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VARIABLE ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL
Concepto y distribución de frecuencias
- VARIABLE ESTADÍSTICA: { } { }k1,..,N
N k
N ,..., N
N X = x 1 x : x (^) = , conjunto de N observaciones de la magnitud X, donde
N X (^) Kes el
valor que toma la variable para el individuo k-ésimo.
- DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS: {( x (^) i ,ni)}i (^) =1, ...,n; {( x (^) i ,fi)}i (^) =1, ...,n; {( x (^) i ,Ni)}i (^) =1, ...,n; {( x (^) i ,Fi)}i (^) =1,...,n
Concepto Propiedades
Frecuencia absoluta
ni : Número de veces que se
observa el valor x (^) i.
n (^) i n n n N i
n
n
∑ =^ +^ +^ +^ =
1
Frecuencia relativa
f
n
N
i
i
f f 1 f 2 ... fn 1
n
i 1
∑i = + + + =
=
Frecuencia absoluta acumulada (^1) i
i
j 1
N i = ∑nj=n +...+n
=
Nn = N
Frecuencia relativa acumulada 1 i
i
j 1
j
i i f f ... f N
N
F = =∑ = + +
=
Fn = 1
- DISTRIBUCIONES AGRUPADAS EN INTERVALOS: { } {( (^) i i)}i (^) 1,...,n
N ,..., N
N x 1 x → I,n = I (^) i :( Li− 1 ,Li]
Concepto Formulación
Amplitud del intervalo a (^) i =Li−Li- 1
Marca de clase del intervalo (^) c
L L i
i i
2
Densidad de frecuencia del intervalo i
i i a
n d =
Momentos
Momento respecto
al origen de orden r
=
n
i 1
r i r i N
n m x
r =1,2, ...
x N
n m x
n
i 1
i
1 =^ ∑ i =
=
=
n
i 1
(^2) i 2 i N
n
m x ; ∑
=
n
i 1
(^3) i 3 i N
n m x
Momento respecto a
la media aritmética o
momento central de
orden r
=
n
i 1
r i r i N
n μ (x x)
r =1,2, ...
N
n (x x)
n
i 1
i
μ 1 =∑ i− =
=
;
2 X
n
i 1
2 i 2 i S N
n
μ =∑(x −x) =
=
=
μ = −
n
i 1
3 i 3 i N
n (x x)
Relación entre los momentos centrales y
los momentos respecto al origen
2 μ 2 =m 2 −m 1 3 μ 3 =m 3 −3m 2 m 1 +2m 1
4 1
2 μ 4 =m 4 −4m 3 m 1 +6m 2 m 1 −3m
MEDIDAS DE POSICIÓN
Concepto Distribuciones no agrupadas Distribuciones agrupadas
Moda
Mo x n máx{ni }i1,...,n X j j i =
Mo x f máx{fi }i1,...,n X j j i =
( ] { } { }
→ = +
∈ ⇔ = =
−
− = =
a n n
n L
Mo L ,L n máxn ó f máxf
j 1 j 1
j 1 j 1
X j 1 j j i ii1,...,n j i ii1,...,n
Mo X
( ] { }
→ = +
∈ ⇔ =
−
− =
a d d
d Mo L
Mo L ,L d máxd
j j 1 j 1
j 1 X j 1
X j 1 j j i ii1,...,n
(amplitud constante)
(amplitud variable)
Mediana
2
1 ó F 2
N Me x x mínx N 2
1 óF 2
N x (^) j Nj j X j j i i i
∃/ = = ⇒ = = ^ > >
2
x x Me 2
1 ó F 2
N x (^) j Nj j X j j^ +^1
∃ = = ⇒ =
Atributo ordinal:
2 Me x x mín x N n N
j
i 1
X j j i j i
=
( ]
∈ (^) − ⇔ = ≥ ≥ 2
1 ó F 2
N Me (^) X Lj 1 ,Lj j míni Ni i
{ (^) j j
j 1 X j 1 a n
(N/2 N )
Me L
− −
Media aritmética xf N
n x x
n
i 1
i i
n
i 1
i
∑ i ∑
= =
= =
n
i 1
i i
n
i 1
i i cf N
n x c
PROPIEDADES
Media
aritmética
1. (^) (x x)n 0
n
i 1
∑ i − i=
2.
