¡Descarga FUNCIONS MATES 2014-2015 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Departament de Matemàtiques Funcions – 4t d’ESO
FUNCIONS
- Indica quina d’aquestes relacions entre variables són funcions i quines no ho són: a) L’import de la gasolina i la quantitat que en posem en el dipòsit d’un cotxe. b) La longitud d’una circumferència i la longitud del seu diàmetre. c) L’import de la factura d’un rebut de l’aigua i el volum que se’n consumeix. d) Les hores d’estudi abans d’un examen i la puntuació obtinguda. e) El nombre de pàgines que formen un llibre i el seu preu de venda.
- Identifica la variable independent i la dependent en les relacions de l’apartat anterior que siguin funcions.
- Completa la taula següent i representa en un sistema de coordenades cartesianes els parells de valors que s’obtenen:
4. Donada la funció ( )
x f x = , calcula les imatges de 20, –8 i –3. Calcula també
les antiimatges de –6 i 2/3.
- Representa en un sistema de coordenades cartesianes quatre parells de valors de
la funció f ( x ) = − 2 x − 1.
6. Donada la funció ( )
f x = − 4 x + :
a) Calcula f ( ) 3 i
f.
b) Troba la antiimatge de 2
- De la funció representada en la gràfica troba:
a) f ( − 4 )
b) f (− 3 )
c) f ( − 1 )
d) f ( ) 2
e) La antiimatge de 1. f) La antimiatge de 2
g) f ( ) 3
Longitud del costat d’un quadrat (cm)
Superfície del quadrat (cm^2 ) 1 4
Departament de Matemàtiques Funcions – 4t d’ESO
- Calcula els dominis de les següents funcions:
a) f ( ) x = x b) g ( x ) = x^2 − 3 x + 2 c) ( )
x
h x
- Calcula els dominis de les següents funcions:
a) ( )
2
2
− +
x x
x x
j x b) k ( x ) = 4 − 2 x c) ( ) 3
x
x l x
- Calcula els dominis de les següents funcions:
a) m ( ) x = x^2 − 4 b) ( )
x
x
n x c) ( )
3
2
−
x
x qx
- Calcula els dominis de les següents funcions:
a) ( ) x
x
r x = x + + +
3 2 b) ( ) 1
= x x
s x c) ( )
x
x t x 1 2
- Calcula el domini i el recorregut de funció representada a la gràfica:
13. Fes una taula de valors i representa gràficament la funció f ( ) x = 25 − x^2.
Quin és el seu domini? Quin és el seu recorregut?
La funció afí
- Representa les rectes a) y = 3 x b) y = − 2 x c) 2
x y = d) y =− 2.
- Representa la recta que passa per l’origen de coordenades i té pendent –3.
- Troba l’equació de la funció de proporcionalitat directa que passa pel punt (–17, 25).
- Troba l’equació de la recta que passa per l’origen de coordenades i pel punt P en cadascun dels casos següents:
a) P ( 15 ,− 3 ) b) (^)
P c) P ( − 6 ,− 18 ) d) P ( 20 , 68 )
Departament de Matemàtiques Funcions – 4t d’ESO
- Aquesta gràfica mostra la distància que recorre el so en diferents medis segons el temps. a) Troba el pendent de cada recta i explica’n el significat. b) Escriu-ne les equacions.
- Aquesta és la gràfica de l’espai que recorren tres muntanyencs que van a velocitat constat. Quina velocitat du cadascun? Escriu l’expressió analítica de cadascuna d’aquestes funcions.
- Un dia que hem anat a la fruiteria ens han cobrat per 2,3 kg de taronges 3,91€. L’endemà hi tornem a anar, comprem 1,8 kg i ens cobren 3,06€. a) Representa gràficament el cost de les taronges en funció del pes i troba’n una expressió analítica. b) Quin és el pendent de la recta? Quina és la seva interpretació?
- Està comprovat que una parella de paletes durant un dia poden fer 25 m^2 de paret de totxana. Calcula: a) Quants m^2 de paret faran 5 paletes? b) Si no hi ha cap paleta treballant, quants m^2 de paret es faran? c) Escriu l’expressió analítica de la funció que descriu els m^2 de paret en funció del nombre de treballadors i representa-la gràficament.
- Una placa solar tèrmica de 1 m^2 capta, al migdia, 70 Kcal d’escalfor en 5 minuts. Calcula: a) Quanta escalfor captarà durant 1 hora del migdia? b) Quanta escalfor captaran 4 plaques durant 40 minuts del migdia? c) Quanta escalfor captarà una placa durant 30 minuts al matí, quan el sol està a 30º d’inclinació sobre la placa i l’eficàcia és del 50%?
- Llei d’Ohm: Per una resistència elèctrica (com ara una estufa elèctrica) hi fem passar corrent. Hem comprovat que si hi apliquem una tensió elèctrica (voltatge) de 10V hi passa una intensitat de corrent de 0,5A. Quan hi apliquem una tensió de 25V, hi passen 1,25A. a) Troba una expressió analítica de la intensitat en funció del voltatge. b) Quina intensitat hi passarà si hi apliquem 220V? c) Quin és el valor en ohms d’aquesta resistència elèctrica? ( 1 Ω = 1 V/ 1 A) d) Quina intensitat de corrent hi passarà si no hi apliquem cap voltatge? e) Quina potència elèctrica en watts té aquesta estufa endollada a 220V? ( 1 W = 1 V⋅ 1 A)
Departament de Matemàtiques Funcions – 4t d’ESO
- Llei de Hooke: Pengem diferents pesos d’una molla, i s’allarga segons els valors que indica aquesta taula: a) Fes la gràfica d’aquests funció. b) Troba’n l’expressió analítica. c) Explica el significat del pendent. d) Si hi pengem un pes de 22g, quina serà la longitud de la molla? e) Després de penjar un objecte, la molla té una longitud de 18 cm. Quant pesava l’objecte?
- La temperatura de fusió del glaç en l’escala centígrada és 0ºC i en la Fahrenheit és 32ºF. La temperatura d’ebullició de l’aigua és 100ºC, que equival a 212ºF. a) Troba la funció que expressa els graus Fahrenheit en funció dels graus centígrads i representa-la. b) Expressa en ºF les següents temperatures: 25ºC; 36,5ºC; 10ºC. c) Expressa en graus centígrads les següents temperatures: 86ºF; 63,5ºF.
- Una companyia elèctrica per subministrar-nos electricitat ens cobra una quota de potència de 23€ cada mes i l’energia elèctrica a 0,12€/kwh. a) Escriu l’equació que descriu el cost de l’electricitat (€) en funció del consum d’energia elèctrica (kwh). b) Un mes ens han cobrat 53,48€. Quants kwh hem gastat? c) Un altre mes hem gastat 220 kwh. Quin serà l’import del rebut d’electricitat?
- Tanquem una certa quantitat d’aire en un èmbol que es pot desplaçar. Conforme anem escalfant l’èmbol, l’aire es dilata i anem mesurant el volum que ocupa. Els resultats són els següents:
Temperatura t (ºC) 0 20 40 60 80 100 Volum V (cm^3 ) 5000 5366 5733 6099 6465 6832
a) Troba l’equació que dóna el volum en funció de la temperatura. b) Quin volum ocuparà aquesta quantitat d’aire a 50ºC? c) Si anem refredant l’aire per sota del punt de congelació de l’aigua, l’aire cada cop ocuparà menys volum. A quina temperatura el volum serà zero?
- Un venedor té un sou variable compost d’una nòmina fixa de 800€ al mes i una comissió d’un 5% sobre les vendes. a) Troba l’equació que descriu el sou del venedor en funció de les vendes. b) Un mes el venedor ha venut per import de 24.000€. Quin sou cobrarà aquell mes? c) Un altre mes al venedor li van pagar 1.900€. A quant van pujar les vendes d’aquell mes?
- Escriu l’expressió algebraica de la funció que relaciona la longitud d’una circumferència i la del seu diàmetre. Elabora una taula de valors d’aquesta funció.
Pes x (g) 0 2 5 10 Longitud y (cm) 5 6 7,5 10
Departament de Matemàtiques Funcions – 4t d’ESO
- Un tren d’alta velocitat surt de Barcelona a una velocitat de 250 km/h direcció Girona. En el mateix instant, un tren de rodalies que té una velocitat de 90 km/h surt de Girona, situada a 100 km de Barcelona, direcció a França. a) Escriu per cada tren l’expressió analítica que indiqui la distància a Barcelona (en km) en funció del temps (en h). b) Quant de temps (en hores, minuts i segons) trigarà el tren d’alta velocitat a atrapar el tren de rodalies? A quina distància de Barcelona l’atraparà? Abans o després de Figueres situada a 50 km de Girona i 150 km de Barcelona? c) Fes un esquema gràfic del problema.
- Dues companyies de telèfons mòbils ens fan les següents ofertes. La companyia A cobra per l’establiment de trucada 16 cèntims d’euro i 2,5 cèntims per cada segon. La companyia B cobra 10 cèntims per establiment de trucada i 2, cèntims per cada segon. a) Representa gràficament les dues ofertes. b) Troba les expressions algebraiques de les funcions que descriuen les dues ofertes. c) Quina companyia pot interessa més a un noi que parli poc? d) Quina companyia pot interessar més a una noia que parli molt? e) Per quina durada de la trucada és indiferent la companyia que escollim?
- Dos dipòsits iguals situats l’un al costat de l’altre contenen aigua fins a alçades respectives de 3 i 4,5 metres. S’obren alhora dues aixetes. La primera va omplint el primer dipòsit de forma que fa pujar el nivell de l’aigua 1,2 metres cada hora. L’altra va omplint el segon dipòsit de forma que fa pujar 0,8 metres cada hora el nivell de l’aigua. Es demana: a) Escriu una fórmula que doni el nivell d’aigua al primer dipòsit x hores després d’haver obert les aixetes. Fes el mateix amb el segon dipòsit. b) Digues de quin tipus són les funcions definides per les dues fórmules obtingudes i representa-les. c) Calcula raonadament quant de temps ha de passar perquè el nivell d’aigua del primer dipòsit superi el nivell d’aigua del segon.
- El preu d’un bitllet d’una línia d’autobusos és la suma d’una quantitat fixa i una altra proporcional al nombre de quilòmetres del recorregut. S’han pagat 18€ per un bitllet a una població que és a 500 km i 33€ per un altre a una ciutat que és a 1.000 km. Quant haurem de pagar per un bitllet a una població que és a 250 km?
- Un representant comercial rep dues ofertes de feina de dues empreses japoneses. L’empresa Shitoki li ofereix 800€ de sou fix més el 5% de comissió sobre les vendes. L’empresa Utsami li ofereix 1250€ de sou fix més el 2% de comissió. a) Defineix les variables del problema i digues quina és la independent i quina la dependent. b) Troba una expressió analítica que doni el sou en funció de les vendes per a cada empresa. c) Per quin import de les vendes el sou del representant és el mateix? d) Si calcula que pot vendre 20.000€ cada mes, quina oferta li convé acceptar? e) Representa gràficament el problema.
Departament de Matemàtiques Funcions – 4t d’ESO
- En un garatge de Barcelona cobren una quota per entrar més un import proporcional al temps d’aparcament. Un dia, per deixar-hi el cotxe 1 hora ens van cobrar 2,42€. Un altre dia, per deixar-lo 95 minuts ens van cobrar 3,47€. a) Calcula la funció que dóna l’import que pagarem en funció del temps d’aparcament. b) Si un dia portem només 5€, quants minuts podrem tenir-hi el cotxe? c) Si un altre dia entrem i sortim de seguida sense aparcar el cotxe quant pagarem?
La funció quadràtica
- Fes taules de valors de les funcions y = x^2 , y = 2 x^2 , 2
x^2 y = ,^ y^ =^ −^ x^2 i
representa-les en la mateixa gràfica.
- Representa gràficament les següents funcions: a) y = − x^2 b) y = − x^2 − 1 c) y = − x^2 + 2 d) y = − x^2 + 4 e) y = − 3 x^2 f) y = 0 , 75 x^2
Digues quin és el vèrtex de cada una d’aquestes paràboles.
- Representa les paràboles següents, trobant els punts de tall amb els eixos, el vèrtex i alguns punts pròxims a aquest.
a) y = x^2 − 3 x b) y = x^2 − 4 c) y = ( x − 2 )^2 d) y =− x^2 + 4 x
e) y = 2 x^2 − 8 x + 2 f) 3 3
y = x − x + g) y = − x^2 + 3 x − 4 h) y = 9 − 4 x^2
- Representa:
a) y = 2 ( x − 1 ) 2 + 2 b) y = −( x + 3 ) 2 + 1 c) ( 2 )^2
y = x −
- Determina de les paràboles següents: a) y = x^2 − 6 x + 5 b) y = x^2 − 8 x + 12 c) y = 2 x^2 − 10 x + 8 − Les coordenades del vèrtex. − L’equació del seu eix de simetria. − Els punts d’intersecció amb els eixos de coordenades. − Les gràfiques.
- Determina les coordenades del vèrtexs de les següent paràboles:
a) f ( ) x = − 7 x^2 − 7 b) f ( x ) = x^2 − 14 x + 49 c) f ( x ) = − x^2 + 10 x − 26
d) f ( ) x = x^2 − 12 x e) f ( x ) = 3 ( x − 2 ) 2 + 5 g) f ( x ) = − 2 ( x + 1 ) 2 − 3
- Determina l’equació de la paràbola que passa pel punt (–1, 3) i té el vèrtex al punt (4, 2). Representa-la gràficament.
Departament de Matemàtiques Funcions – 4t d’ESO
- Al codi de circulació hi ha establerta la norma següent sobre l’estat dels frens: “...L’espai –mesurat en metres- que recorre el vehicle des que s’acciona el fre fins que s’atura totalment no ha d’excedir el quadrat de la desena part de la seva velocitat, expressada en km/h”. a) Indica quin espai màxim de frenada és permès a un cotxe que circula a 20, 60 i a 100 km/h, respectivament. b) Indica la fórmula que ens dóna l’espai de frenada en funció de la velocitat. c) Traça’n el gràfic.
- D’una font situada a 1 metre d’altura surt horitzontalment un raig d’aigua que cau a terra a una distància de 50 centímetres de la paret. Calcula l’equació del trajecte que segueix l’aigua en la seva caiguda prenent com a origen de coordenades la base de la paret.
- Una antena parabòlica té 2 metres de radi i 30 cm de profunditat. Calcula l’equació de la seva secció transversal.
- Amb 22 m de tela metàl·lica es vol delimitar un corral per a conills de forma rectangular vora una paret ja construïda. Calcula les dimensions que ha de tenir perquè l’àrea sigui màxima.
- El salt d’una granota té una trajectòria parabòlica. Si en un salt una granota és capaç d’aconseguir una altura màxima d’un metre i d’avançar horitzontalment quatre metres, calcula l’equació de la trajectòria prenent com a origen de coordenades la posició inicial de la granota.
- Des d’un castell situat a 3 km d’altura es dispara una bala que cau a 6 km de distància del castell. Calcula la trajectòria de la bala sabent que aconsegueix una altura màxima de 4 km.
- Llancem verticalment cap amunt una pedra amb una velocitat de 20 m/s. L’altura (mesurada en metres) de la pedra quan han transcorregut t segons des que l’hem llançada ve donada per la fórmula
h ( ) t = − 5 t^2 + 20 t.
a) Quina és l’altura màxima que assoleix la pedra? b) Quant de temps triga a tornar a terra.
c) Fes una gràfica de la funció h ( t ).
Departament de Matemàtiques Funcions – 4t d’ESO
- a) Calcula l’àrea del rectangle en funció de x. b) Traça’n el gràfic. Quin és el domini útil de la funció? d) Quin és el rectangle d’àrea màxima? Quant val aquesta àrea?
- Un fabricant de portàtils sap que la demanda augmenta si en baixa el preu. Concretament,
el número de portàtils venuts N ( x ) depèn del preu x segons la funció
N ( ) x = − 3 x + 2300.
a) Calcula la funció I ( x ) que determina els ingressos totals en funció del
preu de cada portàtil.
b) Si fabricar cada portàtil costa 200€, calcula la funció B ( ) x que dóna el
benefici totals en funció del preu de venda. c) Calcula quants portàtils ha de fabricar l’empresari per tal d’assolir el màxim benefici. En aquest cas calcula els ingressos, les despeses i el benefici.
- Un nen llança una pedra per la finestra. L’altura h de la pedra depèn del temps t
transcorregut des del moment del llançament segons h ( t ) = − 5 t^2 + 15 t + 20.
a) A quina altura estava la finestra? b) Representa gràficament l’altura de la pedra en funció del temps. c) En quin moment assoleix l’altura màxima i quina és aquesta altura? d) Al cap de quants segons d’haver-la llançat la pedra tocarà terra? e) Un policia local apareix en el carrer i veu el nen set segons després que hagi tirat la pedra. Li farà pagar una multa per haver llançat la pedra?
- Tenim 200 kg de taronges que avui es vendrien a 0,25 €/kg. Cada dia que passi se n’espatllarà 1 kg i el preu augmentarà 0,01 €/kg. Quan hem de vendre les taronges per a obtenir-ne el màxim benefici? Quin serà aquest benefici?
- Les despeses anuals d’una empresa per la fabricació de x reproductors de DVD
són D ( ) x = 2000 + 25 x en euros i els ingressos que s’obtenen per les vendes són
I ( ) x = 60 x − 0 , 01 x^2 en euros. Quants reproductors de DVD han de fabricar-se
perquè el benefici (ingressos menys despeses) sigui màxim? Quin és aquest benefici? Quant hi guanyarà com a màxim l’empresa en cada reproductor?
- En una explotació ramadera es declara una epidèmia, i els veterinaris preveuen
que la propagació d’aquesta seguirà la funció f ( x ) = − 2 x^2 + 48 x + 162 , en què
x representa el nombre de setmanes que han transcorregut des del moment de la
declaració de l’epidèmia, i f ( x )indica el nombre d’animals afectats.
a) Quants animals hi ha afectats en el moment de declarar-se l’epidèmia? b) Quantes setmanes durarà l’epidèmia fins al moment en què ja no quedi cap animal afectat? c) Calculeu quin serà el nombre màxim d’animals afectats, i en quina setmana es produirà.
Departament de Matemàtiques Funcions – 4t d’ESO
b) Quants dies han de passar perquè els ingressos per la collita siguin màxims. c) Quin és el valor màxim dels ingressos per la collita? d) Quants dies han de passar perquè els ingressos per la collita siguin els mateixos que si es fes el dia 1 d’octubre?
- Un estudi de laboratori sobre la propagació d’una espècie de mosques mostra que, passades t setmanes, el nombre d’individus és N ( t ) centenars de mosques,
en què N ( ) t = −( t − 2 ) 2 + 9.
a) Quantes mosques formen la població al cap d’una setmana? b) Quantes setmanes han de transcórrer fins a la desaparició total de les mosques? c) Quina és la població màxima d’individus? Quantes setmanes han hagut de passar per obtenir aquesta població màxima?
- Una empresa que fabrica bicicletes ven la totalitat de la producció. Anomenarem x el nombre de bicicletes que fabrica mensualment. Els costos mensuals de producció, en euros, segueixen la funció C ( x )=180 x +12 000. La venda de les
bicicletes li reporta uns ingressos que segueixen la funció I ( x ) = 500 x − x^2 / 2.
Els beneficis de l’empresa són, lògicament, la diferència entre ingressos i costos. a) En quin interval cal situar la producció per a no perdre diners? b) Quantes bicicletes ha de produir mensualment l’empresa per a obtenir el benefici màxim? En aquest cas, quant guanya per cada bicicleta?
- La població de bacteris en una mostra evoluciona segons la funció f ( t )= − t^2 + 4 t + 12 , on t correspon al nombre de setmanes des de l’inici de l’experiment, i f ( t ) és el nombre d’individus que formen la mostra, en milions d’unitats. a) Quantes setmanes han de passar fins a la desaparició de la població? b) Quin serà el nombre màxim d’individus de la mostra, i al cap de quantes setmanes s’aconseguirà?
- Dins d’un triangle rectangle, de catets 3 i 4 cm, hi ha un rectangle. Dos costats del rectangle estan situats en els catets del triangle i un dels vèrtexs del rectangle és a la hipotenusa del triangle. a) Fes un esbós de la situació descrita. b) Si x és la longitud del costat del rectangle que està situat en el catet petit i y és l’altre costat del rectangle, comproveu que es compleix que 4 x + 3 y = 12. c) Determineu les dimensions del rectangle perquè l’àrea sigui màxima.
- Un canó que dispara pilotes de tennis llança una pilota que és fotografiada per una càmera estroboscòpica. Aquesta càmera mostra que per x = 0 l’alçada de la pilota és de 4 m, per x = 3 m l’alçada és de 5 m, i per x = 6 m la pilota toca terra. a) Troba l’equació de la trajectòria de la pilota. b) Quina és l’alçada màxima que assoleix la pilota?
Departament de Matemàtiques Funcions – 4t d’ESO
c) El canó està a terra. En quina posició està ubicat?
- En la cantonada de dues parets volem fer un galliner de forma rectangular amb 20 m de tela metàl·lica. a) Calcula quines dimensions ha de tenir el rectangle perquè l’àrea sigui màxima. b) Si per cada metre quadrat hi podem posar com a màxim 4 gallines, quantes gallines cabran com a màxim en aquest galliner?
- En un hort hi ha 50 pereres. Cada arbre produeix 800 peres. Per cada arbre addicional que hi plantem, la producció de cada arbre es redueix en 10 peres. Quants arbres més ens cal plantar per a obtenir la producció més alta possible? Quina és aquesta producció?
- La gràfica següent representa una funció.
a) De quin tipus és la funció? b) Trobeu el vèrtex i les interseccions amb els eixos de coordenades. c) Determineu l’equació de la funció.
- Actualment se suposa que l’evolució de la població del llop marsupial (o tigre de
Tasmània) des de l’any 1000, seguia la funció f ( x ) = − 0 , 004 x^2 + 11 , 2 x − 6840
on x són els anys transcorreguts des del naixement de Crist. a) En quin interval de temps la població va créixer i en quin va decréixer? b) Quina va ser la població màxima i en quin any es va assolir? c) Quina era la població quan van arribar els europeus a Tasmània l’any 1642? d) Quan es va extingir l’espècie?
- La intensitat de radiació solar i (en watts/m^2 ) sobre una placa solar orientada al sud és funció de l’hora h. Concretament, durant el dia de l’equinocci de tardor s’ha observat que:
i ( ) h = − 25 h^2 + 700 h − 4000
a) A quina hora la intensitat de radiació solar és màxima i quina és aquesta intensitat màxima (en w/m^2 )? b) Quina és la intensitat de radiació a les 10h del matí? I a les 5h de la tarda?
c) Calcula a partir de la funció i ( h )a quines hores surt i es pon el sol.
d) En quin interval horari la intensitat de radiació és igual o superior a 800 w/m^2?
Departament de Matemàtiques Funcions – 4t d’ESO
- Volem escalfar 1 litre d’aigua des de 20ºC fins a 50ºC. Connectant escalfadors de diferents potències al corrent elèctric, mesurem el temps que triga a escalfar-la: Potència 200W 300W 600W Temps 10min27s 6min58s 3min29s a) Quant de temps trigarà a escalfar-se si no hi ha escalfador (potència nul·la)? b) Quant de temps trigarà a escalfar-se amb un escalfador de 100W? c) Quanta energia en joules es necessita per escalfar aquest litre d’aigua des de 20ºC fins a 50ºC? (1J=1W·1s) d) Quanta energia es necessita per escalfar 1 cm^3 d’aigua 1ºC?
- Per escalfar un got de llet treta de la nevera, que està a 6ºC de temperatura, fins a 60º necessitem posar-lo en un microones a la potència màxima de 750 w durant 1 minut. a) Quan trigarà a escalfar-se el got a la mateixa temperatura si posem el microones a una potència de només 250w? b) Si volem la llet tèbia, a una temperatura de 36ºC, durant quants segons haurem d’escalfar-la a una potència de 400 w?
- Al segle XIX Faraday va descobrir que, quan feia passar corrent elèctric a través d’una dissolució de sal de plata, es dipositava plata metàl·lica sobre l’elèctrode. Concretament va veure que si feia passar durant 1 hora un corrent de 2 ampers es dipositaven 8 grams de plata. En canvi, si feia passar un corrent de 5 ampers durant la mateixa estona aleshores es dipositaven 20 grams de plata. a) Troba una funció que doni els grams de plata dipositats en funció de la intensitat del corrent elèctric (en A). b) Quan no hi passava cap corrent, quina quantitat de plata es dipositava en l’elèctrode? c) Quin corrent havia de passar perquè es dipositessin 27,5 g de plata en l’elèctrode? d) Si hi aplicava un corrent de 3,6 A, quina quantitat de plata es dipositava en l’elèctrode?
- Un dipòsit d’aigua que està ple té una aixeta que serveix per buidar-lo. Si l’aixeta raja a 2 litres per minut, el dipòsit triga 2h i 15 minuts a buidar-se. Si l’aixeta raja a un ritme de 3 litre per minut, el dipòsit triga 1h i 30 minuts a buidar-se. a) Troba una expressió algebraica que doni el temps (en minuts) que triga el dipòsit a buidar-se en funció del cabal de l’aixeta (en litres per minut). b) Quin és el volum del dipòsit? c) Si l’aixeta està tancada, quin és el cabal i quant trigarà a buidar-se el dipòsit?
Departament de Matemàtiques Funcions – 4t d’ESO
La hipèrbola
- Representa gràficament les hipèrboles i digues quines són les equacions de les seves asímptotes:
1 3
x
y 2 1
x
y 2
x
y
- Troba els punts d’intersecció de les hipèrboles anteriors amb els eixos.
- Traslladem la hipèrbola x
y
= dues unitats cap amunt i tres unitats cap a
l’esquerra. Quines són les asímptotes de la nova hipèrbola? Quina és la seva equació?
- Troba els punts de tall de la recta y = x − 1 amb la hipèrbola 1 2
x
y.
- Escriu l’equació de la família de totes les hipèrboles que tenen per asímptotes les rectes x =− 3 / 4 i y = 1 / 2. D’aquesta família, quina és la hipèrbola que passa pel punt (5/4, 3)?
- Troba l’equació de la hipèrbola equilàtera que passa pels punts (−3, 0), (5, 2) i
(4, 4). És recomanable utilitzar la forma estàndard x x 0
ax b y −
- Calcula les asímptotes de les següents hipèrboles:
a) 1 3
x
y b) 1
x
x y c) 2
x
y d) 2
x
y
- Calcula l’equació de la hipèrbola que talla els eixos als punts (−1, 0) i (0, 1) i té per asímptota vertical la recta x = 1.
- Segons un estudi sobre l’evolució de la població d’una espècie protegida determinada, podem establir el nombre d’individus d’aquesta espècie durant els
propers anys mitjançant la funció f ( t ) = ( 50 t + 500 ) (/ t + 1 ) en què t és el nombre
d’anys transcorreguts. a) Calcula la població actual i la prevista per d’aquí a nou anys. b) Determina els períodes en què la població augmentarà i els períodes en què disminuirà. c) Esbrina si, segons aquesta previsió, la població tendirà a estabilitzar-se en algun valor i, si escau, determina’l.
- El cabal c d’aigua (en l/min) que passa per una canonada depèn de la pressió p
de l’aigua (en atm.) segons la funció c ( p ) = 6 p /( p + 2 )per a p ≥ 0.
a) Calcula el cabal que hi passa si no hi ha pressió. b) Quina pressió hem d’aplicar per aconseguir un cabal de 4 l/min? c) Quin cabal passarà a una pressió de 2 atm.? d) Quin serà el cabal màxim que pot passar per aquesta canonada?
Departament de Matemàtiques Funcions – 4t d’ESO
d) Calcula els punts de tall amb la funció g ( x ) = x − 1.
e) Representa ambdues funcions en la mateixa gràfica sobre paper mil·limetrat. Ajuda’t de taules de valors.
Funcions definides a trossos
- Representa gràficament la següent funció:
x^2 x
x x
x x f x
- Un representant comercial té contractat amb una empresa les següents comissions. Si ven menys de 1.000€ cobra 1.000€ al mes més 200€ de comissió. Si ven entre 1.000 i 5.000€ aleshores cobra un 5% de comissió sobre les vendes, i si ven més de 5.000€ aleshores li afegeixen un 1% suplementari de comissió per cada € que passi de 5.000€. a) Escriu la funció que representi el sou del comercial en funció de les vendes. Representa gràficament la funció. b) Quant ha de vendre per cobrar 2.600€? c) Si un mes li han pagat 1.800€, quin ha estat l’import de les vendes?
- De la funció dibuixada a la gràfica, determina: a) El domini. b) El recorregut.
c) f (− 2 ), f ( ) 0 , f ( ) 3.
d) Troba una expressió per a la funció. e) Digues en quins intervals la funció és creixent i en quins és decreixent. f) Determina els mínims i els màxims locals si existeixen.
- Disparem una pilota de goma que assoleix una altura màxima de 5m i cau al terra a una distància de 10m. Si la pilota té un rebot perfecte (és a dir no es perd energia en cada rebot), escriu l’equació de la funció que descriu la trajectòria de la pilota incloent els rebots tot escollint com origen de coordenades el punt des d’on hem disparat la pilota.
117. Representa la funció ( )
4 si 2
3 6 si 2 2
1 si 2
x
x x
x x f x
Departament de Matemàtiques Funcions – 4t d’ESO
118. Representa la funció ( )
5 2 si 1
6 si 3 1
2 si 3
x x
x x
x x gx
- Un caçador veu un ànec que vola horitzontalment a una altura de 20 metres. Al cap de 10 segons li dispara un tret que el mata i l’ànec cau a terra. a) Calcula quant triga a caure l’ànec sabent que l’altura que perd en funció del temps t des que li ha disparat el caçador és igual a g t^2 / 2 essent g ≅ 10 m/s^2 l’acceleració de la gravetat (el valor exacte és 9,81). b) Representa gràficament l’altura de l’ànec en funció del temps des que el caçador ha vist l’ànec i troba’n l’expressió analítica com una funció definida en tres trossos.
- Troba l’expressió analítica de la
funció f ( x ) mostrada en la
gràfica.
- Una botiga de reprografia té la següent tarifa: fins a 10 fotocòpies les cobra a 5 cèntims la fotocòpia; per més de 10 fotocòpies i fins a 50 les cobra totes a 4 cèntims; per més de 50 còpies les cobra totes a 3 cèntims. a) Troba una expressió analítica que ens doni el cost en funció del nombre de fotocòpies. b) Representa gràficament la funció. c) Si hem de fotocopiar 65 pàgines, quant ens costarà? d) Disposem d’un pressupost de tres euros amb vint cèntims. Quantes còpies podrem fer? e) I amb 10€, quantes còpies podrem fer?
- El garatge A cobra 1€ només per entrar-hi, més 3 cèntims per minut de temps d’aparcament fins a les 2 hores. A partir de les 2 hores cobra 5 cèntims d’euro per minut. En canvi, el garatge B no cobra res per entrar-hi, tot i que després cobra a raó de 4 cèntims d’euro per minut per a qualsevol temps d’aparcament. a) Escriu les funcions que donen el cost de l’aparcament en cada garatge. b) Representa les dues funcions en la mateixa gràfica. c) Si preveiem que hi estarem 3h, quin dels dos garatges ens interessa més?
- Una granota situada en el centre d’un estany de 20 m de diàmetre fa salts de 2m de llarg i 1 m d’altura sobre nenúfars fins arribar a la vora de l’estany. Escriu l’equació de la seva trajectòria com una funció definida a trossos.
