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Unidad 10. Funciones elementales
BACHILLERATO
Matemáticas I
Resuelve
Página 247
Familias de funciones
Ya conoces muchas familias de funciones: sus nombres, cómo son sus expresiones
analíticas y qué forma tienen sus gráficas.
Asocia cada nombre de familia con su representación gráfica y con su expresión
analítica general.
**1. F. cuadrática
- F. raíz
- F. de proporcionalidad inversa
- F. exponencial
- F. logarítmica**
Y
X
Y
X
Y
X
Y Y
X
A B C D E
Y
X X
Y
X
Y
X
C D E
I. y = x – 4 II. y = 4
x III. y = x
2
- 4 x IV. y = log 2
x V. y =
x 3
1 8 C 8 III
2 8 E 8 I
3 8 A 8 V
4 8 D 8 II
5 8 B 8 IV
Matemáticas I
Las funciones y su estudio
Página 249
1 ¿Verdadero o falso?
a) El dominio de definición de una función nunca puede ser Á.
b) El dominio de definición de y = – x es [0, +∞).
c) El dominio de definición de y = – x es (– ∞, 0].
a) Falso. Por ejemplo, el dominio de la función cuadrática f ( x ) = 2 x
2
b) Verdadero. Siempre que x ≥ 0 la función está definida.
c) Verdadero. Cuando x ≤ 0, se tiene que – x ≥ 0 y la función está definida correctamente.
2 Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y = x – 1
2 b) y = x – 1 c) y = 1 – x d) y = 4 – x
2
e) y = x – 4
(^3 ) f ) y = 1 / x – 1
2 g) y =
x 1
h) y =
1 x
i) y =
4 x
(^3 )
j) y =
x 4
2
k) y = x
3
- 2 x + 3 l) y =
x
m) y =
x
2
n) y =
x 4
2
ñ) y =
x 4
2 +
o) y =
x 1
3 +
p) El área de un círculo de radio variable, r , es A = π r
2 .
a) Para que esté definida debe ocurrir que x
2
- 1 ≥ 0. Ahora resolvemos la inecuación y se tiene que
Dom = (–∞, –1] « [1, +∞).
b) [1, +∞)
c) (–∞, 1]
d) [–2, 2]
e) La raíz cúbica está definida independientemente del signo del radicando. Como este es un polino-
mio de 2.º grado, también está siempre definido. Por tanto, el dominio de la función es.
f ) (– ∞, –1) « (1, +∞)
g) Por un lado, x ≥ 1 para que se pueda definir la raíz. Pero, además, x ≠ 1 para que no se produzca
una división entre 0. Por tanto, Dom = (1, +∞).
h) Razonando de forma análoga al apartado anterior, x ≤ 1 y x ≠ 1. El dominio de definición es
Dom = (– ∞, 1).
i) En esta ocasión la raíz cúbica siempre está definida, pero para que lo esté el cociente, el denominador
no puede ser 0.
x
2
= –2, x 2
= 2 y el dominio de definición es Dom = – {–2, 2}
j) Por una parte, x
2
- 4 ≥ 0, que ocurre siempre que x esté en (– ∞, –2] « [2, +∞). Pero x no puede
ser ni 2 ni –2 para no dividir entre 0. Luego el dominio es Dom = (– ∞, –2) « (2, +∞).
k) Su dominio es , ya que siempre está definida.
l) – {0}
m) – {0}
n) – {–2, 2}
ñ) Como la ecuación x
2
- 4 = 0 no tiene solución, el dominio de definición es Dom =.
o) La ecuación x
3
- 1 = 0 tiene una única solución, x = –1. Luego el domino es Dom = – {–1}.
p) Por el contexto de la función, estará definida en (0, +∞) ya que el radio es siempre un número posi-
tivo.
