Cálculo Integral: Derivadas de Funciones Trigonométricas, Diapositivas de Matemáticas

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Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo

Escuela Preparatoria “Ing. Pascual Ortiz Rubio”

Cálculo Integral

Funciones Trigonométricas Especial de cálculo diferencial

Derivadas de funciones trigonométricas

TEOREMA. Las funciones f(t) = sen t y g(t) = cos t son derivables y,

𝑖 ¿ 𝐷 ¿ 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 =cos 𝑡 𝑖𝑖 ¿ 𝐷 𝑡 cos 𝑡= − 𝑠𝑒𝑛𝑡 ¿

Ejemplo 1. Encontrar D

x

(3sen x – 2cos x).

𝑥 ( 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 2 cos 𝑥) = 3 𝐷 𝑥

𝑥 cos 𝑥= 3 cos 𝑥 − 2 ( − 𝑠𝑒𝑛 𝑥) = 3 cos 𝑥 + 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥

Por la regla de la suma y la del factor constante tenemos:

Ejemplo 2. Encontrar D

x

(x

2

sen x).

Por la regla del producto tenemos:

Ejemplo 4. Encontrar

Por la regla del producto tenemos:

𝐷𝑥 (^ 𝑥 𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝑥 )=𝑥 𝑛 𝐷𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 +𝑡𝑎𝑛𝑥 𝐷𝑥 𝑥 𝑛 =𝑥 𝑛 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥+ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 (^ 𝑛 𝑥 𝑛 − 1 ) (^) =¿ ¿ 𝑥 𝑛 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 +𝑛 𝑥 𝑛 − 1 tan 𝑥

Ejemplo 5. Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto (π/

Sabemos que la pendiente de la recta tangente a una curva, en un punto dado, es

el valor de la derivada en ese punto. Entonces:

2 𝑥 ∴ 𝑚=𝑠𝑒𝑐

( √^2 2 ) 2 = 2 ⇒ 𝑦 − 1 = 2 ( 𝑥 − 𝜋 4 ) 𝑦 − 1 = 2 𝑥 − 𝜋 2 𝑦 = 2 𝑥 + 1 − 𝜋 2

TEOREMA.

𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥= − cos 𝑥 +𝐶

Ejemplo 6. Hallar

10

𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 =¿ ¿

u = sen x; du=cos x dx ∫

10

𝑢 11 11

• 𝐶=¿ 1 11 𝑠𝑒𝑛 11 𝑥 +𝐶

Ejemplo 6. Evaluar

∫ 0 𝜋 4 tan 𝑥 𝑑𝑥 =¿ ¿

[

𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥

]

=¿ u = cos x; du= –sen x dx

[

𝑑𝑢 𝑢

]

√^2

=¿ [^ ln^ 𝑢^ ]^ √ 2 2 1

ln 1 − ln √^2 2 ≈ 0.