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a) Halla los valores de a para los que el conjunto de vectores {(1, 1, 1), (1, a , 1), (1, 1, a )}
forma una base de R
3 .
b) Calcula el volumen del parelelepípedo determinado por los tres vectores anteriores
cuando a = 0.
Solución:
a) Como son tres vectores de R
3 , formarán una base si son linealmente independientes; esto
es, si su producto mixto es no nulo:
2 2 2 = a + + − a − − a = a − a + = a − = → a =
a
a
Son base si a ≠ 1.
b) Calculamos su producto mixto cuando a = 0:
2 2 3 0 1 1 1 Volumen 1 u
Ejercicio nº 2.-
Halla la ecuación del plano que contiene a estas rectas:
= +λ
=− λ
= +λ
z
y
x
s z
x y r : :
Solución:
- Veamos que r y s se cortan en un punto. Para ello, sustituimos las ecuaciones de s en las
de r :
Secortanenelpunto ( 1 , 0 , 2 ).
2 2 0
+λ= → λ=
+λ− λ= → λ=
- Un vector de dirección de r es:
r d (^) r =( 1 , 1 , 0 ) ×( 0 , 0 , 1 ) =( 1 ,− 1 , 0 )
- Un vector dirección de s es:
r
d (^) s =( 1 ,− 2 , 1 )
- Un vector normal al plano buscado es:
r
d (^) r × d s =( 1 ,− 1 , 0 ) ×( 1 ,− 2 , 1 ) =( − 1 ,− 1 ,− 1 ) //( 1 , 1 , 1 )
r
- Por tanto, el plano que contiene a r y a s es:
1 · ( x − 1) + 1 · ( y − 0) + 1 · ( z − 2) = 0, es decir:
x + y + z − 3 = 0
Ejercicio nº 3.-
: : yelpunto ( 1 , 0 , 5 );
y
3 2 2 1 0
Dados lasrectas −
=− + λ
=− +λ
= − λ
P
z
y
x
s
x y z
x y z
r
calcula el ángulo que forma la recta r con el plano, π , perpendicular a s que pasa por P****.
Solución:
- Un vector dirección de r es:
r d ( 2 , 3 , 1 ) ( 3 , 2 , 2 ) ( 8 , 7 , 5 ) //( 8 , 7 , 5 ) d
r = − × − = − − − = r
- Un vector normal al plano π es:
n = d s = (− 2 , 1 , 2 )
r^ r
- Si llamamos α al ángulo que forman r y π, tenemos que:
( ) = ≈ →
− α= = 0 , 028 3 138
d ·n
d n 90
o r r
r (^) r · cos
o o o → −α= → α=
Halla el volumen del tetraedro determinado por los ejes coordenados y el plano
π : 3 x − 2 y − 4 z + 2 = 0.
Solución:
Obtenemos los puntos de corte del plano π con los ejes coordenados:
Punto 3
Con eleje X y z 0 x A
− Con el eje Y → x = z = 0 → y = 1 → Punto B (0, 1, 0)
Punto 0 , 0 , 2
Con eleje Z x y 0 z C
El cuarto vértice del tetraedro es el origen D (0, 0, 0).
DA DB DC
[ ]
DADBDC =
3 u 18
Volumen = =
Obtén el punto simétrico de P (2, − 1, 3) respecto al plano π : 3 x + 2 y + z − 5 = 0.
Solución:
- Hallamos la ecuación de la recta, r , que pasa por P y es perpendicular a π:
= +λ
=− + λ
= + λ
z
y
x
r
- Obtenemos el punto, Q , de intersección de r y π:
3 (2 + 3 λ) + 2 (− 1 + 2 λ) + (3 + λ) − 5 = 0
6 + 9 λ− 2 + 4 λ+ 3 +λ− 5 = 0 → 14 λ+ 2 = 0 → λ=−
Q
- Si llamamos P ' al simétrico de P respecto de π, Q es el punto medio de PP' :
P' ( x , y , z )
P
z
z
y
y
x
x
Halla el valor de k para que la recta 3 x + 4 y + k = 0 sea tangente a la circunferencia
x
2
2
Solución:
- Hallamos el centro y el radio de la circunferencia:
Centro (^) = −
Radio = 0 + 4 − ( − 5 ) = 9 = 3
- Calculamos la distancia del centro a la recta dada:
( )
k k d
- La recta es tangente a la circunferencia cuando:
k k
k k k
k
Ejercicio nº 9.-
Identifica la siguiente cónica y represéntala gráficamente:
4 y
2 − 9 x
2 = 36
Solución:
1 .Esunahipérbola,cuyagráficaes : 9 4
2 2 2 2 − = → − =
y x y x
Escribe las ecuaciones paramétricas de cada una de estas curvas:
Solución:
a) Es una circunferencia de centro (3, 3) y radio 2. Las ecuaciones son:
= + α
= + α
y sen
x cos
b) Es una elipse de centro (0, 0) y semiejes 3 y 2. Sus ecuaciones son:
= α
= α
y sen
x cos
Ejercicio nº 11.-
Identifica si la siguiente ecuación corresponde a una esfera. En caso afirmativo, halla su
centro y su radio:
2 x
2
2
2
Solución:
Dividimos entre 2 la ecuación:
x
2
2
2
Centro = − −
Radio = 1 + 1 −^ (^ − 7 )^ = 9 = 3
Se trata de una esfera de centro (−1, 0, −1) y radio 3.