Matemáticas I
3 ¿Verdadero o falso?
a) En una función cuadrática y = ax
2 + bx + c , cuanto mayor es a , más ancha es la parábola que
la representa.
b) Las gráficas de y = 5 x
2 + bx + c son idénticas, aunque pueden estar situadas en posiciones dis-
tintas.
c) Todas las parábolas de ecuación y = ax
2 + c tienen su vértice en el punto de abscisa x = 0.
a) Falso. Por ejemplo, la función cuadrática y = 4 x
2 es más estrecha que la función y = x
2 .
b) Verdadero. Como la anchura de la parábola está determinada por el término de x
2 , los otros solo
influyen en la posición de la parábola respecto de los ejes de coordenadas.
c) Verdadero. Como no tiene término en x , la abscisa del vértice es
2 a
4 ¿Verdadero o falso?
a) Las funciones y = – kx se representan mediante medias parábolas con el eje paralelo al eje Y****.
b) El dominio de definición de y = – a x + b es [– b , +∞).
c) Los ejes X e Y son asíntotas de las funciones y =
x
k .
d) El dominio de definición de y =
a x
k
es Á – { k }.
a) Falso. El eje de estas medias parábolas es el eje X.
b) Verdadero. La función está definida si x + b ≥ 0, es decir, si x ≥ –b. Por tanto, el dominio de defi-
nición es el intervalo dado.
c) Verdadero.
d) Falso. La función no está definida si a + x = 0 8 x = – a. El dominio de definición es Á – {– a }.
Matemáticas I
Funciones definidas "a trozos"
Página 254
1 Representa esta función:
f ( x ) =
[ , )
[ , ]
é
é
é
x
x x
x
x
x
2
*^ +
4
2
–4 –2 2 6
Y
X
2 Haz la representación gráfica de la siguiente función:
g ( x ) =
x
x
x
x
si
si ≥
2
4
2
–6 –4 –2 2
Y
X
3 Escribe la expresión analítica que corresponde a la siguiente gráfica:
Primer tramo:
- Recta que pasa por los puntos (– 6, –2) y (– 4, –1).
- La pendiente es ( )
= y la ecuación es y – (–1) = 2
( x – (– 4)).
X
Y 2
2
Segundo tramo:
Tercer tramo:
- Pertenece a una recta que pasa por (0, –2) y (1, –3).
- La pendiente es
= –1 y la ecuación es y – (–2) = – x.
Cuarto tramo: y = –
f ( x ) =
x
x
x
x
x
x
si –
si – –
si –
si
Z
[
\
]
]
]
]
]
Matemáticas I
6 ¿Verdadero o falso?
a) La gráfica roja corresponde a y = 3 Mant
x
b l.
b) La gráfica roja corresponde a y = 3 Mant (4 x ).
c) La gráfica verde corresponde a y = 5 – Mant
x
b l.
4 8 12
5
a) Verdadero
b) Falso
c) Verdadero
7 Representa:
a) y = Mant ( x ) – 0,
b) y = | Mant ( x ) – 0,5|
a) y = Mant ( x ) – 0,
X
Y
–3 –2 –1 1
1
2 3
b) y = | Mant ( x ) – 0,5|
X
Y
–3 –2 –1 1
1
2 3
Matemáticas I
Transformaciones elementales de funciones
Página 256
1 Representa sucesivamente:
a) y = x
b) y = x 3
c) y = – x 3
d) y = – x 3
a) (^) Y
X
2
2
b) Se obtiene desplazando la gráfica anterior tres unidades a la izquierda.
Y
–2 2^ X
2
c) Es la simétrica de la anterior respecto del eje X.
Y
X
–2 2
2
d) Es igual a la anterior trasladándola 8 unidades hacia arriba.
Y
–2 2 X
2
Matemáticas I
Composición de funciones
Página 258
1 Si f ( x ) = x
2
- 5 x + 3 y g ( x ) = x
2 , obtén las expresiones de f [ g ( x )] y g [ f ( x )].
Halla f [ g (4)] y g [ f (4)].
f [ g ( x )] = f [ x
2 ] = x
4
2
g [ f ( x )] = g [ x
2
2
2
f [ g (4)] = 179; g [ f (4)] = 1
2 Si f ( x ) = sen x y g ( x ) = x +
2
π , obtén las expresiones de f ° g , g ° f , f ° f y g ° g****.
