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Funciones Matemáticas
1. Introducción
2. Función
3. Diferencias entre función y relación
4. Dominio
5. Rango
6. ¿Para qué se representa una gráfica?
7. Tipos de funciones
8. Función Constante
9. Función lineal
10. Función Cuadrática
11. Función Logarítmica
12. Función Exponencial
13. Cuadro comparativo entre las funciones
14. Función Ramificada
15. Relevancia de las funciones en el cálculo
16. Diferencia y semejanza entre dominio y rango
17. Conclusión
18. Bibliografía
Introducción En el presente trabajo, se detallarán las características de las diferentes funciones matemáticas. Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".
Función Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto. Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio. Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contradominio o imagen. Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La entrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí la función y la salida sería el contradominio. Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio. Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con una letra, digamos o , o cualquier otra. Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo Diferencias entre función y relación Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados, o cualquier correspondencia entre conjuntos y una función es la que da exactamente un valor a la variable dependiente (y) para cada valor de la variable independiente (x) en el dominio. Una relación entre 2 conjuntos A y B es cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB, incluso el vacío. Una función de A en B debe cumplir que para todo elemento de A exista un único elemento de B (que se suele llamar f(a)) relacionado con él. Una forma de clasificar las relaciones es la siguiente: se dice que R es reflexiva si para todo elemento de A (a, a) esta en la relación. Se dice que es simétrica si cada vez que (a, b) está en la relación, (b, a) está en la relación, antisimétrica si cada vez que (a, b) y (b, a) están en la relación, a=b y transitiva si cada vez que (a, b) y (b, c) están en la relación, (a, c) esta en la relación.
Tipos de funciones
Función Constante
Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma: F(x)=a donde a pertenece a los números reales y es una constante. Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x y, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos: Y=F(x) entonces Y=a donde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas: para valores de a iguales: Y= Y=4, Y=-3, La función constante como un polinomio en x es de la forma Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le corresponde siempre el valor a. El Dominio de la función constante va hacer igual siempre a “Todos los Reales” Mientras que la imagen tan solo va hacer el valor de a. Es una Función Continua. ¿Qué significa la recta representa por la función y=0? Representa que la recta pasara por todo el eje X.
Función lineal
Es aquella que satisface las siguientes dos propiedades:
- Propiedad aditiva (también llamada propiedad de superposición): Si existen f(x) y f(y), entonces f(x + y) = f(x) + f(y). Se dice que f es un grupo isomorfista con respecto a la adición.
- Propiedad homogénea: f (ax) = af(x), para todo número real a. Esto hace que la homogeneidad siga a la propiedad aditiva en todos los casos donde a es racional. En el caso de que la función lineal sea continua, la homogeneidad no es un axioma adicional para establecer si la propiedad aditiva esta establecida.
En esta definición x no es necesariamente un número real, pero es en general miembro de algún espacio vectorial. Para comprobar la linealidad de una función no es necesario realizar la comprobación de las propiedades de homogeneidad y aditividad por separado, con mostrar que la linealidad queda demostrada. El concepto de linealidad puede ser extendido al operador lineal. Ejemplos importantes de operaciones lineales incluyen a la derivada considerada un operador diferencial y muchos construidos de él, tal como el Laplaciano. Cuando una ecuación diferencial puede ser expresada en forma lineal, es particularmente fácil de resolver al romper la ecuación en pequeñas piezas, resolviendo cada una de estas piezas y juntando las soluciones. Las ecuaciones no lineales y las funciones no lineales son de interés en la física y matemáticas debido a que son difíciles de resolver y dan lugar a interesantes fenómenos como la teoría del caos. Función Cuadrática La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son: Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo. Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo. Eje de simetría: x = xv. Intersección con el eje y. Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.
Cuadro comparativo entre las funciones Función Ramificada Es aquella que sirve para encontrar los puntos límites de los intervalos en los cuales se divide el dominio. Ejemplo: Respuesta: Observemos que el dominio de esta función está dividido, y el punto de división es x = 1.
Relevancia de las funciones en el cálculo Las funciones juegan un papel esencial en el desarrollo del cálculo, las funciones son generalmente del tipo: En otras palabras, "x" es una variable, "y" es otra variable, y el valor que tome "y" depende del valor que esté tomando "x". Por ejemplo, en la función "2x = y", pues cuando "x" tome el valor de 5, "y" va a tomar el valor de 10 (porque 2*5 es 10). Las funciones son importantes para realizar fórmulas simplificadas de las operaciones que se realizan comúnmente, como una sumatoria, un promedio, etc. Es decir, de manera más sencilla. Diferencia y semejanza entre dominio y rango DOMINIO RANGO DIFERENCIA Está formado por aquellos valores de x Está formado por aquello valores de y SEMEJANZA Son números reales Se requiere para representar una gráfica Son números reales Se requiere para representar una gráfica Conclusión Tras el estudio de las funciones matemáticas, se puede concluir en que son muy importantes, de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y". Además a través de este trabajo se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de ellos para realizar las gráficas lo cual va a depender de cada tipo de función. Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que también esta monografía nos será útil en la practica. Bibliografía http://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica http://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070223063203AAUpLEY
