¡Descarga Funciones y limites y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Cálculo diferencial y integral solo en Docsity!
1. FUNCIONES Y GRÁFICAS
1.1. Intervalos abiertos y cerrados.
Intervalo de variación de una variable.
Es el conjunto de valores del dominio comprendidos entre dos de ellos que se llaman
extremos del intervalo.
Ejemplo:
1.- Probablemente en alguna ocasión en la que hayas comprado boletos para algún
evento te encontraste con una lista en la que los precios varían según las edades:
Infantil de 0 a 12 años, Adolescente de 12 a 18 años, Adulto mayores de 18 años.
La amplitud de un intervalo cuyos valores extremos son a y b , cuando a b , es
b a.
Intervalo cerrado e Intervalo abierto.
Un intervalo es cerrado cuando comprende a sus extremos y abierto en el caso
contrario. Un intervalo puede ser abierto por un extremo y cerrado por el otro. Los
intervalos cerrados se representan usando los paréntesis cuadrados a , b y los
intervalos abiertos usando paréntesis redondos a , b o en su caso una combinación
de ellos a , b o a , b .
Ejemplo:
El dominio de la variable r (radio de una circunferencia) es todos los números reales
positivos. Si consideramos las circunferencias que pueden trazarse en una hoja de
papel de forma cuadrada de 20 cm de lado, el intervalo de variación de (^) r es el
conjunto formado por todos los números reales mayores de cero y menores o igual
a 10 cm. El intervalo comprende a un extremo de 10 cm, y no al otro pues no hay
circunferencia de radio cero. Es cerrado en un extremo y abierto en el otro.
Intervalo infinito.
Si el dominio de una variable es todos los números reales, el intervalo es infinito (su
amplitud es infinita). Si se considera el intervalo formado por los números mayores
que uno dado, o el conjunto formado por los números menores que uno dado, se
tienen también intervalos infinitos. Si comprenden a los números dados, se llaman
cerrados y si no abiertos.
Ejemplo:
Ejemplo: El conjunto formado por las abscisas mayores o iguales que 7 , que se
representa 7 , , es un intervalo infinito cerrado (en la izquierda). El conjunto
formado por las ordenadas menores de 5 , que se representa , 5 , es un intervalo
infinito (abierto en la derecha).
Los intervalos, como se puede apreciar en el párrafo anterior, también se pueden
representar mediante desigualdades. Además, se pueden representar de manera
gráfica. Al representarlos como desigualdades, debemos considerar que los signos
y corresponden a intervalos cerrados y los signos y corresponden a
intervalos abiertos. En la siguiente tabla se muestran algunos de los intervalos que
podemos llegar a utilizar.
Intervalo Desigualdad Gráfica Tipo de intervalo
a , b a x b
Intervalo abierto por ambos extremos.
a , b a x b
Intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha.
a , b a x b
Intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha.
a , b a x b
Intervalo cerrado por ambos extremos.
a , x a
Intervalo infinito abierto (por la izquierda).
, b x b
Intervalo infinito abierto (por la derecha).
a , x a
Intervalo infinito cerrado (por la izquierda).
, b x b
Intervalo infinito cerrado (por la derecha).
, x
Intervalo infinito (por ambos lados).
, a ó b , x a ó x b
Intervalos separados, estos pueden ser abiertos, cerrados, finitos o infinitos, en este caso se muestran intervalos infinitos cerrados.
1.2. Definición de función.
Las relaciones.
Cuando se establece una condición que deban cumplir los pares ordenados de
elementos de un producto cartesiano de conjuntos, particularmente el segundo
elemento con respecto al primero, se está definiendo una relación. Las relaciones son
pues, subconjuntos de productos cartesianos de conjuntos.
1.- Representación mediante diagrama de
la relación A , el conjunto formado por
los pares ordenados de elementos cuyo
segundo elemento es menor que el
primero. Considerando sólo los pares
ordenados de elementos mostrados en el
ejemplo, tendríamos:
2.- La representación gráfica mediante diagrama de la
relación B formada por los pares ordenados de
elementos en los que el segundo elemento sea igual al
primer elemento elevado al cuadrado, quedaría de la
siguiente forma:
3.- De la misma manera, la representación mediante diagrama
de la relación C que es el conjunto formado por los pares
ordenados de elementos en los que el segundo elemento es
el doble del primero, sería como la siguiente:
Concepto de función.
Una función es una relación que hace corresponder a cada elemento del dominio
D x exactamente un elemento del rango R y . Entonces decimos que y es una
función de x , lo cual se escribe y f x. Nótese que las funciones son relaciones.
Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
La forma de identificar una función observando los pares ordenados de elementos
que la forman es verificando que no existan dos pares ordenados que tengan el
mismo primer elemento.
Y para identificar una función mediante la representación por diagrama de la
relación, se verifica que de cada elemento del dominio salga una sola flecha.
De acuerdo con estos criterios, podemos observar que de las relaciones usadas en
los ejemplos anteriores, las relaciones B y C son funciones.
3 , 9 , 2 , 4 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 4 , 3 , 9 ,etc. ^3 ,^ ^6 ,^ ^2 ,^4 ,^1 ,^2 ,^0 ,^0 ,^1 ,^2 ,^2 ,^4 ,^3 ,^6 ^ ,
etc.
Se puede ver en ambos casos que no se repite ningún primer elemento de los pares
ordenados de la relación. Y, de la misma forma se observa en los diagramas que de
cada elemento del dominio parte sólo una flecha. Se puede entonces concluir como
ya se dijo, que estas relaciones B y C son funciones.
Mientras que en la relación A , si hay primeros elementos repetidos y también se
observa en el diagrama, elementos de los que parte más de una flecha. Por lo que
podemos concluir que esta relación A , no es una función.
1 , 0 , 2 , 0 , 2 , 1 , 3 , 0 , 3 , 1 , 3 , 2 , etc.
Prueba de la recta vertical
La prueba de la recta vertical, se aplica a gráficas en el plano cartesiano y aunque las
gráficas de funciones se verán más adelante, usaremos gráficas de curvas estudiadas
en el curso anterior (Matemática y Ciencia II) en la Unidad de competencia III
(Cónicas).
Una relación A es una función si y sólo si toda recta vertical corta la gráfica de A a
lo más en un punto.
Ejemplos:
Usar la prueba de la recta vertical para determinar si la relación es una función:
De acuerdo con estos criterios, podemos observar que de las relaciones B y C
usadas en los ejemplos anteriores y que resultaron ser funciones, la relación B , si
bien es función, no es biunívoca y la relación C , es una función biunívoca.
3 , 9 , 2 , 4 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 4 , 3 , 9 ,^ etc. ^3 ,^ ^6 ,^ ^2 ,^4 ,^1 ,^2 ,^0 ,^0 ,^1 ,^2 ,^2 ,^4 ,^3 ,^6 ^ ,
etc.
Se puede ver en ambos casos que no se repite ningún primer elemento de los pares
ordenados de la relación (son funciones). Y, de la misma forma se observa en los
diagramas que de cada elemento del dominio parte sólo una flecha. Pero en la
relación B tenemos pares ordenados que tienen el mismo segundo elemento y en el
diagrama, elementos a los que llega más de una flecha. Mientras que en la relación
C , no se repite ningún segundo elemento y en el diagrama, a cada elemento del
contradominio llega una sola flecha. Se puede entonces concluir como ya se dijo, que
la función B no es biunívoca y que la función C si es biunívoca.
Prueba de la recta horizontal.
Una vez usada la prueba de la recta vertical y haber obtenido como resultado que la
relación es una función, se usa la prueba de la recta horizontal para verificar si la
función es biunívoca.
Una función f es biunívoca si y sólo si toda recta horizontal corta la gráfica de f a
lo más en un punto.
Ejemplos:
Usar la prueba de la recta horizontal para determinar si la función es biunívoca:
a)
2 y x
b) y 2 x 1
Las rectas horizontales cortan la gráfica en dos
puntos cada una (la función no es biunívoca).
Las rectas horizontales cortan la gráfica en sólo un punto cada una (la función es biunívoca).
