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FUNCIONES ELEMENTALES
BÁSICAS
Las funciones elementales básicas son:
F. potencial: F. exponencial: F. logarítmicas F. trigonométricas y sus inversas
La mayor parte de las funciones con las que trabajaremos a lo largo del curso se construyen a partir de estas funciones elementales básicas. Conocer estas funciones y manejarlas con soltura es primordial para seguir con éxito el curso.
Función Potencial
Una función potencial es una función de la forma:
, fijo)
en donde el exponente n es un número real fijo.
El dominio, las características y la forma de la gráfica de una función potencial dependen mucho de cuál sea el exponente. A continuación se presentan los casos más relevantes:
Función potencial con exponente entero positivo
Si
n par f x x^2 , x^4^ , x^6 ,
n impar f x x^3^ , x^5^ , x^7 ,
Función potencial con exponente entero negativo
Si
n par
(^2 4 ) f x 1 , 1 , 1 , x x x
(^) n impar
(^3 ) f x 1 , 1 , 1 , x x x
x
y
x
y
x
y
x
y
Función potencial con exponente fraccionario negativo
Raíces de orden par: Si q
p
Raíces de orden impar: Si q
p
(^1) ;^12 2 n f x x ^1 x ^ ^3
(^1) ; 13 1 3 n x x^ f x (^23) n 2 3 ; f x x (^3 1) x 2
Se supone que la fracción q
p es una fracción irreducible, es decir,. Las gráficas pueden tener otras formas que aquí no se muestran. Sólo mostramos las más usuales.
Propiedades de exponentes y radicales
Si , entonces:
Insistimos en que estas propiedades son ciertas siempre y cuando. En este caso, no hay ningún problema al aplicarlas. Sin embargo, muchas de ellas se pueden emplear cuando alguno de los valores es negativo y es aquí, sobre todo en la propiedades relacionadas con los radicales, cuando surgen los problemas y hay que tener mucha precaución a la hora de usarlas. Veamos algún ejemplo:
x
y
x
y
x
y
Ejemplo 1:
Si n es impar la propiedad se puede aplicar cualquier valor de x y de y. Es decir,
si n es impar
Por ejemplo,.
Sin embargo, cuando la raíz es de orden par, el escribir la raíz de un producto como el producto de las raíces puede acarrear serios problemas si ambos factores no son positivos. Si tomamos , ¿se cumple que?
Todo lo comentado aquí también es válido para la propiedad
n n n
x x
y y
Ejemplo 2:
Otra propiedad con la que hay que tener mucho cuidado al aplicarla sobre valores negativos es .
De nuevo, si n es impar (el valor de m es indiferente) la propiedad tiene carácter general para cualquier valor real de x.
El problema vuelve a surgir cuando el valor de n es par. Siempre que aparece la expresión solemos simplificarla empleando la propiedad anterior ( ) y concluimos que , sea cuál sea el valor de^ x. Si x es positivo, la propiedad está correctamente aplicada. Pensemos un poco: ¿Tiene sentido la expresión cuando x es un número negativo? Si sustituimos, por ejemplo, x por (7) la expresión quedaría como , expresión que no tiene sentido porque un número positivo, (recordemos que hemos convenido que ), nunca puede ser igual a un número negativo^1.
Para no tener problemas, conviene acostumbrarse desde el principio a usar la propiedad correcta que dice:
(^1) No hay que confundir lo aquí explicado con el hecho de que las soluciones de la ecuación.
Función Exponencial
Para cualquier constante , se define la función exponencial de base b como la función:
La función exponencial por excelencia es aquella que tiene como base al número e de Euler o constante de Neper ( ), es decir,. A dicha función la denominaremos función exponencial natural o simplemente función exponencial.
Cuando el exponente de la función exponencial es complicado suele ser cómodo emplear la notación
Por ejemplo, en vez de escribir se puede escribir, con mayor claridad
es decir:
Nótese que en una función exponencial la base b es fija y es el exponente quien es variable.
El dominio de cualquier función exponencial es y, salvo para , que es una función constante, la forma de su gráfica depende de que el valor de b sea mayor o menor que 1. A continuación se muestran ambas posibilidades:
Función exponencial
Función estrictamente decreciente Función estrictamente creciente
En la siguiente figura se observa que, si la base , el crecimiento de la función exponencial es más rápido al aumentar el valor de b.
Funciones exponenciales para distintos valores de b ( )
La función exponencial permite modelar matemáticamente diferentes comportamientos poblacionales, magnitudes físicas, fenómenos medioambientales,... Veamos un ejemplo:
Ejemplo:
Algunas bacterias se reproducen muy rápidamente. Supongamos una población inicial de 100 bacterias que se duplica cada hora. Sea el número de bacterias en la población en la hora t. Puesto que la población se duplica cada hora, es fácil ver que:
x
y
1 x
y
1
y
y e^ x
y 4^ x
y 6^ x
En el siguiente gráfico se compara la gráfica de una función potencial con una exponencial. Para valores de x lo suficientemente grandes las funciones exponenciales (con ) crecen mucho más rápidamente que las potenciales (con ).
En el intervalo , las funciones exponenciales ( ) crecen mucho más rápidamente que las funciones potenciales ( )
Función Logarítmica
Sea. Para cualquier valor positivo x se define el logaritmo en base b de x como el exponente al que debe elevarse b para obtener el número x. Al logaritmo en base b de x lo denotaremos como log b x. Por lo tanto:
Por ejemplo:
⇓ ⇓^ ⇓ ⇓ ⇓
Se denomina función logarítmica de base b a la función que a cada valor positivo de x le hace corresponder el valor de , es decir tal que:
Por lo tanto,.
y
x
y b^ x
y x^ n
Reflexiona : ¿Por qué el dominio de un logaritmo ha de ser? ¿Por qué no se pueden calcular logaritmos con base negativa?
Al igual que con la función exponencial, el logaritmo más empleado es el de base e. A éste se le denomina logaritmo natural o neperiano y se le denota usualmente por ln ( x ) , es decir
Cuando la base del logaritmo es 10, hablamos de logaritmos decimales y nos referiremos a ellos como.^3
Basándonos en la definición es fácil ver que:
Por lo tanto, como observamos en los siguientes diagramas, las funciones exponencial y logarítmica de base b son funciones inversas, puesto que al componerlas en cualquier orden se obtiene la función identidad.
(^3) Existe algo de confusión en cuanto a la notación empleada para los logaritmos. En algunos manuales la notación (sin especificar la base) se reserva para los logaritmos neperianos aunque lo habitual es reservar esta notación para los logaritmos decimales.
f ( ) x log ( ) b x^ g x ( )^^ bx
g (^) f ( ) x (^) x
x log ( ) b x b log b x x
g x ( ) bx f ( ) x log ( ) b x
g (^) f ( ) x (^) x
x bx log ( b bx ) x
Reflexiona : Si , ¿cómo son los valores de si? ¿Y si? ¿Cómo será la gráfica de una función logarítmica de base b en donde ??
Propiedades de los logaritmos
Si y r es cualquier número real:
Reflexiona : ¿Son ciertas las propiedades anteriores para cualquier par de números reales x e y?
Originariamente los logaritmos se empleaban para trabajar con grandes números teniendo la ventaja de transformar productos y cocientes en sumas y restas, respectivamente. Actualmente los logaritmos se usan en ingeniería y en ciencias para manejar cantidades cuyos valores varían en un rango excesivamente grande. Los logaritmos intervienen en la definición de pH. El pH indica la concentración de iones hidronio [H 3 O+] presentes en un medio material (mezclas, disoluciones, etc.). Esta concentración es muy variable, pudiendo tomar valores comprendidos entre 10^1 y 10^14 M, aproximadamente, cuando nos referimos a disoluciones en agua. Así, en vez de trabajar directamente con la concentración de iones hidronio es más cómodo usar su logaritmo decimal. Entonces, el pH se define como:
En la siguiente tabla se muestran los valores de la concentración y el correspondiente valor del pH:
0,1 10 ^1 0,01 10 ^2 0,001 10 ^3 0,000 1 10 ^4 0,000 01 10 ^5 0,000 001 10 ^6 0,000 000 1 10 ^7 0,000 000 01 10 ^8 0,000 000 001 10 ^9 0,000 000 000 1 10 ^10 0,000 000 000 01 10 ^11 0,000 000 000 001 10 ^12 0,000 000 000 000 1 10 ^13 0,000 000 000 000 01 10 ^14 Concentración de iones hidronio y su correspondiente pH.
Veamos algunos ejemplos de trabajo con logaritmos:
Ejemplo 1: Sabiendo^ que^ calcula,^ sin^ usar^ la^ calculadora,^ , y.
Solución :
Ejemplo 2: Resuelve la ecuación
Solución :
Errores muy graves y frecuentes:
(Corrígelo tú mismo).
Funciones Trigonométricas
La palabra trigonometría deriva de los vocablos griegos trigonon (triángulo) y metria (medición). En este apartado presentamos un breve repaso de las funciones trigonométricas y sus representaciones gráficas.
Definiciones:
Radián y grado sexagesimal:
Un radián (rd) es la medida del ángulo central de una circunferencia que corresponde a un arco cuya longitud igual al radio de la circunferencia.
Un grado sexagesimal (1o) es la medida del ángulo central que corresponde a un arco cuya
longitud es 360 1 de la longitud de la circunferencia.
Por tanto: radianes radianes radianes
Para hacer la conversión de grados a radianes basta aplicar una regla de tres o la relación anterior para deducir que: o radianes (^180) o radianes ^ a
Análogamente para convertir radianes a grados se utiliza la fórmula:
o radianes 180 o radianes a^
Definición de las funciones trigonométricas
Se considera la circunferencia de centro el origen O y radio 1 y sobre ella un punto cualquiera P de coordenadas. Sea el ángulo que forma la dirección positiva del eje de abscisas con el segmento OP. Las funciones trigonométricas se definen como:
Construcción de las funciones trigonométricas
sen ( ) cos( ) tan( ) cot( ) 1 tan( ) csc ( ) 1 sec( )^1 sen( ) cos( )
y x y x
Algunas fórmulas importantes
a) Se dice que un ángulo es complementario del ángulo si
^ radianes. Es fácil
deducir entonces que si y son ángulos complementarios se cumple que
sen( ) cos( ) cos( ) sen( ) tan( ) cot( )
b) Identidad fundamental
sen ( )^2 x cos ( )^2 x 1
Se deduce por tanto que
sen( ) x 1 cos ( )^2 x cos( ) x 1 sen ( )^2 x
El signo quedará completamente determinado una vez se conozca el cuadrante en el que se sitúa el ángulo x. A partir de la anterior fórmula es fácil ver que también se cumple que:
O x
y
P x y ( , )
1
1
(^1) y x
Representación gráfica de las funciones trigonométricas
y sen( ) x y cos( ) x y tan( ) x
y csc( ) x y sec( ) x y cot( ) x
En todas las gráficas el ángulo x está dado en radianes.
Funciones elementales
A las funciones exponenciales y logarítmicas junto con las trigonométricas y sus inversas se les denomina funciones trascendentes. Estas funciones junto con las potenciales se conocen como funciones elementales básicas. Las funciones elementales básicas se pueden combinar usando
las operaciones aritméticas de suma (), resta (), multiplicación (×) y división (÷) y la composición de funciones. A las funciones obtenidas de tal manera las denominamos funciones elementales.
2,5 p 2 p 1,5 p p 0,5 p 0 0,5 p p 1,5 p 2 p 2,5 p
1
0,
0,
1
x
y
2,5 p 2 p 1,5 p p 0,5 p 0 0,5 p p 1,5 p 2 p 2,5 p
1
0,
0,
1
x
y
2,5 p 2 p 1,5 p p 0,5 p 0 0,5 p p 1,5 p 2 p 2,5 p
2,5 p 2 p 1,5 p p 0,5 p 0,5 p p 1,5 p 2 p 2,5 p
1
x
y
2,5 p 2 p 1,5 p p 0,5 p 0,5 p p 1,5 p 2 p 2,5 p^ x
y
2,5 p 2 p 1,5 p p 0,5 p 0,5 p p 1,5 p 2 p 2,5 p^ x
y
El nombre de elemental no implica sencillez. Las funciones elementales pueden tener un aspecto tan complicado como:
3
cos( 8 ) 2
3 7 45 ln(sen( 8 )) ( ) arctg^5
^
x
x e x f x x
Sin embargo, hay funciones que no son elementales y son tan sencillas como:
1 si 0 ( )^1 si^0 x gx x
La función anterior no es elemental al intervenir en su definición una operación lógica (el " si " condicional). Estas operaciones no están permitidas en la definición de funciones elementales.
Transformaciones de funciones
Muchas veces la gráfica de una función se puede obtener mediante transformaciones sencillas de funciones conocidas. Por ejemplo, es fácil dibujar la gráfica de la función g x ( ) ( x 2)^3 o de h x ( ) ( x 5)^3 si conocemos la gráfica de f ( ) x x^3.
FUNCIONES ELEMENTALES
Funciones elementales básicas
F. potenciales (^) F. exponenciales F. logarítmicas F. trigonométricas
