamos que en un lote de 100 unidades de un determinado producto hay 2 que no cumplen las especificaciones, resultando, por consiguiente, defectuo- sas. Si se eligen dos unidades al azar, ¿cu´al es la proba- bilidad de que la segunda sea defectuosa, siendo que la primera no lo era?, ¿c´omo se modifica la probabilidad anterior si la primera result´o ser defectuosa?
Definici´on 1 La probabilidad condicional de un suceso B dada la ocurrencia de otro, A, tal que P (A) > 0 , se denota P (B|A) y viene dada del siguiente modo
Regla de Bayes
En ocasiones, conocemos cu´al es la probabilidad de un suceso condicionado a la ocurrencia de otro, sin em- bargo desear´ıamos saber la probabilidad condicionada a la inversa. Pensemos por ejemplo en los filtros dise˜nados para identificar el correo spam. En general, se suele conocer cu´al es la probabilidad de error en el sentido de que la prueba identifique como spam un mensaje leg´ıtimo; esta situaci´on se denomina falso positivo. Nues- tro inter´es se dirige hacia la probabilidad de que un men- saje sea spam cuando el filtro lo identifica como tal.
Regla de Bayes
Sean {Ai}∞ i=1 tales que Ai ∩ Aj = ∅, i ̸= j,
i=1 Ai^ = Ω (sistema completo de sucesos) y P (Ai) > 0, para todo i. Sea B otro suceso, entonces
P (Ai|B) =
P (B|Ai)P (Ai) ∑∞ j=1 P^ (B|Aj)P^ (Aj)
Independencia de sucesos
En algunos casos, la probabilidad de un suceso B no depende de la ocurrencia, o no, de otro A. En estas situaciones, el conocimiento de que A ha tenido lugar, no afecta a la probabilidad de que el experimento aleato- rio de B como resultado.
Dos sucesos A y B son independientes si y s´olo si se verifica cualquiera de las siguientes condiciones
Teorema 1 Si A y B son dos sucesos independientes, entonces se tiene:
Sucesos mutuamente independientes
La anterior definici´on de independencia se refiere a pare- jas de sucesos. Si tenemos la independencia entre A y B, B y C as´ı como la de A y C, no se infiere que P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C).
Los sucesos (Ai)ni=1 se dicen mutuamente indepen- dientes cuando para cualquier subconjunto se verifica
Aij
)k
j=
∏^ k
j=
P (Aij ), ∀ 1 ≤ i 1 < i 2... ik ≤ n, 2 ≤ k ≤ n
RX , denominado rango, recorrido o soporte es el con- junto de todos los posibles valores de X. En las variables aleatorias reales, RX un subconjunto de los reales. Im- portante: a cada ω en Ω, X le asigna un ´unico valor.
Ejemplo: Se lanza una pareja de dados, obteni´endose premio si la suma de las puntuaciones de sus caras es 3.
Ω = {(x 1 , x 2 ); x 1 = 1, 2 ,... , 6; x 2 = 1, 2 ,... , 6 } RX = { 2 , 3 ,... , 12 }
La probabilidad de obtener premio es
P (X = 3) = P ((1, 2) ∪ (2, 1)) =
= P ((1, 2)) + P ((2, 1)) =
En general, para cualquier B ⊂ RX , se tiene
P (B) = P (^) ({s ∈ Ω|X(s) ∈ B})
Para evaluar probabilidades podemos utilizar la funci´on de distribuci´on
Definici´on 3 La funci´on de distribuci´on, FX (x), de una variable aleatoria X se define:
FX (x) = P (X ≤ x), −∞ < x < ∞
Dado que FX (x) es una probabilidad, para cualquier x se debe tener 0 ≤ FX (x) ≤ 1. Adem´as, FX (x) es no decreciente en x.
Dependiendo de su rango las variables aleatorias se clasi- fican en
Ejemplos de variables discretas: n´umero de bits recibidos con error en una transmisi´on, n´umero de ara˜nazos en una superficie, n´umero de unidades defectuosas en un lote,...
Ejemplos de variables continuas: corriente el´ectrica que atraviesa un cable, radiaci´on emitida por una antena de telefon´ıa m´ovil, valor de una se˜nal que se ve afectada por la presencia de un ruido,...
Variable discreta
Sea X : Ω −→ RX una variable discreta, RX = {x 1 , x 2 ,.. .}
La funci´on de probabilidad (tambi´en llamada de masa de probabilidad) es una descripci´on de las probabilidades asociadas a los posibles valores de X:
p(xi) = P (X = xi) =
{s∈Ω:X(s)=xi}
P (s), i = 1, 2...
