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CONCEPTO DE FUNCIÓN
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL : Aplicación definida en un subconjunto 𝐷 de ℝ, que a cada
número real 𝑥 ∈ ℝ le hace corresponder un único valor 𝑦 ∈ ℝ
𝑓 → función real de variable real
𝑥 → variable independiente
𝑦 → variable dependiente o imagen de 𝒙
NOTAS : ( 1 ) La imagen de cada elemento siempre es única: 𝑓(𝑥) es único para cada 𝑥 ∈ ℝ.
Sí es función
A cada valor de 𝑥 le corresponde un
único valor de y
No es función
A todos los valores de 𝑥 excepto a uno, le
corresponden dos valores de la ordenada
− 1
𝑦 → 𝒙 antiimagen de 𝒚
DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN : Conjunto de valores que puede tomar la variable
independiente, o, dicho de otra forma, subconjunto de ℝ formado por todos los valores de 𝑥
para los cuales existe la función, es decir, para los que puede ser calculada la imagen 𝑓(𝑥).
Dada una función 𝑓, su dominio suele representarse mediante 𝑫𝒐𝒎(𝒇) o 𝑫(𝒇).
NOTA : El dominio de definición de una función puede depender de varias circunstancias:
o De la imposibilidad de realizar alguna operación con determinados valores de 𝑥
(denominadores que se anulan, raíces de índice par de números negativos,
argumentos negativos o nulos en logaritmos, etc.).
Ejemplos : 𝑓 𝑥 =
2
− 1
𝑓 no está definida para los valores de 𝑥 que anulan el denominador. Por
lo tanto, 𝐷 𝑓 = ℝ ∖ − 1 , 1.
Dado que la raíz cuadrada solo puede ser calculada si el radicando es
mayor o igual que cero, tenemos:
− 8
3
− 8
3
o Del contexto real del que se extrae la función.
Ejemplo : La función 𝑓 𝑥 = 800 + 50 𝑥 representa el sueldo de un profesor de
aerobic de un gimnasio, quien cobra 800 € mensuales fijos, más 50 € por
cada persona matriculada en sus clases. En este caso, 𝐷 𝑓 = ℕ ,
ℕ ⊂ ℝ , pues los valores tomados por la variable independiente han de
ser enteros mayores o iguales que cero, al referirse a número de
personas.
FUNCIONES LINEALES
Expresión algebraica: 𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝒎𝒙 + 𝒏 , 𝑚, 𝑛 ∈ ℝ
𝑚 → pendiente (variación, aumento o disminución, que se produce en
𝑦 cuando 𝑥 aumenta 1 unidad).
𝑛 → ordenada en el origen (imagen de 𝑥 = 0 por la función 𝑓).
NOTA: Las funciones lineales son funciones polinómicas de primer
grado.
Representación gráfica: R ecta de pendiente 𝑚 pasando por el punto 0 , 𝑛.
Dada la expresión general, 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 , para representar la recta
asociada a ella, basta unir dos puntos cualesquiera pertenecientes a
la misma. Habitualmente, los puntos elegidos son los de corte con los
ejes cartesianos, 0 , 𝑛 y
−𝑛
𝑚
, 0 , o bien, los puntos 0 , 𝑛 y 1 , 𝑚 + 𝑛.
Cuanto mayor sea 𝑚 , más inclinada estará la recta con
respecto al eje de abscisas 𝑂𝑋.
Dominio y Recorrido: 𝐷 𝑓 = ℝ , 𝐼 𝑓 = ℝ
Continuidad: 𝑓 continua en ℝ
Monotonía:
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
x
y
𝑚 > 0 ⟹ 𝑓 creciente 𝑚 < 0 ⟹ 𝑓 decreciente
𝑚 = 0 ⟹ 𝑓 constante
NOTA: Si 𝑚 = 0 , la función tiene como expresión 𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝒏 ,
siendo su recta asociada la paralela al eje 𝑂𝑋 pasando por el
punto 0 , 𝑛 , esto es, una recta horizontal a altura 𝑛.
Acotación y Extremos: 𝑓 no está acotada superior ni inferiormente, por lo que no presenta
ningún extremo (máximo ni mínimo).
