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Formulación del problema
Se define el modelo lineal de la siguiente manera
Y t = β 1 + β 2 X 2 t + ...+ βk X kt +ut
ur ur ur uur ur r
La forma general:
Y = X β+u
ur uurur r
1 1 1 21 1 2 2 2 22 2
1 1 1 2
k k
n (^) nx k (^) kx n (^) nx n kn nxk
Y u X X
Y u X X
Y u X
Y u X X
= ^ ^ = ^ ^ = ^ ^ =^
ur ur r uur
(^1 22) 1...
(^1 1 221 )
(^2 1 222 )
1 2 2
t t t t n
n n (^) k kn n
Y X u
Y X u
Y X u
Y X X u
ur ur ur uur r
ur ur ur uur r
ur ur ur uur r
ur ur ur uur ur r
Hipótesis del modelo
- Linealidad del modelo
- Referidas a la perturbación
2
2
E u u N I
V u E u u I
= ^ =
r r r
r r r
( (^ )) ( (^ )) (^ )
1 1
2 1 1 2 2 2 1 2
n n
n n
n n n
u
V u E u u E u E u u E u E u u
u
E u E u u
I
E u u E u
^ ^ ^ ^
=^ =^ −^ −^ =^ ^ =
r r ur r r r r
- Referidas a las características de los regresores Xi
E ( xi − E x( (^) i ) () ui − E u( (^) i)) = 0
Recordatorio:
E x ( i ) = 0
Por ser Xi no estocástica, X es constante (no es aleatorio)
E u ( i ) = 0
Siendo Y un vector aleatorio, ya que u traslada sus características, quedando:
r r
r
- Cov Y Y(^ i ,^ j )^ =^ E u(^ i^ ,^ uj)^ =^0
Por lo tanto: Y →N X ( β σ, 2 I)
Estimación Mínimo Cuadrática Ordinaria
- Nuestro objetivo es estimar los valores del vector β de modo que se minimice la suma de los cuadrados de los residuos (e´e)
Modelo real: Y^ =^ X^ β+u
ur uurur r
Modelo estimado: 䙒䙒ᡑ㕓䙒㍷^ = ᡐ‐㍷ 䘲+ ᡳ䙒㍷
ᡗ: Es el error entre valor real y valor estimado.
e = Y − Y^ ^ = ( sustituimosY^ )= Y^ −X β
r ur^ ur^ ur^ ur^ ur
SCR = Y Y' − 2 β^ ^ ' X Y' +β^ X 'Xβ
ur ur uur^ ur ur^ ur
2 3 1 1 2 2 2 2 3 1 1 1 2 3 2 3 3 1 1 1
n n t t t t n n n t t t t t t t n n n t t t t t t t
n X X
X X X X X X
X X X X
= =
= = =
= = =
∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
; es simétrica.
1
2 1
3 1
X’
n i t n i t t n i t t
Y
Y Y X
Y X
=
=
=
∑
∑
∑
ur
Aquí podemos observar dos valores muy importantes, que nos serán útiles para cálculos posteriores:
1
1 n i t
Y Y n (^) =
= (^) ∑ (^) ( 1
n i t
Y
=
∑ Se coge de la matriz X´Y
r )
ᡦ (Se obtiene de la matriz X`X )
Recordatorio:
*Propiedades del ajuste del MCO:
- (^) ∑e = 0
r r
- X e' = 0
r r
- Y =Y
4. Y u^ .$ = 0
r r
- Si el modelo tiene término independiente, el hiperplano de regresión pasa por el centro de gravedad de la nube de puntos.
*Propiedades de los estimadores del MCO:
- El modelo es lineal β (^) =( X ' X (^) ) −^1 X Y'
ur (^) ur
=cY
ur
2. Es insesgado E( β )=β
ur (^) ur
3. Var ( β^ ) =σ 2 ( X ' X)−^1
ur
- Las estimadores MCO son consistentes.
- Los estimadores son eficientes [ECM=Var+Sesgo^2 ]
- Obtener la varianza de las perturbaciones :
2
2
2
SCR
n k
SCR Y Y X Y
SCE X Y nY
SCT Y Y nY SCE SCR
σ
β
β
∧
→ → → ∧ →
→ ∧ →
→ →
- Estimar la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores:
1
Var 2 ( X ' X ) 1 SCR( X ' X)^1
n k
∧ ∧ −^ ∧
- Obtener el coeficiente de determinación normal y corregido:
NORMAL: R^2 SCE^1 SCR
SCT SCT
CORREGIDO: (^) ( )
SCR
n k n R (^) SCT R n k n
−^ −
Estimación de la varianza residual:
Var ( β^ ^ ) =σ 2 ( X ' X)−^1
ur
- Ahora el estimador es σ 2 (los residuos también cambian pero como no podemos cambiarlos porque los valores de (^) u
r no pueden ser observados. Vamos a usar los valores de los residuos
( e
r ); Es decir: vamos a expresar los e
r en función de u
r .
M u =e
r r
Y^ ˆ ` Yˆ - nY 2 = SCE = n S^2 n ( Yˆ )
e`e = SCR = n S^2 n (e)
Cálculo del coeficiente de determinación R^2
R^2 SCE^ SCT^ SCR^1 SCR
SCT SCT SCT
= = − = − 0 ≤ R^2 ≤ 1
Según las definiciones de sumas de cuadrados anteriores, también puede describirse de la siguiente forma:
2 2 2 2 2
n n n n
R S^ Y S^ e S Y S Y
O lo que es lo mismo, en las fórmulas del punto 1, añadiendo sumatorio para eliminar la n, y expresar Y`Y como Y^2
2 2 (^2 1 ) 2 2 1 1
n n i i n
i n i
i i
i
Y Y
Y Y Y Y
e R =^ =
= =
∑ − ∑
∑ ∑
No obstante, se hace necesario un coeficiente corregido, ya que R^2 puede incrementarse artificialmente introduciendo variables explicativas adicionales aunque éstas no sean relevantes.
2 1 / (^ )^1 (^ 1)^1 1 (1 2 ) / ( 1) ( )
R SCR^ n^ k^ n^ SCR^ n R SCT n n k SCT n k
= − −^ = − −^ = − − −
Existen otros criterios aparte del R^2
Criterio de Schwartz: CS= Ln (e`e)/n + K/n *Ln (n)
Criterio de información de Akaike: CIAK: Ln (e`e)/n + 2K/n
NOTA: El presente formulario tiene un uso exclusivo como referencia para realizar los problemas en las clases prácticas.
