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EXAMEN 1º BACHILLERATO CIENCIAS – Funciones (RESUELTO) Ejercicio 1. (1 pto.) Dadas las siguientes funciones, expresa sus características más notables y representa gráficamente. a) f(x) = −2x − 3 b) f(x) = x^2 + 2x − 30 c) f(x) =^2 x
a) f(x) = −2x − 3 ⇒ polinomio de primer grado
Dar valores a la x para hallar f(x) x 0 − 1 − 2 − 3 − 4 f(x) − 3 − 1 1 3 5
Pendiente: − 2 decreciente Ordenada en el origen: − 3 ⇒ (0; −3)^ punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.
Recuerda que una función afín es una función polinómica de grado menor o igual a uno 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑛𝑛. Se representa como una recta, donde m es la pendiente, si esta es positiva la recta es creciente, y si es negativa decreciente.
b) f(x) = x^2 + 2x − 3
Dar valores a la x para hallar f(x) x − 1 0 − 3 1 − 2 f(x)^ − 4 − 3 0 0 − 3
Coeficiente líder: 1 > 0 ⇒ parábola convexa
Vértice: x =
−b 2 a =^
2 ∙ 1 =^ −1;^ 𝑦𝑦^ = (−1)
Ordenada en el origen: − 3 ⇒ (0; −3)^ punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.
Puntos de intersección con el eje de las abscisas: (−3; 0) y (1; 0)
x =
2 ∙ 1 =^
2 =^ �^
x = 1 x = − 3
Recuerda que una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥^2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐. Se representa como una parábola. Si el coeficiente líder el positivo la parábola es convexa, de lo contrario es cóncava.
en dependencia de los valores que tome la variable independiente, los de la variable dependiente se calculan por una u otra expresión.
f(x) = �
x^2 si x < 1 |x| si 1 ≤ x < 3 3 si x ≥ 3 a) Analiza para cada valor de x la variable independiente el valor que toma y = f(x) x = − 2 ⇒ f(x) = x^2 = (−2)^2 = 4
x = 0 ⇒ f(x) = x^2 = (0)^2 = 0
x = 1 ⇒ f(x) = |x| = |1| = 1
x = 2 ⇒ f(x) = |x| = |2| = 2
x = 3 ⇒ f(x) = 3
x = 5 ⇒ f(x) = 3
Ejercicio 3. (2 ptos.)
Dadas las funciones:
p(x) = −4x + 1; q(x) = 2x + 5x − 3 ; r(x) = 5x^2 + 3; g(x) = −x^4 ;
b(x) = L(x − 5); a(x) = log �x^ − 6 1 �
Calcula:
a)(p + q)(x) b)(p − r)(x)
c)(q ∙ g)(x)
d) (g ∘ r)(x)
e)(b ∘ a)(x)
Recuerda que las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de las funciones se obtienen aplicando las mismas operaciones a las expresiones algebraicas que las representan.
𝑎𝑎) (𝑝𝑝 + 𝑞𝑞)(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝(𝑥𝑥) + 𝑞𝑞(𝑥𝑥) =
𝑐𝑐)(𝑞𝑞 ∙ 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) = 𝑞𝑞(𝑥𝑥)^ ∙ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) =
𝑥𝑥 =^
Recuerda que la operación de composición se lee primero la función que actúa antes: por ejemplo (𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔)(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓�𝑔𝑔(𝑥𝑥)� ⇒ g compuesto por f
Hallando común denominador Agrupando semejantes
Donde ponga x en g Ponemos r(x)= (5𝑥𝑥 2 + 3)
Donde ponga x en b Ponemos a(x)= log � 𝑥𝑥− 6 1 �
- Despejar x en función de y: y = x^2 − 7 ⇒ x^2 = y + 7 ⇒ x = (^) �y + 7
- Cambiar los papeles de x y y: y = (^) √x + 7 𝐠𝐠(𝐱𝐱)−𝟏𝟏^ = √𝐱𝐱 + 𝟕𝟕
d) Para calcular la inversa:
- Hacer y = h(x) = 4x
2 x^2 −
- Despejar x en función de y: y =
4x^2 x^2 − 1 ⇒ 𝑦𝑦 (x^2 − 1) = 4x^2 ⇒ yx^2 − y = 4x^2 ⇒ yx^2 − 4x^2 = y
⇒ x^2 (y − 4) = y ⇒ x^2 =
y y − 4 ⇒ 𝑥𝑥^ =^ �^
y y − 4
- Cambiar los papeles de x y y: y = (^) � (^) x−4x
𝐡𝐡(𝐱𝐱)−𝟏𝟏^ = �
e) Para calcular la inversa:
- Hacer y = j(x) = ex−
- Despejar x en función de y, Tomar el logaritmo a ambos lados de la igualdad: y = ex−6^ ⇒ ln y = ln ex−6^ ⇒ ln y = (x − 6) ln e ⇒ ln y = x − 6 ⇒ ln y + 6 = x
- Cambiar los papeles de x y y: y = ln x + 6 𝐣𝐣(𝐱𝐱)−𝟏𝟏^ = 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝐱𝐱 + 𝟔𝟔
Ejercicio 5. (2 ptos.)
Diga de las siguientes funciones dominio, imagen o recorrido y si son o no simétricas.
a) f(x) = 3x + 12x − 6
b) g(x) = x^2 − 5 c) h(x) = √−2x − 8
Recuerda que el dominio o campo de existencia de una función Dom (f) es el conjunto de valores que tienen imagen, o sea:
𝐷𝐷𝑙𝑙𝑚𝑚 (𝑓𝑓) = {𝑥𝑥 ∈ ℝ, ∃ 𝑦𝑦 ∈ ℝ; 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)}
La imagen o recorrido de una función Im (f) es el conjunto de valores que son imagen de un original o sea el conjunto de valores que toma la variable dependiente 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).
Una función es simétrica respecto al eje de las ordenadas o lo que es igual es par si la gráfica de la función coincide a ambos lados del eje x. Es decir, que se obtiene lo mismo al sustituir un número que su opuesto:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(−𝑥𝑥)^ ∀ 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷𝑙𝑙𝑚𝑚 𝑓𝑓
Una función es simétrica respecto al origen del eje de las coordenadas o lo que es igual es impar si se traza un segmento que parte de cualquier punto de la gráfica y pasa por el punto de origen las coordenadas y al otro lado se encuentra otro punto de la gráfica a la misma distancia. Es decir, que se obtiene lo opuesto al sustituir un número que su opuesto:
𝑓𝑓(−𝑥𝑥) = −𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∀ 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷𝑙𝑙𝑚𝑚 𝑓𝑓
a) f(x) =
3x + 1 2x − 6 ⇒^ funcion racional Dom f(x) = {x ∈ ℝ − polos del denominador } Hallando polos: 2x − 6 = 0 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3
𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃 𝐟𝐟(𝐱𝐱)^ = {𝐱𝐱 ∈ ℝ − {𝟑𝟑}^ }
La imagen Im f(x) es el dominio de la inversa; Calcular la inversa:
f(x) = y =
3x + 1 2x − 6 ⇒ y(2x − 6) = 3x + 1 ⇒ 2xy − 6y − 3x − 1 ⇒
⇒ 2xy − 3x = 6y + 1 ⇒ x(2y − 3) = 6y + 1 ⇒ x =
6y + 1 2y − 3
f(x)−1^ =
6x + 1 2x − 3
Donde el denominador se hace 0
Dominio: x ∈ ℝ y donde el radicando sea mayor 0
− 2 𝑥𝑥 − 8 ≥ 0 ⇒ − 2 𝑥𝑥 ≥ 8 ⇒ 𝑥𝑥 ≤ − 4
𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃 𝐟𝐟(𝐱𝐱): {𝐱𝐱 ∈ (−∞; −𝟒𝟒]}
La imagen Im f(x) es el dominio de la inversa; Calcular la inversa:
f(x) = y = √−2x − 8 ⇒ 𝑦𝑦 2 = − 2 𝑥𝑥 − 8 ⇒ 𝑦𝑦 2 + 8 = − 2 𝑥𝑥 ⇒
𝑦𝑦 2 + 8 − 2
f(x)−1^ = −
𝐈𝐈𝐃𝐃 𝐟𝐟(𝐱𝐱) = 𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃𝐃 𝐟𝐟(𝐱𝐱)−𝟏𝟏^ = {𝐱𝐱 ∈ ℝ }
Analizar si es o no simétrica:
f(5) = √− 2 ∙ 5 − 8 = no válida ≠ f(−5) = �− 2 ∙ (−5) − 8 = √ 2
⇒ 𝐥𝐥𝐃𝐃 𝐞𝐞𝐞𝐞 𝐞𝐞𝐬𝐬𝐃𝐃é𝐭𝐭𝐭𝐭𝐬𝐬𝐭𝐭𝐭𝐭 𝐩𝐩𝐭𝐭𝐭𝐭
f(−5) ≠ −f(5) ⇒ 𝐥𝐥𝐃𝐃 𝐞𝐞𝐞𝐞 𝐞𝐞𝐬𝐬𝐃𝐃é𝐭𝐭𝐭𝐭𝐬𝐬𝐭𝐭𝐭𝐭 𝐬𝐬𝐃𝐃𝐩𝐩𝐭𝐭𝐭𝐭
No es simétrica.
Ejercicio 6. (2 ptos.)
De las siguientes funciones determina periodicidad y puntos de corte con los ejes. Represéntala para una mejor comprensión en caso necesario.
a) f(x) = x^3 − 4x^2 + 5x − 2 b) g(x) = sen x c) h(x) = log(3x + 2)
Recuerda que una función periódica es aquella en la que las imágenes de la función se repiten siempre que se le añade a la variable independiente una cantidad fija 𝑡𝑡 ⇒ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑟𝑟𝑝𝑝𝑙𝑙𝑑𝑑𝑙𝑙 .se expresa así:
∃ 𝑡𝑡 ∈ ℝ; 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)^ ∀ 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷𝑙𝑙𝑚𝑚 𝑓𝑓
El punto de corte de f con el eje de las ordenadas (OY) se obtiene dando a la variable independiente el valor de 0; siempre y cuando ese valor este en su dominio: (^) �0; 𝑓𝑓(0)�𝑠𝑠𝑝𝑝 ∃ 𝑓𝑓(0) ∈ ℝ 𝑙𝑙 0 ∈ 𝐷𝐷𝑙𝑙𝑚𝑚 𝑓𝑓. En caso contrario no existe.
El punto de corte con el eje de las abscisas (OX) son los que se obtienen dando a la variable dependiente el valor 0: (𝑥𝑥; 0); 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷𝑙𝑙𝑚𝑚 𝑓𝑓 𝑦𝑦 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0.
a) f(x) = x^3 − 4x^2 + 5x − 2
La función no es periódica.
Corte con el eje de las ordenadas OY.
f(0) = 0^3 − 4 ∙ 02 + 5 ∙ 0 − 2 = − 2 ⇒ corte eje con el eje y (𝟎𝟎; −𝟐𝟐)
Corte con el eje de las abscisas OX.
x^3 − 4x^2 + 5x − 2 = 0 ⇒ (x − 2)(x − 1)^2 = 0
⇒ cortes con el eje x (𝟏𝟏; 𝟎𝟎) 𝐲𝐲 (𝟐𝟐; 𝟎𝟎)
Descomponiendo aplicando Ruffini
La función no es periódica.
Corte con el eje de las ordenadas OY.
f(0) = log(3 ∙ 0 + 2) = log 2 ≈ 0,3 ⇒ corte con el eje y (𝟎𝟎; 𝟎𝟎, 𝟑𝟑)
Corte con el eje de las abscisas OX.
En el caso de la función logarítmica el argumento debe ser igual a 1
3 𝑥𝑥 + 2 = 1 ⇒ 3 𝑥𝑥 = 1 − 2 ⇒ 3 𝑥𝑥 = − 1 ⇒ 𝑥𝑥 = −
⇒ corte con el eje x (−𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑; 𝟎𝟎)
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