Clasificación: Se distinguen dos tipos de funciones lineales, según el valor de 𝑛
(ordenada en el origen):
- Funciones de Proporcionalidad Directa 𝑛 = 0 :Pasan por el
origen de coordenadas, 𝑂 0 , 0. Su expresión es, pues: 𝒚 =
- Funciones Afines 𝑛 ≠ 0 : No pasan por 𝑂 0 , 0.
Ecuaciones de la recta: Una misma recta en el plano puede ser expresada de distintas
formas, según los datos que tengamos sobre ella:
m → pendiente, n → ordenada en el origen
Ecuación Explícita (conocidas la pendiente y la ordenada en el
origen):
Ecuación Punto-Pendiente (conocidas las coordenadas de un punto
de la recta y la pendiente de esta):
0
0
0
→ punto de la recta
𝑚 → pendiente
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos (conocidas las
coordenadas de dos puntos pertenecientes a la recta):
1
2
1
2
1
1
1
1
2
2
) → puntos de la recta
NOTA : 𝑚 =
𝑦
2
−𝑦
1
𝑥
2
−𝑥
1
→ pendiente
Ecuación Continua (solo válida para rectas no paralelas a los ejes
cartesianos, conocidas las coordenadas de dos de sus puntos).
1
2
1
1
2
1
1
1
2
2
) → puntos de la recta
Ecuación General o Implícita (obtenida a partir de cualquiera de las
anteriores, haciendo las transformaciones oportunas):
NOTA : 𝑚 =
pendiente , 𝑛 =
→ ordenada
en el origen
𝑣 = −𝑏, 𝑎 → vector director de la recta
Cuanto mayor sea 𝑎 , más estilizada será la parábola.
Dos parábolas con el mismo coeficiente principal tienen la
misma forma, aunque estén situadas en distinta posición.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
2
4
6
8
10
12
14
x
y
y = 2x
2 -15x+
y=2x
2 +3x-
Representación de la parábola : Para representar la
parábola asociada a una función cuadrática es preciso
conocer su vértice, los puntos de corte con los ejes de
coordenadas y, si es posible, varios puntos próximos al
vértice y simétricos respecto a este
Dominio y Recorrido: 𝐷 𝑓 = ℝ
𝑣
, +∞) si 𝑎 > 0
𝑣
si 𝑎 < 0
Continuidad: 𝑓 continua en ℝ
Monotonía:
Acotación y Extremos:
Curvatura:
Puntos de Inflexión: 𝑓 no tiene puntos de inflexión
NOTAS :
- Si dos parábolas tienen el mismo eje de simetría y son
simétricas entre sí respecto a 𝑂𝑋, entonces, sus respectivos
coeficientes son opuestos entre sí.
- Al trasladar una parábola hacia la derecha 𝑛
unidades, en la expresión general cambiamos 𝑥
por 𝑥 − 𝑛. Análogamente, si la trasladamos
hacia la izquierda 𝑛 unidades, el cambio a
realizar será 𝑥 por 𝑥 + 𝑛.
Traslaciones de parábolas
Partimos de 𝒚 = 𝒙
𝟐
𝒚 = 𝒙
𝟐
𝟐
− 𝟐
Dominio y Recorrido: 𝐷 𝑓 = ℝ ∖ 0 , 𝐼 𝑓 = ℝ ∖ 0
Continuidad: Es continua en todo ℝ, excepto en el punto 𝑥 = 0 , donde presenta una
discontinuidad inevitable de salto infinito.
Monotonía: 𝑘 > 0 ⟹ f decreciente
𝑘 < 0 ⟹ f creciente
Acotación y Extremos: La función no está acotada superior ni inferiormente, por lo que no
tiene máximos ni mínimos
Curvatura: 𝑘 > 0 ⟹
𝑓 cóncava en −∞, 0
𝑓 convexa en 0 , +∞
𝑓 convexa en −∞, 0
𝑓 cóncava en 0 , +∞
Puntos de inflexión: No tiene ningún punto de inflexión.
