Funciones Funciones polinómicas y racionales Funciones exp y log Funciones trigonométricas Otras funciones Ejemplos
Matemáticas I
Lección 2: Funciones elementales
Ramón Esteban Romero
13 de septiembre de 2016
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Asignatura: Matemàtiques per a la computació, Profesor: , Carrera: Enginyeria Informàtica, Universidad: UV
Tipo: Ejercicios
2017/2018
1 / 40
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Matemáticas I
Lección 2: Funciones elementales
Ramón Esteban Romero
13 de septiembre de 2016
Esquema
(^1) Funciones Operaciones con funciones Cálculo de dominios (^2) Funciones polinómicas y racionales Funciones polinómicas Funciones racionales (^3) Funciones exponencial y logarítmica Función exponencial Funciones logarítmicas (^4) Funciones trigonométricas
(^5) Otras funciones Valor absoluto Parte entera (^6) Ejemplos
Funciones
Definiciones La imagen de a ∈ A se denota por f (a). Si f (a) = b ∈ B, decimos que a es una antiimagen de b. El conjunto de todas las antiimágenes de b ∈ B se denota mediante f −^1 (b). El dominio de una función f : A −→ B es el conjunto de valores de A que tienen imagen. Se denota por Dom(f ). El recorrido, rango o imagen de f : A −→ B es el conjunto de valores de B que tienen antiimagen. Se denota por Rg(f ) = Im(f ). La gráfica (o el grafo) de una función está formado por todos los pares (a, b) con a ∈ Dom(f ) y b = f (a).
Funciones
Podemos representar una función mediante: un cuadro de valores, una gráfica, una fórmula (o varias). Trabajaremos habitualmente con funciones f : R −→ R.
Funciones
− 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4
− 4
− 3
− 2
− 1
1
2
3
4
y =
x^2 − 3 x + 2 si x > 0 , x + 2 si x ≤ 0.
Funciones
Definición Una función f es par si f (−x) = f (x) para todo x ∈ Dom(f ).
La gráfica de una función par es simétrica respecto del eje de ordenadas OY.
Definición Una función f es impar si f (−x) = −f (x) para todo x ∈ Dom(f ).
La gráfica de una función impar es simétrica respecto del origen.
Definición Una función f es periódica con período T si f (x) = f (x + T ) para todo x ∈ Dom(f ) y T es el menor real positivo que cumple esta condición.
Funciones
Cálculo de dominios
Para calcular dominios de funciones hay que tener en cuenta: (^1) no está permitido dividir por cero, (^2) no está permitido extraer raíces de índice par de números negativos, (^3) no está permitido calcular logaritmos de números negativos o cero. Más adelante veremos los dominios de las funciones más habituales.
Funciones polinómicas y racionales
Las funciones polinómicas son de la forma
f (x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 ,
donde a 0 , a 1 ,... , an− 1 , an ∈ R y n ∈ N ∪ { 0 }.
El dominio de una función polinómica es R. El recorrido no siempre es R.
Funciones polinómicas y racionales
Ejemplo Las funciones polinómicas de primer grado son de la forma
f (x) = ax + b,
con a, b ∈ R, a 6 = 0. Su representación gráfica es una recta de pendiente a y ordenada en el origen b. La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma con el semieje OX positivo. La ordenada en el origen es la ordenada del punto en que la recta corta el eje de ordenadas (OY ). Cuando a > 0, f es estrictamente creciente: si x 1 < x 2 , entonces f (x 1 ) < f (x 2 ). Cuando a < 0, f es estrictamente decreciente: si x 1 < x 2 , entonces f (x 1 ) > f (x 2 ).
Funciones polinómicas y racionales
− 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4
− 4
− 3
− 2
− 1
1
2
3
4
f (x) = x − 1
f (x) = −
x + 1
Funciones polinómicas y racionales
− 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4
− 4
− 3
− 2
− 1
1
2
3
(^4) y = x^2
y = −x^2
Funciones polinómicas y racionales
− 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4
− 4
− 3
− 2
− 1
1
2
3
4 y^ =^4 x y = x^2
2
y =
x^2
Funciones polinómicas y racionales
Una función racional es un cociente de dos funciones polinómicas:
f (x) =
P(x) Q(x)
anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 bmxm^ + bm− 1 xn−^1 + · · · + b 1 x + b 0
Su dominio es R \ {x ∈ R | Q(x) = 0 }.
Funciones polinómicas y racionales
− 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4
− 4
− 3
− 2
− 1
1
2
3
4
y = 1 /x