Halla el valor de estas funciones en x = 0 y x = π/4.
f °
g ( x ) = f [ g ( x )] = f
π π x sen x 2 2
b + l = b + l
g °
f ( x ) = g [ f ( x )] = g ( sen x ) = sen x +
π
f °
f ( x ) = f [ f ( x )] = f ( sen x ) = sen ( sen x )
g °
g ( x ) = g [ g ( x )] = g x x x π
2 2 2
π π π b + l= + + = +
f °
g (0) = sen
π
g ° f (0) = sen 0 +
π
π
f °
f (0) = sen ( sen 0) = 0
g °
g (0) = 0 + π = π
f ° g
π
b l = sen
π π
b + l =
g ° f
π
b l =
π π π sen 4 2 2
f ° f
π
b l =
π sen sen 4
b l = 0,
g ° g
π
b l = π
π
π 5
Matemáticas I
Función inversa o recíproca de otra
Página 259
1 ¿Verdadero o falso?
a) La función recíproca de y = x es y =
x
b) Cada una de las funciones y = x , y = x
es recíproca de sí misma.
c) La inversa de y = x
, x ∈ [3, 9] es y = x
, x ∈ [1, 3].
d) Si una función es creciente, su recíproca es decreciente.
a) Falso. Las gráficas de esas funciones no son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante,
puesto que una es recta y la otra es curva.
b) Verdadero. Si f ( x ) = x y calculamos f °
f ( x ) = f [ f ( x )] = f ( x ) = x , vemos que f es recíproca de sí
misma.
Análogamente, si g ( x ) =
x
y calculamos g °
g ( x ) = g [ g ( x )] = g
x / x
c m = = x , vemos que g es
recíproca de sí misma.
c) Verdadero. Podemos comprobarlo en el gráfico. La gráfica verde es simétrica, respecto de la bisectriz
del primer cuadrante, de la gráfica roja.
d) Falso. Por ejemplo, la recíproca de la función f ( x ) = x
2 , x ≥ 0, es la función f ( x ) = x , x ≥ 0, y
ambas son crecientes.
2 Representa y = 2 x , y =
x
y comprueba que son inversas.
y = 2 x
y = x
y = x /
Y
X
3 Comprueba que hay que descomponer y = x
2
- 1 en dos ramas para hallar sus inversas. Averigua
cuáles son.
a) y = x
2
2
y
y = x 2
y = √ x + 1
y = x
y = x
Y
X
y = x 2
y = –√ x + 1
Y
X
Matemáticas I
Funciones arco
Página 262
1 ¿Verdadero o falso?
a) La función y = arc tg x , x ∈ (–∞, +∞) es la recíproca de la función y = tg x , x ∈ , 2 2
π π b l.
b) En las calculadoras científicas (tienen que estar puestas en modo RAD), las funciones sin
- ,
cos
- , tan - responden exactamente (coinciden) con las funciones arc sen , arc cos y
arc tg****.
a) Verdadero. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto de la bisectriz del primer
cuadrante.
b) Verdadero. Los valores que da la calculadora están en los intervalos correspondientes de cada una
de las funciones.
Matemáticas I
Ejercicios y problemas resueltos
Página 263
1. Ecuación y representación de una parábola
Hazlo tú. Escribe la ecuación de la parábola que tiene el vértice en (2, –4) y pasa por el punto (3, –3).
Si la parábola es y = ax
2
a
b
= 2 8 b = – 4 a
Por otro lado:
2
- b · 2 + c 8 – 4 = 4 a + 2 b + c
–3 = a · 3
2
- b · 3 + c 8 –3 = 9 a + 3 b + c
Resolvemos el sistema:
b a
a b c
a b c
Z
[
\
]
]
]]
8 a = 1, b = – 4, c = 0 8 y = x
2
Página 264
3. Función "parte entera"
Hazlo tú. Representa la función f ( x ) = Ent (2 x ).
Esta gráfica es como la de la función parte entera, pero contraída a la mitad en el sentido del eje horizontal.
Y
3
2
1
1 2
X
4. Valor absoluto de una función
Hazlo tú. Define por intervalos y representa:
a) f ( x ) = | x
2
- 4 x – 5|
b) f ( x ) = x – | x |
a) La parábola y = x
2
- 4 x – 5 tiene su vértice en el punto (2, –9). Es negativa entre –1 y 5. Luego en ese
intervalo su gráfica es – f ( x ).
f ( x ) =
x x
x x
x x
x
x
x
si ≤ –
si – ≤
si
2
2
2
Z
[
\
]
]
]
]
Y
–2 –1 (^1 234 5 6) X
1
5
6
7
8
9
Matemáticas I
Ejercicios y problemas guiados
Página 266
1. Interpolación lineal
El porcentaje de hogares españoles que tenían teléfono móvil era, en 2006, del 80,5 y en 2009, del
88,2. Estimar el porcentaje que había en 2008.
La pendiente de la recta es
= 2,57. Por tanto, la ecuación de la recta que pasa por los puntos
A (2 006; 80,5) y B (2 009; 88,2) es:
y – 80,5 = 2,57( x – 2 006) 8 y = 2,57( x – 2 006) + 80,5 8 y = 2,57 x – 5 074,
Si x = 2 08 8 y = 2,57 · 2 008 – 5 074,9 = 85,
2. Una función cuadrática
Los costes de producción de un cierto producto (en euros) de una empresa, vienen dados por:
C = 40 000 + 20q + q
2
siendo q el número de unidades producidas. El precio de venta de cada unidad es de 520 euros.
a) Expresar en función de q el beneficio de la empresa y representarlo gráficamente.
b) ¿Cuántas unidades hay que producir para que el beneficio sea máximo?
a) B ( q ) = 520 q – (40 000 + 20 q + q
2 ) = – q
2
b) El beneficio es máximo en el vértice de la parábola anterior, ya que tiene las ramas hacia abajo.
La abscisa del vértice es
2
= 250 y el beneficio será:
B (250) = –
2
- 500 · 250 – 40 000 = 22 500 €
3. Una función polinómica
Considerar todos los conos cuya generatriz mide 15 cm.
a) Escribir la función que nos da el volumen del cono según lo que mide su altura, x.
b) ¿Cuál es su dominio de definición?
a) Usando el teorema de Pitágoras tenemos que:
R = 15 – x 225 – x
2 2 2
Luego V ( x ) =
x x
x x
π –
π – 2
3 2
` j=
b) La altura es un número positivo que no puede ser mayor que la generatriz. Por tanto, el dominio de
definición de V ( x ) es Dom = (0, 15).
4. Función logística
La función f (x) =
1 499 ( ,1 0 9 )
- x +
da las ventas totales de un videojuego x días después de su lan-
zamiento. ¿En qué día se llegó a 6 000 juegos vendidos?
Tenemos que hallar el valor de x tal que:
- x ) 8 2 – 1 = 499(1, - x ) 8 499
Tomando logaritmos y despejando:
log ,
log
= x 8 x = 72 días
Matemáticas I
Ejercicios y problemas propuestos
Página 267
P ara practicar
Dominio de definición
1 Halla el dominio de definición de estas funciones:
a) y =
x 5
2 ` + j
b) y =
x x
3 x 2
3 +
c) y =
x x
x
2 +
d) y = x x
a) La función no está definida cuando x = –5. Su dominio es Dom = – {–5}.
b) x
3
- x = 0, tiene como única solución x = 0. El dominio es Dom = – {0}.
c) La función no está definida cuando x
2
- x + 2 = 0, que no tiene solución. Por tanto, el dominio
es Dom =.
d) Las fracciones no se pueden evaluar ni en x = 0 ni en x = –2. El dominio es Dom = – {–2, 0}.