{( )}
{ ( )}
1 2 i i i1,...,n i 1 i 2
i i i1,...,n y k x k y,n y kx k ,i 1 ,...,n
x ,n ⇒ = +
= = +^ =
=
3.
1 2
11 2 2 n
i (^12)
i, 2 i, 2 2 2
n
i 1
i,2 i,2i1,...,n i, 2
n
i (^11)
i, 1 i, 1 1 1
n
i 1
i,1 i,1i1,...,n i, 1
i i i1,...,n N N
Nx Nx x
N
x n x ,n n N,x
N
x n x ,n n N,x
x ,n 2 2
2
1 1
1
⇒ =
= =
= =
→
= =
=
= =
=
=
Medidas de posición no central: cuantiles (cuartiles, deciles y percentiles)
Distribuciones no agrupadas en intervalos Distribuciones agrupadas en intervalos
Si:
=
=
=
=
= ⇒ =
1 ,..., 99 parapercentiles(q 100)(P )
1 ,..., 9 paradeciles(q 10)(D)
1 , 2 , 3 paracuartiles(q 4)(C)
;k 2
x x N C/D/P q
k N
k
k
k j j 1 k k k k
En otro caso:
1,...,99parapercentiles(q 100)
1,...,9paradeciles(q 10)
1,2,3paracuartiles(q 4)
N ,k q
k C (^) k/Dk/Pk xj xj mínxi Ni
=
=
=
=
= = >
( ]
∈ (^) − ⇔ = ≥ N q
k C (^) k/Dk/Pk Lj 1 ,Lj j míni Ni
−
−
1 ,..., 99 parapercentiles(q 100)
1 ,..., 9 paradeciles(q 10)
1 , 2 , 3 paracuartiles(q 4)
k
a n
N N
q
k
C /D/P L j j
j 1
k k k j 1
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Recorrido Re^ X =máxi {x^ i}^ −míni {x^ i}
Recorrido intercuartílico RI (^) X =C 3 −C 1
Varianza SX
2 = (^ )^
2 2 1
2
n
i 1
(^2) i i
i
n^2
i 1
i X m m N
n x N
n
∑ x^ −^ x =∑ − = −
= =
Desviación típica (^) S (^) X =+ S^2 X
Recorrido relativo x
Re RrX =
Coeficiente de variación de Pearson 100 x
CV Sx X =
PROPIEDADES
Varianza
1. S 0
2 X ≥^ 2. S =^0 ⇒
2 X ausencia de dispersión.
3.
2 X
2 1
2 Y i i i1,...,n i 1 i 2
i i i1,...,n S k S y,n y kx k,i 1,...,n
x ,n ⇒ =
= = +^ =
=
Desviación típica
1. SX ≥ 0
2.
Y 1 X i i i1,...,n i 1 i 2
i i i1,...,n S k S y,n y kx k ,i 1,...,n
x ,n ⇒ =
= = +^ =
=
- Tabla de correlación (variable estadística) ó de contingencia (atributo): X\Y y 1 y (^2) ... y (^) j ... ys
x 1 n 11 n 12 ... n (^1) j ... n1s
x 2 n 21 n (^22) ... n (^2) j ... n2s
M M M O M O M
x (^) i n (^) i 1 n (^) i 2 ... n (^) ij ... nis
M M M O M O M
x (^) r n (^) r1 n (^) r ... n (^) rj ... nrs
N Distribuciones marginales
Distribución marginal de la variable X {(^ x,n )}^ n n,i 1,...,r
s
j 1
i i i1,...,r i =^ ∑ ij =
Distribución marginal de la variable Y {(^ y^ ,n )}^ n n,j 1,...,s
r
i 1
j j j1,...,s j=^ ∑ ij =
Distribuciones condicionadas
Distribución de la variable Y condicionada al valor i-ésimo de
la variable X (^) i.
ij
i.
ij i j/i f
f
n
n Y/X =x →f = =
Distribución de la variable X condicionada al valor j-ésimo de
la variable Y (^) .j
ij
.j
ij j i/j f
f
n
n X/Y =y→f = =
Independencia estadística
X e Y independientes ⇔ f (^) ij =fi•f•j, ∀ i,j f f , j 1,...,r, i 1,...,s
f f , i 1,...,s, j 1,...,r
/ j
/ i
j i
i j
Momentos en distribuciones bidimensionales
Momento
respecto al
origen de órdenes (p, q)
= =
r
i 1
s
j 1
q ij j
p p,q i N
n m xy
p, q=0,1,2, ...
x N
n x N
n x N
n m xy
r
i 1
s
j 1
i
r
i 1
i
ij
r
i 1
i
ij
s
j 1
0 j
1 1,0 =^ ∑ ∑ i =∑ ∑ =∑ = = =
= = =
y N
n y N
n y N
n m xy
r
i 1
r
i 1
j
s
j 1
j
ij
s
j 1
j
ij
s
j 1
1 j
0 0,1 =^ ∑^ ∑ i =∑ ∑^ =∑ = = =
= = =
∑∑ ∑ ∑ ∑
= = = =
= = =
r s r s r
i 1
2 i i j 1
ij
i 1
2 i i 1 j 1
0 ij j
2 2,0 i N
n x N
n x N
n m xy
N
n y N
n y N
n m xy
j
j 1
2 j i 1
ij
j 1
2 j i 1 j 1
2 ij j
0 0,2 i
= = = = =
=∑∑ =∑ ∑ = ∑
r s s r s
∑∑ = =
=
r s
i 1 j 1
1 ij j
1 1 ,1 i N
n m xy
Momento respecto a las
medias
aritméticas o momento
central de órdenes (p, q)
∑∑^ (^ )^ (^ ) = =
= − −
r
i 1
s
j 1
ij p, q i j N
qn μ x xpy y
p, q=0,1,2, ...
( ) ( ) ( ) ( ) 0 N
n x x N
n x x N
n μ x x y y
r
i 1
i
r
i 1
1 i
r
i 1
s
j 1
1 ij i
s
j 1
0 ij j
1 1,0 =^ ∑^ ∑ i− − =∑∑ − =∑ − = =
= = = =
∑ ∑^ (^ )^ (^ )^ ∑∑(^ )^ ∑(^ )
= = = =
= − − = − = − =
r
i 1
j
s
j 1
1 j
r
i 1
s
j 1
1 ij j
s
j 1
1 ij j
0 0,1 i^0 N
n y y N
n y y N
n μ x x y y
∑ ∑^ (^ )^ ∑(^ ) = =
=
= − = − =
r
i 1
r
i 1
2 X
(^2) i i
s
j 1
2 ij 2,0 i S N
n x x N
n μ x x
∑ ∑^ (^ )^ ∑(^ ) = =
=
= − = − =
r
i 1
s
j 1
2 Y
2 j j
s
j 1
2 ij 0,2 j S N
n y y N
n μ y y
∑∑^ (^ )(^ ) = =
= − − =
r
i 1
XY
s
j 1
ij 1,1 i j S N
n μ x x y y
Relación entre los momentos centrales y los
momentos respecto al origen
2 μ (^) 2,0 =m (^) 2,0−m1,0;
2 μ (^0) , 2 =m (^0) , 2 −m 0 , 1 ; μ1,1 =m1,1 −m0,1m1,
Covarianza y coeficiente de correlación
∑∑^ (^ )(^ )
= =
r
i 1
s
j 1
ij XY i j N
n S x x y y Concepto
SXY =μ1,1=m1,1−m0,1m 1,
Covarianza^ 1.^ X^ eYindependientes⇒SXY =^0
Propiedades 2.
=
= +
= +
⇒
= + =
= + =
=
=
=
=
UW 1 2 XY
2 2
1 1
j 2 j 2
i 1 i 1 j 1,...,k i j ij i1,...,n
j 1,...,k i j ij i1,...,n
S mm S
w m y k
u mx k
w m y k ,j 1 ,...,k
u mx k,i 1 ,...,n u,w;n
x,y;n
Coeficiente de
correlación
Concepto X Y
XY XY SS
S
ρ = − 1 ≤ρXY ≤ 1
− ≤ < ⇒
< ≤ ⇒
= ⇒
=− ⇒
= ⇒
1 ρ 0 correlación negativa
0 ρ 1 correlaciónpositiva
ρ 0 correlaciónnula
ρ 1 correlaciónperfecta negativa
ρ 1 correlaciónperfecta positiva
XY
XY
XY
XY
XY
Medidas de asociación y correlación entre atributos
Coeficiente de
contingencia
= =
r
i 1
s
j (^1) ij
2 2 ij ij
nˆ
n nˆ χ (^) , i 1,...,r, j 1,...,s N
n n nˆ
i j ij =^ = =
Independencia χ 0
0 χ N(p 1),p mínr,s
2
2
Atributos nominales
Coeficiente de
contingencia de
Cramer
N (p 1 )
χ V
2
= p =mín{r, s}
Independencia V 0
0 V 1
Atributos ordinales
Coeficiente de
correlación de Spearman
∑^ (^ )^ ∑(^ )
= =
=
N
i 1
Y^2 Y i
N
i 1
X^2 X i
N
i 1
Y Y i
X X i
S
R R R R
R R R R
r − 1 ≤rS ≤ 1
X
R i : es la posición que ocupa el carácter x i una vez ordenadas de
menor a mayor las modalidades observadas para el atributo X. Y
R i : es la posición que ocupa el carácter y i una vez ordenadas de
menor a mayor las modalidades observadas para el atributo Y_._
=
N
i 1
X X i
N
R
R ∑
=
N
i 1
Y Y i
N
R
R
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN
REGRESIÓN
Regresión de Y sobre X : X
R (^) Y Línea que une los valores (y /x 1 ,y/x 2 ,....,y/xr)
Regresión de X sobre Y : Y
R (^) X Línea que une los valores (x /y 1 ,x/y 2 ,....,x/ys)
AJUSTE
Método de los mínimos cuadrados y f(x)/ (y y)n
r
i 1
s
j 1
ij
j ∑∑
= =
= − mínima
2 χ
Análisis de la estacionalidad
Métodos de
obtención del
componente
estacional
Diferencia o razón a las medias móviles
ESQUEMA ADITIVO:
Coeficientes brutos de variación estacional:
(m) Si, (^) k=Xt−Xt
Coeficientes de variación estacional no normalizados: n
S S
n
i 1
i,k k
= =
Coeficientes de variación estacional (^) S S S/s
s
k 1
k k ∑ k
= − → Si^ S^0
s
k 1
∑ k ≠
ESQUEMA MULTIPLICATIVO:
Coeficientes brutos de variación estacional: (m) t
t i, k X
X S =
Coeficientes de variación estacional no normalizados: n
S S
n
i 1
i,k k
∑ = =
Coeficientes de variación estacional : s
S S S/
s
k 1
k k k
= =
Eliminación del componente
estacional
X (^) t − Sk →Aditivo k
t
S
X
→Multiplicativo
Modelización: variables
cualitativas o dummies (^)
∈
0 resto
1 si t I D1t
∈
0 resto
1 si t II D2t
∈
0 resto
1 si t III D3t ………
t =1,2,...m
NÚMEROS ÍNDICES
Magnitud X: { } t 0 ,...,T
x (^) it i^1 ,...,N
= (^) x (^) it: valor de la categoría i-ésima en el periodo t.
x (^) i 0 : valor de la categoría i-ésima en el periodo base o de referencia.
Número índice simple 100 x
x ó I(i) x
x I(i) i
t it 0 i
t it 0 = = ⋅
Números índices complejos: Índice media aritmética k
I(i) I
k
i 1
i 0
=
Números índices complejos ponderados: Índice media
aritmética
=
=
⋅ = (^) k
i 1
i
k
i 1
i
t 0 t 0 w
I(i)w I
Índices complejos de precios ponderados:
Sistemas de ponderación:
w (^) i = xi0•q i0 w (^) i =xi0•qit
a) Índice de Laspeyres ( w (^) i = xi0•qi0):
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
= =^ = = k
i 1
i0 i
k
i 1
it i
k
i 1
i0 i
k
i 1
i0 i i
it
k
i 1
i
k
i 1
i
t 0 t 0 x q
xq
x q
x q x
x
w
I(i)w
L
b) Índice de Paasche ( w (^) i = xi0•qit):
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
= = = = k
i 1
i0 it
k
i 1
it it
k
i 1
i0 it
k
i 1
i0 it i
it
k
i 1
i
k
i 1
i
t 0 t 0 x q
xq
x q
x q x
x
w
I(i)w
P
Deflactación magnitudenu.m.constantes deflactor
magnitud enu.m.corrie ntes
Cambios de base I (i)
I(i)
x
x
x
x
x
x I (i) m 0
t 0
i
im
i
it
im
t it m = = =
PROBABILIDAD
Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta
Caso unidimensional
PX ( x )= P ( X = x ),∀ x ∈ R
PX ( x )≥ 0,∀ x ∈ R
∈
xR X
PX ( x ) 1
Caso bidimensional
Función de probabilidad conjunta
P ( x,y )= P ( X = x , Y = y ),∀( x , y )∈ R^2 XY 2 PXY(x,y) ≥ 0, ∀( x , y )∈ R
∈
(x,y)R XY
PXY ( x , y ) 1
Funciones de probabilidad marginales
= (^) ∑ j
PX ( x ) PXY ( x , y ) (sumarporfilas)
= (^) ∑ i
PY ( y ) PXY ( x , y ) (sumarporcolumnas)
Funciones de probabilidad condicionadas
( )
( ; ) ( / ) ( ) PY y j
PX xiY yj Y yj xi P X P X xi Y yj =
= = = = = = = =
( )
( ; ) ( / ) ( ) i
PX x
j
Y y i
PX x
j
y i
X x
PY i
X x j
P Y y
= = = = =
= = =
Función de distribución de una variable aleatoria
Caso unidimensional
∈ ≤
() ( ) ( ) (v.a. continua)
( ) ( ) ( ) (v.a. discreta)
min
/ t X R X
x R x x
X X i
X
i X i
F t P X t f x dx
F x P X x P x
Función de densidad de una variable aleatoria continua
Caso unidimensional Caso bidimensional
∫ x ∈ RX X
X X (^) f xdx
f x x f x ( ) 1
( ) 0 R
Función de densidad conjunta f (^) X , Y ( x , y ):
2 f (^) XY ( x , y )≥ 0 ∀( x , y )∈ R
R (^) X YX RY^ RX^ Y R f^ XY^ x ydydx ó fXY x y dxdy / /
Funciones de densidad marginales
X Y
YX
Y R XY
X R XY
f y f x y dx
f x f x ydy
/
/
( ) ( , )
Funciones de densidad condicionadas
=
=
/
/
f x
f x y f y
f y
f x y f x
X
XY Y X x
Y
XY XY y
Esperanza matemática de una función de una variable aleatoria
Caso unidimensional: E[ H ( x )] Caso bidimensional: E[ H ( x , y )]
[ ] (^) ∑ ∈
= xR x
E H ( x ) H ( x ) PX ( x ) (v.a.discreta)
E [ H ( x )] H ( x ) f ( x ) dx (v.a.continua) x Rx
=∫ (^) ∈ X
Media de X (caso particular) μ x =E[ X ]
[ ]
∈
∈
( ) (v.a.conti nua)
( ) (v.a.discreta)
E
X
x
x R X
xR
X
xf x dx
xP x
X
E [ (, )] (, ) (, ) (v.a.discreta) (,)
∑ ∈
= xy R XY
H xy H xyPXY xy
E [ (, )] (, ) (,) (,) (, ) (v.a.continua)
= RX RY (^) X XY^ RY Rx (^) Y XY
Hxy Hxyf xydydx ó Hxyf xydxdy
Esperanza matemática condicionada (líneas de regresión)
[ ]
=
=
=
∈
XY y
XYy
R XY y
xR
xf x
xPX x Y y
X Y y
/
/
( ) (v.a.conti nua)
( / ) (v.a.discreta)
E /
/
[ ]
=
=
∈
YX x
YXx
R Y X x
yR
yf y
yPY y X x
Y X x
/
/ 0
( ) (v.a.conti nua)
( / ) (v.a.discreta)
E /
/
