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6.3.3 Gráficas de rectas usando m y b
Por ejemplo, para graficar la recta y 3 x 5
Marcar el valor de b (ordenada al origen) sobre el eje y , es decir el punto (0,5).
A partir de ese punto, como la pendiente es 1
3 ^3 ,
se toma una unidad a la derecha y 3 unidades hacia abajo, así se obtiene el punto (1,2). Uniendo ambos puntos obtenemos la gráfica deseada.
EJERCICIO
Representar las rectas de ecuaciones:
5 3
a)y 2 x 3 b)y x c)y
6.4 ECUACIÓN DE LA RECTA SI SE CONOCE UN PUNTO Y LA
PENDIENTE
Si conocemos de una recta que pasa por un punto ( x 0 ,y 0 ) y tiene pendiente m, podemos
obtener otra expresión para su ecuación.
Como el punto ( x 0 ,y 0 ) pertenece a la recta verifica su
ecuación y mx b, es decir y (^) 0 mx 0 b , despejando se
obtiene b y 0 mx 0 , reemplazando en la ecuación general
queda y mx (y 0 mx 0 ) de donde y m(x x 0 ) y 0
o la expresión equivalente: y y 0 m(x x 0 )
Ejemplo 1: Dar la ecuación de la recta que pasa por (3,4) y tiene pendiente m=5.
Solución Usamos la forma PUNTO-PENDIENTE y 4 5 (x 3 ) de donde y 5 x 11.
Ejemplo 2: Dar la ecuación de la recta que pasa por (-3, -1) y tiene pendiente 2
Solución
3 dedonde 2
y ( 1 ) x ( ) y x
6.5 ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
Para determinar la ecuación de una recta si conocemos dos puntos ( x 0 ,y 0 ) y ( x 1 , y 1 ) que
pertenecen a ella, calculamos la pendiente
1 0 1 0
(^1 0) siempre que x x x x
y y m z
y usando la ecuación PUNTO-PENDIENTE obtenemos:
ECUACIÓN
PUNTO-PENDIENTE:
y y 0 m(x x 0 )
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE
PASA POR DOS PUNTOS:
0 0 1 1 0
1 0 (^0) x x (x x ) si^ x x
y y y y z
x
y 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5
1
3
(x x ) x x
y y y y 0 1 0
1 0 (^0)
si x 1 (^) z x 0
Observación: Si x (^) 0 x 1 , la recta que une los puntos ( x 0 , y 0 ) y
( x 1 , y 1 ) está en posición vertical.
Las rectas verticales no representan funciones , su ecuación es del tipo x = constante.
Por ejemplo, la ecuación de la recta que pasa por (2,1) y (2,3) es x =2.
En particular la ecuación x = 0 corresponde al eje y.
Ejemplo 1: Obtener la ecuación de la recta que pasa por P(6,1) y Q(-2,7).
Solución
Usamos (^000) 1 0
1 0 (^0) si^ zy
(x x ) x x x
y y y y
m (x 6 ) 4
Luegolaecuaciónes: y- 1 3 4
Ejemplo 2: a) Encontrar la fórmula para calcular la cantidad de agua que queda cada día, en una represa que pierde agua de manera uniforme, si la cantidad inicial es de 1150 millones de litros y los datos diarios son:
b) ¿Si continúa la pérdida de 20 millones de litros por día, en cuánto tiempo se quedará vacía la represa? c) ¿Cuándo tendrá 150 millones de litros?
Solución a) Conocemos los puntos (1, 1130) y (2, 1110). Como la pérdida es uniforme una función lineal describe la situación.
x mide el tiempo en días; y los litros de agua, en millones. La ecuación es:
1 20 20 1130 20 1150 2 1
x y x y x
y
C(x) expresa la cantidad de agua de la represa en x días.
La fórmula buscada es: y C(x) 20 x 1150
b) Quedará vacía cuando la cantidad de agua sea cero. Es decir C(x)=0. Resolviendo la ecuación:
575 20
0 20 x 1150 20 x 1150 x.
Quedará vacía a los 57 días y medio.
c) Para responder debemos resolver la ecuación: C(x)=150.
50 20
150 20 x 1150 20 x 1150 150 x
La represa tendrá 150 millones de litros de agua cuando pasen 50 días.
x
y
Día (^1 2 ) Millones de litros de agua
6.6 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
En la figura observamos que las rectas r y s tienen la misma inclinación, no se cortan, es decir son paralelas. r y t forman al cortarse un ángulo recto, es decir son perpendiculares. Lo mismo s y t.
En general, si dos rectas son paralelas tienen la misma pendiente, y recíprocamente, si dos rectas tienen igual pendiente son paralelas.
Dos rectas son perpendiculares si y sólo sí el producto de sus pendientes es -1, o dicho de otra forma la pendiente de una, es la reciproca cambiada de signo de la otra.
1
1 2 2
1 2
2
1 1 sonperpendiculares 1,osea
sonparalelas
e
Dosrectas: m
m m m
m m
y m x b
y m x b
Ejemplo 1: Las siguientes ecuaciones 2
y 2 x 3 y y 2 x corresponden a rectas
paralelas. Ambas tienen pendiente m = 2. Como ejercicio, graficar ambas en un mismo sistema cartesiano.
Ejemplos 2: La pendiente de cualquier recta horizontal es
cero. Observar las rectas 3 2
y 1 ,y ,y de la figura.
Ejemplo 3: Dada la recta r que se muestra en la figura, determinar la ecuación de la recta:
a) paralela a r y pase por (2,-3) b) paralela a r y tenga ordenada al origen 2
c) perpendicular a r y corte al eje x en 2
x 0
Solución a) La pendiente m de la recta r de la figura es 1. La ecuación pedida es y 3 1 x 2 llevada a la forma y mx b , queda y x 5.
b) m =1 ; b = 2 la ecuación es y x 2.
c) La pendiente de la recta buscada es -1 y pasa por ¸ ¹
La ecuación es: 2
y §^ x x
Se deja como ejercicio para el lector dibujar en un mismo sistema de ejes las rectas obtenidas en a) b) y c).
x
y
t
r s
x
y
r
x
y 2 y^3
y 1
y 12
Ejemplo 4: Seleccionar entre las siguientes ecuaciones, las que representan rectas perpendiculares.
1 5 0 3
3 5 x ; y x
y y x ; y x ; y x ;.
Solución La segunda y última ecuación verifican que el producto de sus pendientes es -1.
5 1 5
, por lo tanto son rectas perpendiculares.
Como ejercicio, calcular las pendientes de las otras rectas y comprobar si hay paralelas.
6.7 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA
Todas las formas de ecuaciones de rectas que hemos visto pueden ponerse como una expresión del tipo: ax by c 0 , cona,b,c R , se llama forma general de la ecuación de
la recta.
Observación: x Ésta es la expresión de una ecuación lineal con dos incógnitas (se estudió en el capítulo 2) y la representación gráfica es una recta. x Se tiene una función lineal siempre que sea b z 0. x Para los casos a z 0 y b = 0, serán rectas paralelas al eje y , y no corresponde a la gráfica de una función.
Ejemplo: Determinar la pendiente y la ordenada al origen de la recta 5 x 7 y 11 0
Despejando y obtenemos: 7
y x por lo tanto
°
ordenadaalorigen
pendiente
Para representarla, se pueden utilizar los datos de la pendiente y la ordenada al origen o dando valores encontrar las coordenadas de puntos que satisfagan la ecuación.
Si hacemos 3 elpunto(2,3)pertenecealarecta 7
x 2 5 2 - 7y 11 0 y
Para (^) )pertenecealarecta 7
elpunto(0, 7
x 0 5 0 - 7y 11 0 y
Marcando y luego uniendo con una recta los puntos de coordenadas (2,3) y ¸ ¹
obtendremos la representación de gráfica de la ecuación 5 x 7 y 11 0.
6.8 INTERSECCIÓN DE RECTAS
El problema geométrico de determinar el punto de intersección de dos rectas es equivalente al problema algebraico de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Dadas dos rectas en forma general ¯
2 2 2
1 1 1 a x b y c
a x by c el punto intersección o de corte P ( x,y )
se encuentra sobre ambas rectas y es la solución del sistema de ecuaciones.
Se pueden presentar los siguientes casos:
Que las rectas no tengan ningún punto en común (rectas paralelas no coincidentes).
Planteando las ecuaciones obtenemos ¯
equivalente a 10 40
d t
d t d t
d t
Cada ecuación es una función lineal de variable independiente t. Para obtener la representación gráfica, calculamos algunos valores para Ana y Luis y los anotamos en una tabla.
Ana t (horas) 0 0.4 0.5 0.6 0. d ( km ) 0 24 30 36 42
Luis t (horas) 0 0.4 0.5 0.6 0. d ( km ) 10 26 30 34 38
El punto común de ambas funciones es (0.5,30), punto intersección de las rectas y encuentro de los hermanos.
En el gráfico vemos que el encuentro entre los hermanos se produce a la media hora, a una distancia d=30 km.
Faltaban 2 km para llegar a la casa de la madre.
Solución analítica del sistema
t t t t t 0_._ 5 horas 2
de la primera ecuación: d 60 0_._ 5 30 km
Se encuentran a los 30 minutos y no en la casa de la madre
6.9 FUNCIONES DEFINIDAS POR TROZOS
Ejemplo: 1: Se pone a calentar un recipiente con agua. La temperatura del agua varía según el tiempo transcurrido de acuerdo a los datos del gráfico. a) ¿Cómo encontrar una fórmula para la función representada? b) Calcular e interpretar T (3), T (5) y T (9).
Solución
a) Observamos que el gráfico se compone de dos segmentos de recta, uno para los valores comprendidos entre 0 y 5 y otro para los valores de t mayores que 5. La porción del gráfico que corresponde a 0 d t d 5 es un trozo de la recta que pasa por
los puntos (0,10) y (5,100); para t! 5 es una parte de una recta horizontal de ecuación T 100.
t(horas)
0,4 0,5 0,6 0,7 0,
d(km)
t (minutos)
T (ºC)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Determinamos la ecuación de la recta T mt b que pasa por los puntos (0,10) y (5,100),
18 5 0
b ; m Resulta Tt 18 t 10 para 0 d t d 5
La fórmula de la función T ( t ) que mide la temperatura del agua en función del tiempo t está compuesta por dos partes lineales y se expresa así:
d d 100 si 5
18 10 si 0 5 t
t t Tt
b) Para calcular T 3 se utiliza Tt 18 t 10 porque 3 5 T 3 18_._ 3 10 64
Significa que a los 3 minutos el agua está a una temperatura de 64ºC.
Para calcular T 5 se utiliza Tt 18 t 10 porque 0 5 d 5 T 5 18_._ 5 10 100
Para obtener T 9 se utiliza Tt 100 porque 9! 5 T 9 100
Queda para el lector interpretar T (5) y T (9).
Ejemplo 2: Representar la función: ° ¯
t
d
x si x
x si x
x six y f(x)
Solución
Observar que en cada intervalo, la función se define por un segmento de recta. Para describir estas gráficas es fundamental tener en cuenta el intervalo que corresponde a cada
expresión.
Ejemplo 3: a) Dar la fórmula de la función g ( x ) representada en el gráfico.
b) Calcular g (4) y g (3.99).
Solución a)
d
d
d
d
si x
si x
si x
si x
g ( x )
b) Por la parte a) tenemos: g (4) =3 ; g (3.99) =2. Observamos que en x =2, x = 4 y en x = 6 se produce un salto. La función en cada uno de esos puntos está perfectamente determinada por un único valor, indicado en el gráfico por un punto relleno.
Funciones formadas por trozos constantes se llaman escalonadas.
Ejemplos 1: Representar y 2 x 1_._
Solución
La recta y =2 x +1 pasa de negativa a
positiva cuando 2
x . La parte de la
recta que queda por debajo del eje x , debe quedar por encima cuando se hace el gráfico del valor absoluto.
Ejemplos 2: Dada la gráfica de f x.
Hacer la gráfica de y fx
Solución
x
y
1
1
y=- 2 x- (^1) y= 2 x+ 1
f ( x ) = |2 x +1| trazo continuo con forma de V
y = x
y = -x^ y = x
y (^) y
x x
0
5
10
15
20
-4 -2 (^2) x 4
y f x y
x
0
5
10
15
20
-4 -2 (^2) x 4 x
y La parte negativa de la gráfica debe pasar a positiva, en este caso y fx es negativa en el intervalo (-2,2).
Por lo cual un gráfico aproximado de y fx es el adjunto.
6.11 FUNCIONES CUADRATICAS
Este tipo de funciones aparece con mucha frecuencia en aplicaciones de la matemática. Por ejemplo, una función que proporciona la altura s de un objeto que cae en función del tiempo t se llama función de posición. Si no se considera la resistencia del aire, la posición de un objeto que cae admite el modelo cuadrático:
0 0
2 2
s( t) gt vt s donde g denota la aceleración de la gravedad, v 0 la velocidad inicial y
s 0 la altura inicial. (En la Tierra la constante g vale aproximadamente -9,8 m/s^2 )
Una función cuya expresión es: f (x) ax^2 bx c, a z 0 , con a, b y c números reales,
se llama función cuadrática.
Estas funciones están definidas para todo número real, es decir su dominio es R. La representación gráfica es una curva llamada parábola , los puntos del plano que verifican la
ecuación y ax^2 bx c , a z 0 constituyen la gráfica.
Para familiarizarnos con las gráficas de las funciones cuadráticas, las principales características y propiedades, consideraremos:
Caso 1: En y ax^2 bx c, tomamos a =1, b = 0 y c = 0, se obtiene la ecuación y x^2.
Veamos algunos valores particulares en la tabla siguiente:
El gráfico es una curva continua. La variable x puede tomar cualquier valor real, por lo tanto el dominio de esta función es R. Como el cuadrado de un número es siempre positivo o cero, el conjunto imagen son los números reales mayores o iguales que cero.
Caso 2: Graficas de parábolas de ecuación y ax^2.
Tomando los casos particulares a = 1; a = 2 ; a = 1/2 ; a = -1; a = -2 y a = -1/2, obtenemos la familia de parábolas del dibujo.
Solución
Notar que si a! 0 , las parábolas se abren hacia arriba, y tienen un mínimo en x 0.
Si a 0 , las parábolas se abren hacia abajo, en este caso las curvas tienen un máximo en x 0.
Todas son simétricas con respecto al eje y. Esto significa que si el punto ( x 1 , y 1 ) está sobre una curva, también lo está el punto de coordenadas (- x 1 , y 1 ).
Por ejemplo para la curva y 2 x^2 los puntos (1, 2) y
(-1, 2) pertenecen a ella.
El único punto que pertenece al eje de simetría y también a la parábola se llama vértice.
Todas las parábolas del dibujo tienen vértice V (0, 0).
-4 -2 2 4
x
5
10
15
y
y=2x^2
y=x^2
y=-x^2
y=^12 x^2
y=-2x^2 y=^ ^21 x
x y=x^2 -3 9 -2 4 -1 1 -1/2 1/ 0 0 1/2 1/ 1 1 2 4 3 9
-3 -2 -1 (^1 2 3) x
2
4
6
8
y
y=x^2
x