Tendencias:
−
−
Cuanto mayor es 𝑘 , más lentamente tiende la función, es decir, más
separadas están las curvas de la hipérbola de los ejes cartesianos.
Simetría: Función con simetría impar, o lo que es equivalente, simétrica
respecto del origen de coordenadas, ya que 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥).
Asíntotas: La función presenta una asíntota horizontal de ecuación 𝑦 = 0 y una
asíntota vertical de ecuación 𝑥 = 0
TRASLACIÓN DE HIPÉRBOLAS
Un caso particular de las funciones de proporcionalidad inversa son las funciones racionales
(cociente de dos polinomios) de la forma 𝑦 =
, donde 𝑔𝑟 𝑃 𝑥 = 𝑔𝑟 𝑄 𝑥 = 1 , ya que estas
son, en realidad, el resultado de trasladar horizontal y/o verticalmente alguna función del tipo
. Podemos distinguir dos tipos, según la traslación que tiene lugar:
A) TIPO 1
Expresión algebraica: 𝒚 = 𝒇 𝒙 =
, 𝑘 , 𝑎 ∈ ℝ , 𝑘 ≠ 0
NOTA : Si 𝑎 = 0 , se trata de una función de proporcionalidad
inversa.
Representación gráfica: Es una hipérbola idéntica a la de la función 𝑦 =
, pero
trasladada 𝑎 unidades hacia la derecha o hacia la izquierda,
según que a sea positivo o negativo, respectivamente.
La función nunca corta al eje 𝑂𝑋, presentando un único punto
de corte con 𝑂𝑌, 0 , −
𝑘
𝑎
𝒚 =
𝟐
𝒙
𝒚 =
𝟐
𝒙 − 𝟑
𝒚 =
𝟐
𝒙 + 𝟓
Ejemplos:
B) TIPO 2
NOTA : Si 𝑎 = 0 𝑦 𝑏 = 0 , se trata de una función de
proporcionalidad inversa.
Representación gráfica: Es una hipérbola idéntica a la de la función 𝑦 =
, pero
trasladando sus ejes del siguiente modo: el eje vertical se mueve
𝑎 unidades hacia la derecha o hacia la izquierda, según que a sea
positivo o negativo, respectivamente; el eje horizontal se
desplaza 𝑏 unidades hacia arriba o hacia abajo, según que b sea
también positivo o negativo, respectivamente.
La función corta a cada eje en un único punto, siendo las
coordenadas de esos puntos de corte 𝑎 −
𝑘
𝑏
, 0 y 0 , 𝑏 −
𝑘
𝑎
Expresión algebraica: 𝒚 = 𝒇 𝒙 =
𝒚 =
𝟐
𝒙
𝒚 =
𝟐
𝒙 − 𝟑
𝒚 =
𝟐
𝒙 − 𝟑
− 𝟏
Ejemplos:
FUNCIONES RADICALES
Las funciones radicales o irracionales son aquellas en las que la variable independiente aparece
bajo un signo radical.
Expresión algebraica: 𝒚 = 𝒇 𝒙 = + 𝒂𝒙 + 𝒃 , 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0
Representación gráfica: Media parábola situada en el semiplano de las ordenadas positivas,
que tendría como eje de simetría al de abscisas, 𝑂𝑋, en el caso de
que apareciese la otra rama de la parábola.
Dominio y Recorrido : 𝐷 𝑓 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 =
−𝑏
𝑎
+∞ , si 𝑎 > 0
−𝑏
𝑎
, si 𝑎 < 0
Continuidad: 𝑓 continua
Monotonía: 𝑎 > 0 ⟹ f creciente
𝑎 < 0 ⟹ f decreciente
Acotación y Extremos: La función está acotada inferiormente, pero no superiormente, no
teniendo ningún máximo, y presentando un mínimo absoluto en
x=
−𝑏
𝑎
ya que para este valor de la variable independiente se anula
el radicando.
Curvatura: f cóncava
Puntos de inflexión: No hay puntos de inflexión.
Simetría: La función no presenta simetría par ni impar.
