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7 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA – SISTEMAS DE PRIMER
ORDEN
Introducción
Trabajar en el dominio de Laplace no solamente es útil para la resolución matemática de
ecuaciones sino que se presta especialmente para ser utilizado con el concepto de
función de transferencia. En general un proceso recibe una entrada u ( t ) y genera una
salida y ( t ). Si llevamos estas señales al dominio de Laplace tendremos una entrada
U ( s ) que genera una salida Y ( s ). La función que relaciona salida con entrada se
denomina función de transferencia g ( s ).
De modo que Y ( s ) = g ( s )× U ( s ).
Sistemas de primer orden
Se denominan sistemas de primer orden a aquellos en los que en la ecuación general
aparece solamente la derivada primera del lado izquierdo (el de la variable de estado). O
sea que se reducen al formato siguiente:
donde k se denomina ganancia del proceso y es la constante de tiempo del sistema.
En general encontraremos que la ecuación está escrita en función de las variables
“desviación” respecto al valor de estado estacionario. Por lo tanto en general y (0) = 0 ,
u (0) = 0. Tomando transformadas de Laplace
Veamos un ejemplo: un tanque completamente agitado que recibe un caudal v y se le
extrae el mismo caudal:
y ku dt
dy τ
s Ys kU s
sYs Ys kUs
sYs y Ys kUs
τ 1
τ
τ 0
τ 1
τ 1
s
k gs
Ys gsUs
Us s
k Ys
Del balance de materia
Como V es constante porque entra y sale el mismo caudal
Estado estacionario: dC/dt = 0 ; Cs= Cin. Por lo tanto
Que es de la forma
donde = V/v , y = C – Cs , u = Cin – Cin s
Respuestas de sistemas de primer orden a diferentes entradas
Seguimos manejándonos con el esquema
donde
Escalón de magnitud U a tiempo t = 0
Sabemos que
Por lo tanto
vC vC dt
d VC in
C
V
v C V
v
dt
dC in
s in ins C Cs
V
v C C V
v
dt
d C C
s in ins
s C C C C dt
dC C
v
V
y ku dt
dy τ
s
k gs
s
U
U
L
τs 1
s
k U Ys
Conociendo la respuesta de una función de primer orden a un escalón en la entrada se
pueden estimar los parámetros de la función de transferencia del proceso:
Estimación de la ganancia:
O bien
Estimación de la constante de tiempo:
Identificando el valor de tiempo en el cual la respuesta vale 0.632 del valor final:
O bien evaluando
en t = 0
Ejemplo: El operador de un proceso realiza un cambio en el caudal de entrada pasando
de 20 a 17.5 gal/min y encuentra que la presión cambia de 50 a 55 psig como se muestra
en la figura.
U
y
U
yt k t
k G s s 0
lim
y k U e k U
τ 1 0. 632
1
τ
τ
t e
k U
dt
dy
0 τ
k U
dt
dy
t
psig gpm gpm
psig
U
Y
k 2
- 5 20
y k U e k U
τ 1 0. 632
1
τ 5min
P psig
Impulso
O en forma adimensional
0 1 2 3 4 5
0
1
salida adimensional
t/tau
Procesos autorregulados
Son aquellos en los cuales un cambio en las variables de entrada conduce a un nuevo
estado estacionario en forma automática. Por ejemplo los sistemas de primer orden.
Veamos un ejemplo: un RCAI con una reacción química de primer orden r = k C
Del balance de masa
En estado estacionario dC/dt = 0
Restando la ecuación de balance en estado estacionario
L A δ A
U s
k Y s τs 1
τs 1
k A Ys
τ
τ 1
(^1) t e s
t τ
y t k A e
t τ
e
kA
y t
vC vC kVC dt
d VC in
Cin V
v k C V
v
dt
dC
k V
v
C
V
v
C
ins
s
s s C in Cins
V
v k C C V
v
dt
d C C
Sistemas de primer orden más tiempo muerto
Muchas veces en los procesos industriales se introducen tiempos muertos;
particularmente en la industria química suelen asociarse al transporte de fluidos por
cañerías. Por ejemplo, en el siguiente esquema, si se produce un cambio en la
concentración de entrada Cin puede demorar un cierto tiempo en que dicho cambio
llegue a la entrada del tanque.
La forma general de estos procesos será
Y en el ejemplo que estamos viendo será = V tubería / v por lo que
Del balance de masa en el tanque
Llamando u = Cin – Cin s , y = C – Cs , = V/v y tomando transformadas
Si en un proceso de primer orden con tiempo muerto hay un cambio en escalón de
magnitud U a tiempo t = 0
τ y ku t θ
dt
dy
θ
Cin t Cint
C in V
v C V
v
dt
dC
C t θ V
v C V
v
dt
dC in
s Ys ke U s
sYs Ys ke Us
sYs y Ys k e Us
s
s
s
τ 1
τ
τ 0
τ 1
τ 1
s
k e gs
Ys gsU s
Us s
k e Ys
s
s
s
U
U
L
s
k e U Ys
s
τs 1
antitransformando
0 5 10 15 20 25
0
1
t (min)
y
Procesos integradores
Veamos el siguiente ejemplo: sea un tanque de almacenamiento, con área transversal
100 ft
2 , inicialmente está entrando y saliendo el caudal vin = vout = 5 ft
3 /min , h 0 = 4 ft ,
H tanque = 10 ft. A la 1:00 pm el flujo de entrada se cambia a 6 ft
3 /min.
Del balance global de masa
Y como el área transversal es constante
Restando la solución de estado estacionario
Si el flujo de salida es constante
Que es de la forma
si llamamos
Tomando tranformadas
antitransformando
τs 1
s
k Ue Ys
s
y t 0 para 0 t
y t k U e para t
t τ (^1) U = 0.5 a t = 0 k = 2 [unidades salida/entrada] = 5 min = 5 min
vin vout dt
dV
in vout A
v dt A
dh 1 1
in ins out outs
s v v A
v v dt A
d h h
s v in vins
dt A
d h h
ku dt
dy
y h hs k A u vin vins
y t k ut
s
u Y s k
Us s
k Y s
sYs y kUs y
2
t ft
ft h ft
v t A
h hs in
2
3
6 5 /min 4
O sea que escribimos
Tomando transformadas y como T’(0)=
Para concretar más el ejemplo, supongamos que el tanque agitado es de 1.60 ft
3 , opera
con un flujo de 200 lb/min de un líquido con C = 0.32 Btu/lbºF y = 62.4 lb/ft
3
. Se ha
alcanzado el estado estacionario con un flujo de calor de 1920 Btu/min y una
temperatura de entrada de 70ºF. Calcular la respuesta de un sistema frente a un cambio
súbito de la temperatura de entrada a 90ºF.
Como el Q se mantiene constante sólo debemos ocuparnos de hallar la G 2 (s) ,
relacionada con Tin
Entonces
Debemos escribir las ecuaciones en variables desviación. Para ello calculamos la
temperatura de estado estacionario:
la señal de entrada en forma de escalón es:
Multiplicándola por la G 2
Antitransformando
Y escribiéndolo en variables reales
T T KQ
dt
dT in
^
^
LT T KQ
dt
dT
L in
s T s Tin s T s K Q s
s s
s s
K
s Tin 1
Q
T
T s G 1 s Q s G 2 s T (^) in s
- 5 min 200 min
3 3
lb
ft lb ft
w
V
- 5 1
2
s
G s
F
lb Btulb F
Btu F wC
Q
T T
s
s s ins^100 º 200 min 0. 32 .º
1920 min , 70 º
s s
s
Tin
s s
s
T
t T t e
2 20 1
(^1000) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
t (min)
T (ºF)
Considérese ahora que al mismo tiempo que la temperatura de entrada aumenta a 90ºF
el flujo de calor es cambiado a 1600 Btu/min
Ambos cambios en las señales de entrada contribuyen al cambio en la señal de salida.
Esto se esquematiza con el siguiente diagrama de bloques:
Ahora
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
100
105
110
115
T (ºF)
t (min)
Ver „ejem7.2.cos‟.
t T t e
2 100 201
s s
s
Tin
s s
s
Q
(^)
s s s s
K
s
T
min
200 min 0. 32 .º
- 5 min
2
Btu
F
lb Btu lb F
K
0. 5 1
T
s s s s s s
s
t T t e
2 100 151
Puede verse claramente que la función de transferencia total es el producto de la función
de transferencia del primer proceso ( 1/( 1 s+1) ) y de la del segundo ( 1/( 2 s+1) ).
La representación en un diagrama de bloques sería
1 1
Q
Q
Q
H
H
Q
Q
H
H
Q
Q
Q
in 1 2
2
1
1
2 1
2
2
in
1
1
1
1
2
2
2
in
2
s s s
s
s
K
s K
K
K
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
