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UNIDAD 3 (Parte I): REPASO DE FUNCIONES
ELEMENTALES
1. CONCEPTOS GENERALES:
1.1 DEFINICIÓN:
Una función es una correspondencia entre dos magnitudes o variables de manera
que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.
En general, estudiaremos funciones reales de variable real, es decir, funciones de ℝ
en ℝ, de manera que a cada número real x, le corresponde otro número real y=f(x),
llamado imagen.
Una función puede definirse mediante:
Fórmula matemática 𝒚 = 𝒇(𝒙) Gráfica
𝟐
Tabla de valores
x 𝒚 = 𝒙
𝟐
Al conjunto de valores que toma o puede tomar la variable x se le llama Dominio de
definición de la función; D(f)=Dom(f).
Recorrido, Imagen o Rango es el conjunto de valores que alcanza la variable
dependiente y.
1.2 DETERMINACIÓN DE DOMINIOS:
El dominio de una función no tiene por qué ser siempre ℝ sino que puede verse
restringido por varias causas:
a) Contexto del que se ha extraído la función.
b) Voluntad de quién define la función.
c) Imposibilidad de realizar determinadas operaciones.
Considerando el caso c) podremos determinar dominios de funciones a partir de su
fórmula teniendo en cuenta que:
- El dominio de una función polinómica es ℝ.
- El dominio de una función racional (cociente de polinomios) será toda la
recta real excepto las raíces del denominador.
- El dominio de una función en cuya expresión aparece una raíz de índice par
está restringido a aquellos valores que verifican que el radicando es
positivo o cero.
- El dominio de una función logarítmica está restringido a aquellos valores
reales que verifican que el argumento del logaritmo es estrictamente
mayor que cero.
v Ejemplos:
𝟐
Para calcular su dominio, igualamos el denominador a cero y resolvemos la ecuación
que resulta:
"
"
"
Por tanto, 𝑫𝒐𝒎(𝒇) = ℝ − :−√𝟓, +√𝟓=
𝟐
Como el radicando debe ser positivo, resolvemos la inecuación 𝑥
"
]
∪ [ 3 , +∞)
Por tanto 𝑫𝒐𝒎 (𝒇) = (−∞, 𝟐
]
∪ [𝟑, +∞)
𝟐
Debe verificarse que el argumento del logaritmo ha de ser estrictamente positivo; por
tanto hay que resolver la inecuación 𝑥
"
Por tanto 𝑫𝒐𝒎
2. FAMILIAS DE FUNCIONES:
2.1 FUNCIÓN LINEAL:
Su expresión algebraica es y= m x + n , donde m es la pendiente y n la ordenada en
el origen. Gráficamente es una línea recta que pasa por el punto (0, n).
Dependiendo del signo de m , la función será:
m > 0 ⟹ la función es creciente.
m < 0 ⟹ la función es decreciente
m = 0 ⟹ La función es constante. Su forma es una recta horizontal o
paralela al eje de abcisas.
v Ejemplo:
La ecuación de esta gráfica es 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟒. La pendiente es m = 3 y la ordenada en
el origen n = - 4.
Quiere decir que la gráfica corta al eje de ordenadas en el punto (0, - 4).
2.2 FUNCIÓN CUADRÁTICA
Su forma general es 𝒚 = 𝒇
𝟐
Su gráfica corresponde a una parábola de vértice 𝒙 =
#𝒃
𝟐𝒂
. Es una gráfica simétrica
respecto de un eje vertical que pasa por el vértice.
Dependiendo del signo de a la parábola será convexa o cóncava.
El valor de la constante c es la ordenada en el origen , es decir, indica que la curva
corta al eje de ordenadas en el punto (0, n).
Los puntos de corte con el eje de abcisas se calculan de la siguiente manera:
𝟐
𝟏
𝟐
siendo x 1
, x 2
las soluciones, si existen de la ecuación de segundo grado.
- Con el eje Y: 𝒙 = 𝟎 ⇒ 𝒚 = 𝒏. 𝐸𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑙 (𝟎, 𝒏).
v Ejemplos:
"
"
El vértice se encuentra en el punto 𝑥 =
"
"
= 1. La imagen de este valor es 𝑦 =
"
− 2 ∙ 1 − 3 = − 4. Por tanto, el
vértice es el punto de coordenadas
Los puntos de corte con el eje X son (-
1, 0) y (3, 0), obtenidos de resolver la
ecuación de segundo grado , y con el
eje Y (0, - 3).
Vértice: 𝑥 =
#'
#"
"
Puntos de corte con el eje X: −𝑥
"
Punto de corte con el eje Y: x=0 → 𝑦 =
2.3 FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA:
Su expresión algebraica es
(El producto de las coordenadas de los puntos de la función siempre es constante)
(Decreciente) (Creciente)
Gráficamente es una hipérbola tal y como se indica en el ejemplo.