2 Estudia el dominio de definición de estas funciones:
a) y = 2 x + 5
b) y = 7 – x
c) y = x 3 x 4
**2
d) y = x – 1 + x – 2
a) Para que esté definida debe ser 2 x + 5 ≥ 0, cuya solución es , ∞
2
<– + m. Su dominio es este intervalo,
Dom = , ∞ 2
<– + m.
b) En este caso x ≤ 7. El dominio de definición es Dom = (–∞, 7].
c) x
2
d) Para que ambas raíces existan simultáneamente debe cumplirse a la vez que x ≥ 1 y x ≥ 2. El
dominio es Dom = [2, +∞).
3 Di cuál es el dominio de definición de:
a) y = 3 + 2
1 – x b) y = log 2 ( x + 3) c) y = ln (2 – x ) d) y = 2
x
a) Su dominio es porque la función exponencial siempre está definida.
b) Para que exista el logaritmo, su argumento debe ser positivo. Por tanto, x + 3 > 0 y el dominio es
Dom = (–3, +∞).
c) Análogamente al caso anterior, x < 2. Su dominio es Dom = (– ∞, 2).
d) La función exponencial siempre toma valores positivos. Por tanto, la raíz siempre se puede evaluar
y el dominio de definición de esta función es Dom =.
Matemáticas I
Funciones elementales
8 Asocia a cada gráfica su expresión analítica.
a) y = 1,
x
b) y = x + 2
c) y =
x
2
d) y = x 4
e) y = 3 x
**2
f ) y = 0,
x
g) y = log 2 x
h) y = – – x
a) VIII
b) IV
c) VII
d) I
e) II
f ) V
g) VI
h) III
4 6
2
4
2
4
2
4
Y
X
–2 –
1 2
Y
X
I II
Y
X 2 4
2 4
6
Y
X
III IV
Y
X
V VI
Y
X
VII VIII
2
2
4
2
4
–2 2 4 6
Y
X
2
4
6
8
2
4
6
–2 2
–2 2
4
Y
X
9 Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, los puntos de corte con los ejes de coor-
denadas y algún punto próximo al vértice:
a) y = x
**2
2
- 2 x + 1 c) y = – x
**2
2
- 3 x – 2
a)
Vértice: (–1, 0)
Cortes con los ejes: (–1, 0), (0, 1)
2
–4 –2 2 4
4
Y
X
b)
Vértice: abscisa = 1
= 2; ordenada = 0,5 · 2
2
Corte con el eje vertical: x = 0 8 y = 1
Corte con el eje horizontal:
y = 0 8 0,5 x
2
Y
X
2
4
–4 –2 2 4
8 x =
± 8 x ; x
1
1 2
Matemáticas I
c)
Vértice: ,
2
c m
Cortes con los ejes: (–5, 0)
–4 –2 2 4
Y
X
d)
Vértice: abscisa =
3
= –1; ordenada = –1,5 · (–1)
2
Corte con el eje vertical: x = 0 8 y = –
Corte con el eje horizontal: y = 0 8 1,5 x
2
No corta al eje horizontal. Podemos evaluar ahora en algún punto cerca-
no al vértice; por ejemplo, (–2, –2), (0, –2).
Y
X
2
–4 –2 2 4
10 Representa estas funciones en el intervalo indicado:
a) y = 2 x
2
- 4, [0, 2] b) y = –
x
2
, x ≥ –1 c) y = x
, x < 0
d) y = 0,
x , [–3, 3] e) y = log 2 x , (0, 7] f ) y = x , [0, 1]
a) y = 2 x
2
x
2
, x ≥ –
X
Y
2
2
4
X
Y
c) y = x
, x < 0 d) y = 0,
x , [–3, 3]
Se trata de una rama de la función de
proporcionalidad inversa y su gráfica es:
Es una función exponencial con base menor que 1.
Mediante una tabla de valores obtenemos:
X
Y
2
2 4
–4 –
4
X
Y
2
–4 –2 2 4
4 x y
0
1
3
4,
1,
1
0,
0,
