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Cap´ıtulo 1
Funciones Elementales
Funciones elementales que debemos conocer de “de vista”.
1.1. Rectas y par´abolas
Coordenadas cartesianas. Eje de abscisas (eje x), eje de ordenadas (eje y).
Rectas. Ecuaci´on y = bx + a de una recta. Pendiente b. Ordenada en el origen a.
Ecuaci´on en la forma punto-pendiente:
y y 1 = b(x x 1 )
Recta que pasa por dos puntos distintos:
b =
y 2 y 1
x 2 x 1
Par´abolas. La par´abola y = x^2. Cambio de escala en el eje OY. Cambio de orientaci´on.
Traslaciones en los ejes. Cuadrado de un binomio. Reducci´on de una par´abola y = ax^2 + bx + c a la forma can´onica y = a(x p)^2 + q.
La ecuaci´on de segundo grado. La ecuaci´on ax 2
- bx + c = 0. El discrimante b 2 4 ac. Existencia y n´umero de soluciones:
s =
b +
p b^2 4 ac
2 a
Factorizaci´on:
a(x s 1 )(x s 2 )
6 Cap´ıtulo 1. Funciones Elementales
Problemas
- Dar la ecuac´on de la recta que pasa por los puntos (2,4) y (5,7). (SOL: y = x + 2).
- Reducir a la forma can´onica la par´abola y = 9 x^2 + 36x 35. (SOL: y = 9(x 2)^2 + 1).
- Discutir y en su caso resolver la ecuaci´on 5x 2 25 x + 30 = 0. (SOL: x = 2, 3).
1.2. Las funciones Exponenciales
La funci´on exponencial de base b > 1.
La funci´on y = 2x; si x > 0 es un entero positivo,
x := 2 ⇥... x) ⇥ 2
Se cumple 2 n ⇥ 2 m = 2 n+m
Para que 2 0 ⇥ 2 m = 2 m debe ser 2 0 = 1. Por motivos an´alogos, 2 m = 1/ 2 m . Por otro lado, como (2n)m^ = (2n) ⇥.. .m)^ ⇥ (2n) = 2n⇥m, debe ser 2^1 /n^ =n^
p 2 y
m/n
n
p 2 m
Para describir su gr´afica usamos la notaci´on
l´ım x!+ 1
x = + 1
l´ım x!
x = 0
x
y
-2 -1 0 1
0
1
2
Figura 1.1: Las funciones exponenciales de base 2 y 10.
La base m´as usada ser´a el n´umero
e = 1 +
8 Cap´ıtulo 1. Funciones Elementales
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1.
-0.
x
sin(x)
Figura 1.2: La funci´on Seno.
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1.
-0.
x
cos(x)
Figura 1.3: La funci´on Coseno.
1.4. Funciones inversas
Las funciones f (x) = x 2 y f (x) 1 =
p x son funiones inversas. La idea de funci´on
inversa es que una funci´on deshace lo que hace la otra.
La funci´on logaritmica es simplemente una funci´on exponencial en al que los ejes x e y
se intercambian. Las gr´aficas de la funci´on exponencial y la funci´on logaritmica son sim´etricas respecto a la recta y = x.
Un ejemplode funci´on inversa es el Logaritmo: Consideremos la funci´on y = 2 x , exponencial de base 2, con 1 < x < + 1 , 0 < y.
Su funci´on inversa es x = log 2 y, logaritmo de base 2. An´alogamente logaritmos en base 10
(logaritmos vulgares) o en vase e (logaritmos neperianos).
Como regla general usaremos el n´umero e como base de las exponenciales, es decir para
cualquier base b > 0,
bx^ = ex^ ln(b)
1.5. Continuidad 9
Algunas operaciones con logaritmos que debemos conocer:
log(a b) = log a + log b
log( a b ) = b log a
-4 -2 0 2 4
-^ -^
0
2
4
x
x
Figura 1.4: La funci´on Exp(x) y Log(x).
1.5. Continuidad
Funciones continuas: Decimos que una funci´on y = y(x) es continua en un punto
x = a si existen y coinciden los l´ımites laterales limx!a+^ y(x) y limx!a ^ y(x) con el valor
y(a).
Por ejemplo, la siguiente funci´on es continua en todos los puntos salvo en los puntos
x = 1, 1.
y(x) =
x^2 1
1.7. Ejercicios. Funciones Elementales. 11
1.7. Ejercicios. Funciones Elementales.
- Cuales de las siguientes relaciones representan funciones y porqu´e?
a) y = |x|
b) x^2 + y^2 = 9
c) x = y^3 5 y^2 + 10
d ) y = sin x
- La pendiente de una recta l es 3.
a) C´ual es la pendiente de una recta paralela a l?
b) C´ual es la pendiente de una recta perpendicular a l?
- Realizar una representaci´on gr´afica de las siguientes funciones:
a) f (x) = ln(x + 1) x 3
b) f (x) = e (x+1)^2
c) x^2 x^2 + d ) f (x) = e
x x+
e) f (x) = x
(^2) +x+ x+
- La escala de Celsius se establece de forma que 0^0 C corresponde con la temperatura de congelaci´on del agua y 100 0 C al punto de ebullici´on. Por otro lado, para la escala Fahrenheit se sabe que el agua se congela a 32^0 F y hierve a 212^0 F. Obtener la ecuaci´on lineal que relaciona la temperatura de ambas escalas. Si un cuerpo est´a a 97 0 6 0 F , a cuantos grados Celsius est´a?.
- Se sabe que el n´umero de semillas que produce una planta es directamente proporcio- nal a su biomasa no enterrada. Obt´en la ecuaci´on que relaciona el n´umero de semillas y la biomasa se una planta que pesa 217 g tiene 17 semillas.
- Supongamos que el n´umero de bacterias en cierta composici´on viene dada por
B(t) = 10000e 0 , 1 t
donde t es el n´umero de horas. Realizar una representaci´on gr´afica de la evoluci´on en el n´umero de bacterias a lo largo del tiempo.
- Tras un estudio de 45 especies de algas unicelulares se encontr´o biomasa y de una c´elula se puede expresar de la siguiente forma en funci´on del volumen x de dicha c´elula: y = k x 0 , 794
Tomando k = 0,1, hacer un esbozo de la gr´afica de dicha funci´on. Calcular la biomasa cuando el volumen es de x = 3. Calcular el volumen para que la biomasa sea y = 8.
