Unidad 6. Funciones Derivables
Rolle, TVM, Funciones Convexas
Teorema de Rolle
Teorema 1.
Teorema de Rolle
Sea
a<b
y suponga que
f: [a, b]→R
es derivable en
(a, b)
y continua
en
[a, b]
y
f(a) = f(b)
. Entonces
∃x0∈(a, b)f0(x0)=0
Aplicaciones del Teorema de Rolle
Teorema 2.
Teorema del Valor Medio
Suponga que
f: [a, b]→R
es derivable en
(a, b)
y continua
en
[a, b]
donde
a<b
entonces
∃x0∈(a, b)f0(x0) = f(b)−f(a)
b−a
Demostración.
Vamos a denir una función
h(x) = f(x)−f(a)−f(b)−f(a)
b−a(x−a)
tenemos que h es continua y derivable pues f es continua y derivable, ademas
h(a) = f(a)−f(a)−f(b)−f(a)
b−a(a−a)=0 h(b) = f(b)−f(a)−f(b)−f(a)
b−a(b−a) = 0
estonces
h(a) = h(b)=0
y según el teorema de Rolle
∃x0∈(a, b)h0(x0) = 0
Por otro lado
h0(x) = f0(x)−f(b)−f(a)
b−a
por lo tanto
h0(x0) = f0(x0)−f(b)−f(a)
b−a⇒f0(x0)−f(b)−f(a)
b−a= 0 ⇒f0(x0) = f(b)−f(a)
b−a
Aplicación de Rolle
Aplicando el teorema de Rolle demostrar que la ecuación cúbica
x3−3x+ 1 = 0
no puede tener más de una raíz en el intervalo
−1≤x≤1
Demostración.
Denimos la función
f(x) = x3−3x+1
la cual es continua en
R
y
f(−1) = 2+ 1 = 3
,
f(1) = −2 + 1 = −1
por lo tanto f tiene signos contrarios en
[−1,1]
por lo tanto según el teorema
del valor intermedio
∃x0∈(−1,1)
tal que
f(x0) = 0
y la ecuación tiene una raíz, ahora suponga
que
∃x1, x2∈(−1,1)
tal que
x1< x2
y
f(x1) = f(x2)
aplicando el teorema de Rolle existe
x0∈(x1, x2)
tal que
f0(x0) = 0
pero
f0(x)=3x2−3
para la cual
@x∈(−1,1)
tal que
f0(x)=0
lo cual es una contradicción, por lo tanto la función tiene a lo más una raiz en
[−1,1]
Facultad de Ciencias UNAM
Cálculo Diferencial e Integral 1 Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
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