Notación
Para expresar que y es una función de (^) x , se escribe: y f x , donde la letra f es
llamada característica de la función. En lugar de la letra f , se puede usar otra
cualquiera como g , h , , etc.
La característica representa las operaciones que hay que realizar con la variable
independiente para para obtener la función.
Ejemplos:
1.- Si
2 f r 4 r , la característica ^^ f indica que a la variable r hay que elevarla al
cuadrado y multiplicar el resultado por 4 .
Así f 2 , que se lee f de 2 , será igual 4 2 16
2 y f 1 , será igual a 4 .
2.- Si
x (^) f x 10 , tendremos que 3 10 1000
3 (^) f y 1 10 0. 1
1
(^) f.
1.3. Dominio de definición y codominio (Rango)
Anteriormente, se definieron el dominio y el contradominio de una relación. Como
las funciones son relaciones, damos por atendido el tema. Cabe mencionar que al
dominio también se le llama campo de definición y al contradominio: codominio,
imagen y rango. Por razones prácticas, solemos usar los nombres más cortos, es
decir, dominio y rango.
1.4. Clasificación de las funciones y sus gráficas.
Las funciones se pueden clasificar de diferentes maneras, aquí mostramos algunas
de las más importantes.
De una variable y de varias variables.
Si el valor de la función depende del de una sola variable, se dice función de una
sola variable; si su valor depende del de varias variables, se dice función de varias
variables.
localizan los puntos en el plano cartesiano y se traza la gráfica correspondiente. A
continuación, se muestran las gráficas de algunas funciones.
Ejemplos:
Obtener la gráfica de las funciones lineales.
a) f x x b) f x 2 x 1 c) f x 2 x 1
x f ( x )
x f ( x )
x f ( x )
En el caso de las rectas, recordemos que una recta queda determinada si se conocen
dos puntos por los que pasa, por lo que solo se usaron precisamente dos puntos.
La gráfica de la función cuadrática
2 f x x , sería la siguiente.
X f ( x )
La gráfica de la función cúbica
3 f x x , sería la siguiente.
x f ( x )
La gráfica de la función racional
6
2
x x
x f x , sería la siguiente.
x f ( x )
- 6.0 – 0.
- 2.6 – 2.
- 2.4 – 3.
- 2.2 – 7.
- 2 Indefinido
- 1.8 6.
- 1.6 3.
- 1.4 1.
- 1 1 0 0. 1 – 0. 2 – 1. 2.4 – 2. 2.6 – 3. 2.8 – 7. 3 Indefinido 3.2 8. 3.4 4. 3.6 2. 4 1. 5 1. 6 0.
Ejercicios:
1.- Si f x 3 x 2 , calcular f 3 , f 0 , f 0. 5 ,
3
1 f.
2.- Si 2 3
2 f x x x , calcular f 0 , f 1 , f a , f x h , f x 1 .
3.- Si ^16
2 f x ^ x , calcular f ^4 , f ^4 , f ^5 , f ^ a , f ^ x ^4 .
4.- Si 1
2
x
x x f x , calcular
f ,
4
3 f.
5.- Si x x
x f x
2 2
, calcular
2
3 f ,
3
1 f.
6.- Construir la gráfica de la función
2 y 25 x y la de la relación
2 2 y 25 x.
7.- ¿Cuál es el dominio y el rango de la función
2 y 25 x?
8.- Si la variable n representa el número de pasajeros de un autobús de 40 plazas,
¿Cuál es el dominio de n?
9.- Si 4
2
x x
f x , ¿Qué representa la letra f?
10.- Expresar en forma implícita la función
2 y 16 x.
11.- Expresar en forma explícita la función xy 4.
12.- ¿De qué es función el volumen de un cono? ¿Y el volumen de un cubo? ¿y el área
de un polígono regular?
13.- Expresar a x en función de y y a y en función de x : 2 4 0
2 x xy .
14.- Si 3 1
3 2 f x x x , averiguar si f 2 2 f 0 f 1.
Clasificar las siguientes funciones:
3 y x x
16.-^3
2 y x 3
17.- y sen 2 x
2 y x x
19.- y log x 0
2
x
x y
2 y xy x
1.5. Operaciones con las funciones:
suma, resta, producto, cociente, composición e inversa.
Suma, resta, producto y cociente de funciones.
Es común que las funciones se expresen mediante sumas, diferencias, productos o
cocientes de diferentes expresiones, por ejemplo si
3 2 f x x 2 x , se puede
considerar a
3 2 f x x 2 x como la suma de las funciones
3 g x x y
2 h x 2 x.
Entonces f es la suma de g y (^) h y su notación es g h. Por lo tanto:
3 2 f x g h x x 2 x.
En general si g y (^) h son dos funciones cualesquiera, usaremos la notación y
terminología presentadas en la siguiente tabla donde se incluyen, suma, diferencia,
producto y cociente de funciones.
Operación Función resultante
Suma g h g h x g x h x
Diferencia g h g h x g x h x
Producto gh g h x g x h x
Cociente h
g
h x
g x x h
g
Los dominios de las funciones g h , g h y gh son la intersección de los dominios
de g y h ; es decir los números que son comunes a ambos dominios. El dominio de
h
g es el subconjunto de la intersección de los dominios de g y h donde además se
cumpla que h x 0.
Es conveniente mencionar que si bien, es cierto que g h x g x h x , en
general f^ ^ a b ^ f a^ f ^ b.
Cabe mencionar el dominio de las funciones polinomiales, que es objeto de estudio
de esta unidad de aprendizaje, es siempre todo el conjunto de los números reales.
Por lo que el dominio de las funciones g h , g h y gh , es también todo el conjunto
de los números reales, lo que en términos de intervalos, se expresa: ^ ^ ,^ , por lo
tanto, el dominio de h
g es el subconjunto del conjunto de los números reales donde
se cumpla que h x ^0.
Ejemplos:
Encontrar los valores de las funciones que se indican si
3 2 g x 3 x 2 x y
2 h x x.
Como la notación g ^ x se lee “ g de x ,” podemos decir que g es una función de x.
Para la función compuesta f g , la notación f g x se lee “ f de g de x ”, y
podríamos considerar a f como una función de g x. Podemos decir que una
función compuesta es una función de función o, de forma más precisa, una función
de los valores de otra función.
Para obtener la composición de las funciones f y g , como ^ f^ g x^ f ^ g ^ x , se
sustituye cada x en f ^ x por g ^ x , efectuando después las operaciones indicadas.
Ejemplos:
Sea 2
2
f x x x y g x 3 x 6 , encontrar
a) ^ f^ g ( x^ )y determinar el dominio de f^ g.
Para encontrar f g ( x ), como ya se mencionó, se sustituye cada x en f x por
g x :
2
2
2
x x
x x x
f g x x x
El dominio y el rango de la función g x es el conjunto de los números realesR
y el dominio de f ^ x también es el conjunto de los números reales R, por lo que
el dominio de f g es este mismo conjunto. Como intervalo: , .
b) g f ( x )y determinar el dominio de g f.
Para encontrar g f ( x ), ahora, se sustituye cada x en g x por f x :
2
2
2
x x
x x
g f x x x
El dominio de la función f ^ x es el conjunto de los números reales Rrango de
la función f ^ x es el conjunto de los números reales mayores o iguales a
y el dominio de g x es el conjunto de los números reales R, por lo que
el dominio de g f es el conjunto de los números reales R.
c) f f ( x )y determinar el dominio de f f.
Para encontrar ^ f^ f ( x^ ), ahora, se sustituye cada x en f ^ x por f ^ x :
x x x x
x x x x x x x
f f x x x x x
4 3 2
4 3 2 2 2
2 2 2
El dominio de la función f x es el conjunto de los números reales Rrango de
la función f x es el conjunto de los números reales mayores o iguales a
, por lo que el dominio de f f es todo el conjunto de los números
reales R.
d) ^ g^ g ( x^ )y determinar el dominio de g^ g.
Para encontrar g g ( x ), ahora, se sustituye cada x en g x por g x :
x
x
g g x x
El dominio de la función g x es el conjunto de los números reales Rrango de
la función g x es este mismo conjunto, por lo que el dominio de g g es el
conjunto de los números reales R.
e) f ^ g ^9 hacerlo de dos formas diferentes, la primera utilizando las funciones f
y g por separado la otra utilizando la función compuesta f g.
Usando las funciones por separado, primero encontramos g 9 y el resultado lo
sustituimos en f ^ x.
g
2
f g
Para encontrar f g 9 usando la función compuesta f g , tomamos
2
f g x x x donde sustituiremos cada x en ^ f^ g ( x^ ) por 9.
2
f g
Funciones inversas.
Antes de definir la función inversa, recordaremos la definición de función biunívoca
de los “Conceptos previos” del capítulo 1.1.
Además, debemos recordar la prueba de la recta horizontal que se mencionó en el
capítulo 1.1, lo que tiene por consecuencia lo dicho anteriormente en este capítulo,
que si una función es ascendente es todo su dominio, es biunívoca y si es
descendente en todo su dominio, también es biunívoca.
Cuando una función f tiene una función inversa g , con frecuencia se denota g con
1 f. El 1 empleado en esta notación no debe interpretarse con un exponente; decir,
f y
1 no significa f y
, significa función inversa de f.
El recíproco f y
puede ser denotado con
1
f y. Es importante recordar los
siguientes datos sobre el dominio y el rango de f y
1 f.
Dominio y rango de f y
1 f : el dominio de
1
f = rango de f ,
el rango de
1
f = dominio de f.
Cuando se estudian las funciones, se suele denotar con (^) x a los elementos del
dominio. Entonces para la función inversa
1 f , se puede considerar f x
1 , donde
está el dominio R de
1 f , es decir la función inversa se expresa también como una
función de x y no como una función de y. Entonces, las dos condiciones del teorema
de funciones inversas se escriben como sigue:
1.- f f x x
1
para toda x en el dominio de f.
2.- f f x x
1 para toda x en el dominio de
1 f.
Procedimiento para hallar
1 f en casos simples:
1.- Verifique que f sea una función biunívoca en todo su dominio.
2.- De la ecuación y f x despeje x en términos de y , obteniendo una ecuación
de la forma x f y
1 .
3.- Reescriba la función inversa como una función de y , de la forma y f x
1 .
4.- Verifique las dos condiciones siguientes
a) f f x x
1
para toda x en el dominio de f.
b) f f x x
1 para toda x en el dominio de
1 f.
Una característica de las funciones inversas es que sus gráficas son simétricas
respecto a la recta y^ x.
Ejemplos:
Encontrar la inversa de cada una de las siguientes funciones:
a) f x ^3 x ^5.
f x 3 x 5.
Paso 1. La gráfica de la función lineal f es una recta de pendiente 3 y por lo
tanto f es creciente en R. Por lo tanto, f es biunívoca por lo que existe la
función inversa
1
f Además, como el dominio y rango de f es el conjunto R,
lo mismo es cierto para
1 f.
Paso 2. De la ecuación y f x despeje x :
y 3 x (^5) , sea y f x
y x
x y
x y
despejamos x en términos de y Ahora hacemos
x f y
1 ; es decir, 3
1 ^5
y f y.
Paso 3. Como el símbolo empleado para la variable no tiene importancia,
también podemos escribir
3
1 ^5
x f x^ ,
donde (^) x está en el dominio de
1 f.
Paso 4. Como el dominio y rango de f y de
1 f es el conjunto R, verificaremos
las condiciones (a) y (b) para todo número real x. Procediendo como sigue:
(a) ^ ^ ^ ^
x
x x x f f x f x
3
1 1 .
(b) x x
x x f f x f
5 5 5 3
5 3 3
1 5 .
Con estas verificaciones se demuestra que 3
1 ^5
x f x es la función inversa de
f x 3 x 5.
b) 2 5
x
x f x.
2 5
x
x f x.
Paso 1. La gráfica de la función racional f se
muestra en la figura. Esta es decreciente a lo largo
de su dominio
, . Por lo tanto, f es
biunívoca y existe la función inversa
1 f. También
sabemos que el dominio mencionado es el rango de