Los ejes de coordenadas se consideran asíntotas de la función. Esta función no
presenta máximos ni mínimos relativos.
2.4 FUNCIONES RACIONALES:
Corresponden a cocientes de polinomios. Estas funciones están definidas en todo
ℝ excepto en las raíces del denominador. En estos casos se estudiarán los límites
en estos valores para determinar si hay asíntotas o no.
Su forma gráfica es diferente, dependiendo del grado de los polinomios.
La representación gráfica de funciones que son cocientes de polinomios de grado
menor o igual que 1 es más previsible, puesto que se trata de funciones trasladadas
a partir de una de proporcionalidad inversa.
= ℝ − t
u 𝑰𝒎
= ℝ − v
w
Las rectas siguientes verifican:
𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒂𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏
𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒂𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏
v Ejemplo:
𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = [ 3 , +∞) 𝐼𝑚 (𝑓) = (−∞, 0 ]
𝟐
]
[
= [ 0 , +∞)
(La representación de ésta última es más compleja, pues incluye dos asíntotas
oblícuas).
2.6 FUNCIÓN EXPONENCIAL:
La variable independiente está en un exponente. Su forma más simple es
𝒙
Su dominio es ℝ y su imagen
. Suelen presentar una asíntota horizontal
solamente hacia un lado. En este caso dicha asíntota coincide con el eje de abcisas.
v Ejemplos:
𝒙
𝒙
#𝒙
Podemos observar que la función corta al eje Y en el punto (0, 1). Además:
𝒂 > 𝟏 ⟹ 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
𝟎 < 𝒂 < 𝟏 ⟹ 𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
x 𝒚 = 𝟐
𝒙
x
𝒚 =
𝒙
3. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE FUNCIONES:
TRANSFORMACIONES VERTICALES
Sumando k: la
función se traslada k
unidades hacia
arriba.
Restando k: la
función se traslada k
unidades hacia abajo.
TRANSFORMACIONES HORIZONTALES
Sumando m la gráfica
se traslada m unidades
a la izquierda.
Restando m la gráfica
se traslada m unidades
a la derecha.
TRANSFORMACIONES OBLÍCUAS
Consisten en la combinación de las dos anteriores: 𝒚 = 𝒇(𝒙 ± 𝒎) ± 𝒌
4. OPERACIONES CON FUNCIONES:
OPERACIONES ELEMENTALES CON FUNCIONES
Sean f y g dos funciones reales de variable real.
Se define la función suma: (𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙).
De la misma manera se puede definir la función diferencia:
Multiplicación o producto de funciones:
División o cociente de funciones :
𝒇
𝒈
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
v Ejemplo:
𝟐
"
"
"
"
"
"
"
"
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES:
Dadas dos funciones f y g de manera que 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ⊂ 𝐼𝑚 (𝑔), se define la operación
“f compuesta con g”, 𝑓𝑜 𝑔, de la manera siguiente:
v Ejemplo:
𝟐
𝒙
1
1
"
1
𝟐𝒙
𝒙
"
𝒙
𝟐
#𝟑𝒙 3 𝟒
La composición de funciones no es conmutativa.
FUNCIÓN RECÍPROCA O INVERSA :
Dada una función f , se llama función recíproca o inversa de f; 𝑓
#*
a aquella que
verifica:
#𝟏
#𝟏
v Ejemplo:
Las funciones 𝑓(𝒙) = √
𝟐
son inversas la una de la otra, puesto que
si efectuamos su composición, tanto en un sentido como en otro se obtiene la función
identidad (aquella que relaciona un valor consigo mismo)
"
"
"
Como calcular la función recíproca o inversa de una dada:
Y su representación gráfica consiste en dos líneas rectas que se unen en x=2:
𝒃) 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓á𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒚 = 𝒙
𝟐
"
− 2 𝑥 − 3 | = t
"
"
"
"
Estudiamos el signo de la expresión 𝑥
"
− 2 𝑥 − 3_. Calculamos sus raíces, que en este_
caso son x=-1 y x=3. En estos valores la función es nula y dividen al intervalo real en
tres intervalos, siendo el signo de esta expresión constante en cada uno de ellos:
𝐸𝑛 (−∞, − 1 ) 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑥
"
𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 (− 1 , 3 ) 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎
Entonces la función valor absoluto de esta función cuadrática queda como sigue:
"
− 2 𝑥 − 3 | = t
"
"
− 2 𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞, − 1 ] ∪ [ 3 , +∞)
Y su representación gráfica es la siguiente:
