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Carretera de Utrera, Km.1 41013-SEVILLA. ESPAÑA. Tfnos. (34) 95 434 93 88 Fax. (34) 95 434 93 39
Departamento de Economía, Métodos Cuantitativos e Historia Económica
Área Académica de Métodos Cuantitativos
FORMULARIO: COMBINATORIA Y DE MODELOS
PROBABILÍSTICOS
COMBINATORIA
MODELOS DISCRETOS
MODELOS CONTINUOS Y ASOCIADOS A LA NORMAL
BINOMIAL X–B(n,p) POISSON. X–P(λ)
P ( X = x ) =
n
x
p
x
( 1 − p )
n − x
x = 0 , 1 , 2 , ..., n
E ( X ) = np
Var ( X ) = np ( 1 − p )
P ( X = x ) =
λ
x
x!
e
− λ
x = 0 , 1 , 2 , ...
E ( X ) = λ
Var ( X ) = λ
UNIFORME X – U(a,b) NORMAL X–N(μ,σ)
12
( )
, ( )
2
( )
() ,
,
1
( )
2
b a
Var X
a b
E X
a x b
b a
x a
F x
a x b
b a
f x
−
=
=
≤ ≤
−
−
=
≤ ≤
−
=
2
2
( )
( ) , ( )
,
2
1
( )
2
2
μ σ
σ π
σ
μ
= =
= −∞< < +∞
− −
EX Var X
f x e x
x
J I-CUADRADO X– X
2
n
t-Student X – t F-Fisher X - F n,m
EX nVarX n
x e x
n
f x
n x
n
( ) , ( ) 2
, 0
2
2
1
( )
/ 21 / 2
/ 2
= =
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
− −
, 2
2
( ) 0 , ( )
1 ,
2
2
1
( )
( 1 ) 2
1
2
>
−
= =
−∞< < ∞ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
Γ
=
− +
n
n
n
EX Var X
t
n
t
n
n
n
f x
n
π
, 4
( 4 )( 2 )
2 ( 2 )
( 2 ), ( ) ,
2
( )
1 ,
2 2
2
( )
2
2
( )/ 2
/ 21
2
>
− −
> =
−
=
⎟ −∞< <^ ∞
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟ +
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟^ Γ
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
Γ
=
− +
−
m
nm m
m n m
m Var X
m
m
E X
x t
m
n
x
m
n
n m
n m
f x
n m
n
n
Combinaciones Variaciones Permutaciones
Sin repetición
m,n
m!
C
n! m n!
m,n
m!
V
m n!
n
P = n!
Con repetición
m,n
m n!
C
n! m!
∗
n
m,n
V m
∗
1 2
1 2
x ,x , ,x k
n
k
n!
P
x! x! x!
=
K
K
DISTRIBUCIONES NORMAL Y ASOCIADAS A LA NORMAL
Distribuci´on E[X] V ar(X)
NORMAL f (x) =
1
σ
√
2 π
e
−
1
2
x−μ
σ
2
, ∞ < x < ∞ μ σ
2
JI-CUADRADO
con n grados de libertad
χ
2
n
X =
∑ n
i=
X
2
i
donde X i
∈ N (0, 1) i = 1, 2 ,... , n independientes n 2 n
t-STUDENT
con n grados de libertad
t n
T =
U √
V
n
donde U ∈ N (0, 1), V ∈ χ
2
n
n
n− 2
, n > 2
F-SNEDECOR
con n 1
Y n 2
grados de libertad
Fn 1 ,n 2
X =
U
n 1
V
n 2
donde U ∈ χ
2
n 1
, V ∈ χ
2
n 2
independientes
n 2
n 2 − 2
, n 2 > 2
2 n
2
2
(n 1 +n 2 −2)
n 1 (n 2 −4)(n 2 −2)
2 ,^ n 2 >^4
INTERVALOS DE CONFIANZA EN POBLACIONES NORMALES
Intervalo de Confianza para la Media Poblacional
Varianza Poblacional Conocida Varianza Poblacional Desconocida:Muestras grandes, n > 30
Z =
¯ X−μ
σ √ n
∈ N (0, 1)
¯ X−μ
S √ n
→ N (0, 1)
I
μ
[
x ¯ − z 1 −α/ 2
σ √
n
; ¯x + z 1 −α/ 2
σ √
n
]
I
μ
[
¯x − z 1 −α/ 2
S √
n
; ¯x + z 1 −α/ 2
S √
n
]
Varianza Poblacional Desconocida: Muestras peque˜nas, n ≤ 30
t =
¯ X−μ
S √ n
∈ t n− 1
Iμ =
[
¯x − t 1 −α/ 2
s √
n
; ¯x + t 1 −α/ 2
s √
n
]
Intervalo de confianza para la Diferencia de Medias Muestrales
Varianzas Poblacionales Conocidas Varianzas Poblacionales Desconocidas pero Iguales: σ X
= σ Y
= σ
Z =
(
¯ X−
¯ Y )−(μx−μy ) √
σ
2 x
nx
σ
2
y
ny
−→ N (0, 1) T =
(
¯ X−
¯ Y )−(μX −μY ) √
(nX −1)S
2
X
+(nY −1)S
2
Y
√
nX +nY − 2
√
nX nY √
nX +nY
∈ t nX +nY − 2
I
μx−μy
[
(¯x − y¯) − z 1 −
α
2
√
σ
2
x
nx
σ
2 y
ny
; (¯x − y¯) + z 1 −
α
2
√
σ
2
x
nx
σ
2 y
ny
] [
¯x − y¯ − t 1 −
α
2
√
(nx−1)S
2 x
+(ny −1)S
2 y
nx+ny − 2
√
nx+ny
nxny
; ¯x − y¯ + t 1 −
α
2
√
(nx−1)S
2 x
+(ny −1)S
2 y
nx+ny − 2
√
nx+ny
nxny
]
Varianzas Poblacionales Desconocidas y Distintas: σX 6 = σY
Muestras Grandes: nX > 30 , nY > 30 Muestras Peque˜nas: nX ≤ 30 ´o nY ≤ 30
Z =
(
¯ X−
¯ Y )−(μX −μY ) √
S
2
X
n X
S
2
Y
n Y
→ N (0, 1)
(
¯ X−
¯ Y )−(μX −μY ) √
S
2
X
n X
S
2
Y
n Y
∈ tν
I
μx−μy
[
(¯x − y¯) − z 1 −
α
2
√
S
2 x
nx
S
2 y
ny
; (¯x − y¯) + z 1 −
α
2
√
S
2 x
nx
S
2 y
ny
]
I
μx−μy
[
(¯x − y¯) − t 1 −
α
2
√
S
2 x
nx
S
2 y
ny
; (¯x − ¯y) + t 1 −
α
2
√
S
2 x
nx
S
2 y
ny
]
INTERVALOS DE CONFIANZA EN POBLACIONES NORMALES
Intervalo de confianza para la Varianza Poblacional
Media Poblacional Conocida Media Poblacional Desconocida
n ∑
i=
(X
i
− μ)
2
σ
2
−→ χ
2
n
(n−1)S
2
σ
2
∈ χ
2
n− 1
I
σ
n ∑
i=
(x i
− μ)
2
χ
2
n, 1 −
α
2
n ∑
i=
(x i
− μ)
2
χ
2
n,
α
2
I
σ
[
(n−1)s
2
χ
2
n−1;1−
α
2
(n−1)s
2
χ
2
n−1;
α
2
]
Intervalo de Confianza para el Cociente de Varianzas
Medias Poblacionales Conocidas Medias Poblacionales Desconocidas
S
∗
X
2
S
∗
Y
2
σ
2
Y
σ
2
X
∈ F
n X
,n Y
S
2
X
S
2
Y
σ
2
Y
σ
2
X
∈ F
n X
− 1 ,n Y
− 1
I
σ
2 x
σ
2 y
[
s
∗ 2
x
s
∗ 2 y
1
F nx,ny ;1−
α
2
s
∗ 2
x
s
∗ 2 y
1
F nx,ny ;
α
2
]
I
σ
2 x
σ
2 y
[
s
2
x
s
2 y
1
F nx− 1 ,ny −1;1−
α
2
s
2
x
s
2 y
1
F nx− 1 ,ny −1;
α
2
]
Intervalo de Confianza para la Proporci´on Muestral y de la Diferencia de Proporciones
Intervalo de Confianza para la Proporci´on Muestral Intervalo de Confianza para la Diferencia de Proporciones
pˆ =
X → N
(
p,
√
pq
n
)
p ˆ X
− pˆ Y
X −
Y → N
(
p X
− p Y
√
pX qX
nX
pY qY
nY
)
I
p
[
p ˆ − z 1 −α/ 2
√
ˆpˆq
n
; ˆp + z 1 −α/ 2
√
pˆˆq
n
]
I
pX −pY
[
(ˆp 1
− pˆ 2
) − z 1 −α/ 2
√
nX +nY
nX nY
pˆ(1 − pˆ); (ˆp 1
− pˆ 2
) + z 1 −α/ 2
√
nX +nY
nX nY
pˆ(1 − pˆ)
]
donde ˆp =
∑ n X
i=
xi+
∑ n Y
i=
yi
nX +nY
Intervalo de Confianza para Distribuciones No Normales
Desigualdad de Chebychev Muestras Grandes. M´axima Verosimilitud Muestras Grandes. Teorema Central del L´ımite
I
μ
[
X −
σ √
nα
; X +
σ √
nα
]
I
θ
[
θ − z 1 −α/ 2
√
V ar(
θ);
θ + z 1 −α/ 2
√
V ar(
θ)
]
I
μ
[
X − z 1 −α/ 2
σ √
n
; X + z 1 −α/ 2
σ √
n
]
CONTRASTES DE HIP
OTESIS: CONTRASTES PARA LA MEDIA
Contrastes para la media (Var. Pobl. Conocida)
Estad´ıstico de prueba: Z exp
¯ X−μ 0
σ √
n
∈ N (0, 1)
H
0
: μ = μ 0
H 1 : μ 6 = μ 0
H
0
: μ ≤ μ 0
H 1 : μ > μ 0
H
0
: μ ≥ μ 0
H 1 : μ < μ 0
Zexp > z 1 −
α
2
´o
Z
exp
< z
α
2
= −z 1 −
α
2
Z
exp
> z 1 −α
Z
exp
< z α
= −z 1 −α
Contrastes para la media (Var. Pobl. Desconocida)
Estad´ıstico de prueba: Texp =
¯ X−μ 0
S √ n
∈ tn− 1
H
0
: μ = μ 0
H
1
: μ 6 = μ 0
H
0
: μ ≤ μ 0
H
1
: μ > μ 0
H
0
: μ ≥ μ 0
H
1
: μ < μ 0
T
exp
> t n−1;1−
α
2
´o
T
exp
< t n−1;
α
2
= −t n−1;1−
α
2
Texp > tn−1;1−α Texp < tn−1;α = −tn−1;1−α
Dos muestras independientes (Var. Pobl. Conocidas)
Estad´ıstico de prueba: Zexp =
¯ X−
¯ Y −d 0 √
σ
2
X
n X
σ
2
Y
n Y
∈ N (0, 1)
H
0
: μ X
− μ Y
= d 0
H
1
: μ X
− μ Y
= d 0
H
0
: μ X
− μ Y
≤ d 0
H
1
: μ X
− μ Y
> d 0
H
0
: μ X
− μ Y
≥ d 0
H
1
: μ X
− μ Y
< d 0
Z
exp
> z 1 −
α
2
´o
Z
exp
< zα
2
= −z 1 −
α
2
Zexp > z 1 −α Zexp < zα = −z 1 −α
Dos poblaciones independientes (Var. Pobl. Desconocidas, pero iguales)
Est.de prueba: T exp
¯ X−
¯ Y −d 0
S
′
√
1
n X
1
n Y
∈ t nX +nY − 2
, S
′ 2
(n X
−1)S
2
X
+(n Y
−1)S
2
Y
nX +nY − 2
H
0
: μ X
− μ Y
= d 0
H 1 : μX − μY 6 = d 0
H
0
: μ X
− μ Y
≤ d 0
H 1 : μX − μY > d 0
H
0
: μ X
− μ Y
≥ d 0
H 1 : μX − μY < d 0
Texp > tn X
+n Y
−2;1−
α
2
´o
T
exp
< t nX +nY −2;
α
2
= −t nX +nY −2;1−
α
2
T
exp
> t n X
+n Y
−2;1−α
T
exp
< t nX +nY −2;α
= −t nX +nY −2;1−α
Dos poblaciones independientes (Var. Pobl. Desconocidas y distintas)
Estad´ıstico de prueba: T exp
¯ X−
¯ Y −(μ X
−μ Y
) √
S
2
X
n X
S
2
Y
n Y
∈ t ν
donde ν '
(
s
2
X
n X
s
2
Y
n Y
) 2
(
s
2
X
n X
) 2
n X
− 1
(
s
2
Y
n Y
) 2
n Y
− 1
H
0
: μ X
− μ Y
= d 0
H
1
: μ X
− μ Y
= d 0
H
0
: μ X
− μ Y
≤ d 0
H
1
: μ X
− μ Y
> d 0
H
0
: μ X
− μ Y
≥ d 0
H
1
: μ X
− μ Y
< d 0
T
exp
> t ν;1−
α
2
´o
T
exp
< t ν;
α
2
= −t ν;1−
α
2
Texp > tν;1−α Texp < tν;α = −tν;1−α
CONTRASTES DE HIP
OTESIS: CONTRASTES DE PROPORCIONES
Contrastes de proporciones
Estad´ıstico de prueba: Z exp
ˆp−p 0 √
p 0
(1 − p 0
n
∈ N (0, 1) donde ˆp =
∑ n
i=
xi
n
n
o de ´exitos
n
o de pruebas
H
0
: p = p 0
H 1 : p 6 = p 0
H
0
: p ≤ p 0
H 1 : p > p 0
H
0
: p ≥ p 0
H 1 : p < p 0
Zexp > z 1 −
α
2
´o
Z
exp
< z
α
2
= −z 1 −
α
2
Z
exp
> z 1 −α
Z
exp
< z α
= −z 1 −α
CONTRASTES DE HIP
OTESIS: CONTRASTES DE COMPARACI
ON DE PROPORCIONES
Comparaci´on de proporciones
Estad´ıstico de prueba: Z exp
ˆpX −ˆpY √
n X
+n Y
n X
n Y
pˆ(1−ˆp)
∈ N (0, 1) donde ˆp =
∑ n X
i=
xi+
∑ n Y
i=
yi
nX +nY
H
0
: p X
= p Y
H 1 : pX 6 = pY
H
0
: p X
≤ p Y
H 1 : pX > pY
H
0
: p X
≥ p Y
H 1 : pX < pY
Zexp > z 1 −
α
2
´o
Z
exp
< z
α
2
= −z 1 −
α
2
Z
exp
> z 1 −α
Z
exp
< z α
= −z 1 −α
CONTRASTES NO PARAM
ETRICOS
Contraste Estad´ıstico Regi´on Cr´ıtica
WILCOXON
MANN-WITNEY
H 0 : μX = μY
H
1
: μ X
= μ Y
H 0 : μX ≤ μY
H
1
: μ X
> μ Y
H
0
: μ X
≥ μ Y
H
1
: μ X
< μ Y
U
X
≡ n´umero acumulado de observaciones Y
que sobrepasan en la muestra combinada
a las observaciones X
U
X
= n 1
n 2
n 1 (n 1 +1)
2
− W
X
(W
X
≡ suma rangos observaciones X)
U
exp
> U
x, 1 −
α
2
´o
U
exp
< U
x,
α
2
U
exp
< U
x,α
U
exp
> U
x, 1 −α
WILCOXON
MANN-WITNEY
(n 1
> 10 y n 2
H
0
: μ X
= μ Y
H 1 : μX 6 = μY
H
0
: μ X
≤ μ Y
H
1
: μ X
> μ Y
H
0
: μ X
≥ μ Y
H
1
: μ X
< μ Y
Z =
UX −
n 1
n 2
2 √
n 1
n 2
(n 1
+n 2
+1)
12
∈ N (0, 1)
Z
exp
> z 1 −
α
2
´o
Z
exp
< zα
2
= −z 1 −
α
2
Z
exp
< z α
= −z 1 −α
Zexp > z 1 −α
KRUSKAL-WALLIS
H
0
: μ 1
= μ 2
=... = μ k
H
1
: ∃ i 6 = j, μ i
= μ j
H =
12
n(n+1)
k ∑
i=
R
2
i
n i
− 3(n + 1) H exp
> h α
DUNN
H
0
: μ i
= μ j
H 1 : μi 6 = μj
R
i
R
j
R
i
R
j
| ≥ c ij
donde
c ij
= z p
√
n(n+
12
(
1
ni
1
nj
)
P [Z ≥ z p
] = p,
p =
α
k(k−1)