𝑎 > 0
𝑎 < 0
NOTA : La función 𝒚 = 𝒇 𝒙 = − 𝒂𝒙 + 𝒃 es simétrica a la anterior respecto del
eje 𝑂𝑋. Por lo tanto, se trata de una media parábola situada en el semiplano
de las ordenadas negativas, con idéntico dominio a esta, cuyo recorrido es
−∞, 0 , no estando acotada inferiormente, pero sí superiormente,
con un máximo absoluto en 𝑥 =
−𝑏
𝑎
, y con curvatura convexa.
𝑦 = − 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑎 > 0
𝑦 = − 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑎 < 0
Ejemplos:
𝑦 = 𝑥 − 2
𝑦 = − −3𝑥 + 9
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Expresión algebraica: 𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈
𝒂
Representación gráfica: Curva cóncava o convexa (según el valor de 𝑎), situada en los
cuadrantes 1 º y 4 º (abscisas positivas), pasando por los puntos
1 , 0 y 𝑎, 1 , pues 𝑙𝑜𝑔
𝑎
1 = 0 y 𝑙𝑜𝑔
𝑎
𝑎 = 1 , para cualquier valor 𝑎
positivo y distinto de 1.
La gráfica de esta función no corta al eje 𝑂𝑌 en ningún punto, ya
que no es posible calcular el logaritmo de 0 en ninguna base 𝑎.
Continuidad: 𝑓 continua en 0 , +∞
Acotación y Extremos: La función no está acotada superior ni inferiormente, por lo que no
tiene ni máximos ni mínimos.
Curvatura: 𝑎 > 1 ⟹ f cóncava en 0 , +∞
0 < 𝑎 < 1 ⟹ f convexa en 0 , +∞
Puntos de inflexión: No hay puntos de inflexión.
Simetría: La función no presenta simetría par ni impar.
Dominio y Recorrido : 𝐷 𝑓 = 0 , +∞ , 𝐼 𝑓 = ℝ
Monotonía: 𝑎 > 1 ⟹ f creciente en 0 , +∞
0 < 𝑎 < 1 ⟹ f decreciente en 0 , +∞
Asíntotas: La función presenta una asíntota vertical de ecuación 𝑥 = 0.
Tendencias: 𝑎 > 1 ⟹
NOTA: Cuanto más se aproxime
𝑎 a 1 , más rápida será
la tendencia de la
función, es decir, más
abierta será su gráfica.
𝑎 > 1
0 < 𝑎 < 1
NOTA: La función logarítmica es la inversa de la función exponencial , y viceversa.
Para demostrar esta afirmación, basta comprobar que si un punto 𝑥
0
0
pertenece
a la gráfica de una de ellas, entonces, el punto 𝑦
0
0
se encuentra en la gráfica de
la otra.
0
0
pertenece a la gráfica de 𝑦 = 𝑎
𝑥
0
𝑥 0
⟺ 𝑙𝑜𝑔
𝑎
0
0
0
0
pertenece a la gráfica de 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔
𝑎
definición de logaritmo
Gráficamente, que ambas
funciones sean inversas equivale
a que las curvas asociadas a ellas
son simétricas respecto de la
recta 𝑦 = 𝑥.
FUNCIONES DEFINIDAS “A TROZOS”
𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 1 , 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝑫 1
𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 2 , 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝑫
2
𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑛, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝑫 )
𝒏
Donde, 𝐷
1
2
𝑛
(𝑓) son dominios que se suelen expresar
mediante intervalos (o semirrectas), desigualdades, o puntos.
Representación gráfica: Cambia de unos intervalos de la recta a otros, según la fórmula
vigente en dicho tramo. Por lo tanto, habitualmente se distinguen
varias partes en la gráfica, aunque puedan estar unidas entre sí.
Expresión algebraica: Contiene más de una fórmula, cada una de las cuales rige el
comportamiento de la función en un cierto tramo.
Es imprescindible conocer qué formula se debe usar con cada valor
de la variable independiente 𝑥, por lo que todas las fórmulas se
acompañan obligatoriamente de una condición que especifica cuál
es su dominio de aplicación. Así, la expresión analítica general de
una función definida a trozos tiene este aspecto:
