Ud.3. SUPERFICIES
Superficies curvas
ESFERA
GEOMETRÍA
DESCRIPTIVA I
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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA, Diapositivas de Geometría Descriptiva
Diapositivas de sistema dias rico sobre Poliedros regulares-ESFERA
Tipo: Diapositivas
2018/2019
1 / 14
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Ud.3.
SUPERFICIES
Superficies curvas
ESFERA
GEOMETRÍA
DESCRIPTIVA I
Ud. Temática
SISTEMAS
DE
REPRESENTACION.
Conceptos generales Ud. Temática
SISTEMA
DIEDRICO.
Fundamentos: Punto, recta y plano.
Intersecciones de rectas y planos.
Posiciones relativas de rectas y planos. Paralelismo y perpendicularidad
Operaciones: Giros, cambios de plano y abatimientos
Distancias
Ángulos de rectas y planos Ud. Temática
SUPERFICIES.
Superficies poliédricas radiadas. Prisma y pirámide
Poliedros regulares
Esfera, cono y cilindro Ud. Temática
INTERSECCIONES
DE
SUPERFICIES
Y
SOMBRAS.
Tipos de intersecciones. Generalidades y métodos.
Teoría general de sombras. Figuras planas.
Teoría general de sombras. Superficies ÓSCAR LÓPEZ ZALDÍVAR ∙ Geometría Descriptiva I ∙ Departamento de Expresión Gráfica ∙ ETSEM Programa de la Asignatura Programa de la Asignatura
La proyección de una esfera sobre los planos proyectantes en proyección cilíndrica ortogonal es siempre una circunferencia, de centro y radio los de la esfera.
Contorno aparente horizontal : Los rayos perpendiculares al
PH
tangentes a la esfera describen un cilindro circunscrito a la misma, siendo la línea de contacto entre ambas superficies una circunferencia máxima o Ecuador
Contorno aparente vertical : Los rayos perpendiculares al PV tangentes a la esfera describen un cilindro circunscrito a la misma, siendo la línea de contacto entre ambas superficies una circunferencia máxima o Meridiano principal
Todo punto situado por encima del Ecuador
,^
será visto en proyección horizontal.
Todo punto situado por delante del Meridiano
,^
será visto en proyección vertical. Ud.3. SUPERFICIES Esfera Ud.3. SUPERFICIES Esfera
Representación
de
la
esfera
ÓSCAR LÓPEZ ZALDÍVAR ∙ Geometría Descriptiva I ∙ Departamento de Expresión Gráfica ∙ ETSEM Meridiano o Ecuador O o’
Ambos contornos se proyectan en la vista contraria según un diámetro. o’ o Vistos en PHOcultos en PHVistos en PVOcultos en PV
H’ Un punto está en una esfera, si se encuentra en una circunferencia de ella Ud.3. SUPERFICIES Esfera Ud.3. SUPERFICIES Esfera
Situación
de
un
punto
en
una
esfera
ÓSCAR LÓPEZ ZALDÍVAR ∙ Geometría Descriptiva I ∙^ Departamento de Expresión Gráfica ∙^ ETSEM
Dicha circunferencia puede resultar de la intersección de la esfera con un plano paralelo al horizontal o al vertical, con lo que se proyecta con su verdadera magnitud en uno de ellos como una circunferencia y en el otro según una línea. - En general, la proyección de un punto en una vista corresponde a dos de la esfera (uno visto y otro oculto). a’=b’ b a=c A C B c’ o o a’=b’ b a=c Meridiano c’
f c ’c o Obtención de los puntos
E
,^
F
y
G
de la esfera representada, conocidas sus proyecciones horizontales e
,^
f^ y g
F o e e 2 e 1 o Meridiano o f’ 2 f’ 1 r o F g’ g r c ’c^ F Ecuador H =c c^ o =c c r Ud.3. SUPERFICIES Esfera Ud.3. SUPERFICIES Esfera
Situación
de
un
punto
en
una
esfera
ÓSCAR LÓPEZ ZALDÍVAR ∙ Geometría Descriptiva I ∙^ Departamento de Expresión Gráfica ∙^ ETSEM
Está producida por un plano vertical que pasa por el centro, por lo que se trata de una circunferencia vertical del mismo radio que la esfera. o’ a’ Ud.3. SUPERFICIES Esfera Ud.3. SUPERFICIES Esfera
Sección
meridiana
de
una
esfera
ÓSCAR LÓPEZ ZALDÍVAR ∙ Geometría Descriptiva I ∙^ Departamento de Expresión Gráfica ∙^ ETSEM a b’ b o c=d c’ d’ r’ s’ r=s Sea la circunferencia de centro
O,
y el plano vertical definido por las rectas
R
y
S.
Representar la sección producida en la esfera.
En proyección vertical
,^
la circunferencia se proyectará como una elipse, cuyo eje mayor es el diámetro vertical c’
d’, y el menor la proyección vertical a’ ‐b’ del diámetro horizontal sobre la proyección del ecuador.
La proyección horizontal de la sección coincide con la proyección horizontal de ambas rectas
R
y
S.
o a’ r’’= s’’ o Ud.3. SUPERFICIES Esfera Ud.3. SUPERFICIES Esfera
Sección
máxima
de
una
esfera
por
un
plano
oblicuo
ÓSCAR LÓPEZ ZALDÍVAR ∙ Geometría Descriptiva I ∙^ Departamento de Expresión Gráfica ∙^ ETSEM Sea la circunferencia de centro
O
,^
y el plano oblicuo que pasa por su centro definido por las rectas
R
y
S
.^
Representar la sección máxima producida en la esfera.
Las proyecciones coincidentes r’’ ‐s’
’^
forman el plano de canto y cortan a la esfera según a’’ ‐b’’ (al ser sección máxima pasa por el centro de la esfera
O
En primer lugar transformaremos el plano en uno de canto mediante un cambio de plano. Para ello situaremos la horizontal
R
como una recta de punta y trasladaremos la proyección vertical de la esfera. r s s’
La proyección horizontal será una elipse cuyo eje menor será a ‐b (proyección sobre el meridiano del cambio de plano). El eje mayor c
d vendrá dado por el radio de la esfera.
La proyección vertical será una pareja de ejes conjugados c’ ‐d
’^
sobre el ecuador y a’ ‐b’ hallados deshaciendo el cambio de plano. r’ o’’ m’ c’ b’ n’ d’ p’ p p’’ a m c b n d = c’’= d’’ a’’ b’’ i’ i i’’
Por último, los punto de paso por el contorno aparente vertical son m’ ‐n’, obtenidos a partir de m
n sobre el meridiano frontal.
o r’’= s’’ o Ud.3. SUPERFICIES Esfera Ud.3. SUPERFICIES Esfera
Sección
menor
de
una
esfera
por
un
plano
oblicuo
ÓSCAR LÓPEZ ZALDÍVAR ∙ Geometría Descriptiva I ∙^ Departamento de Expresión Gráfica ∙^ ETSEM Sea la circunferencia de centro
O
,^
y el plano oblicuo definido por las rectas
R
y
S
Representar la sección producida en la esfera.
Las proyecciones coincidentes r’’
s’’ forman el plano de canto y cortan a la esfera según a’’
b’
.^
El centro c”
,^
se hallará trazando una perpendicular a
O
En primer lugar transformaremos el plano en uno de canto mediante un cambio de plano. Situaremos
R
como una recta de punta y trasladaremos la esfera. r s s’
La proyección horizontal será una elipse cuyo eje menor será a
b (proyección sobre el meridiano del cambio de plano). El eje mayor c
d vendrá dado por el radio r
La proyección vertical será una pareja de ejes conjugados c’
d’ sobre la horizontal que pasa por c’ y a’
b’.
a’
,^
b’ y c’ los hallaremos deshaciendo el cambio de plano) r’ o’’ m’ b’ d’ q’ x’ x x’’ a m c b n d c’’ a’ b’’ i’ i i’’
Los puntos de paso por el contorno aparente horizontal son m
n
,^
obtenidos a partir de m’’ ‐n’’
r r r m’’= n’’ e = d’’= e’’ c’ e’
Los puntos de paso por el contorno aparente vertical son o’ ‐p’
,^
obtenidos a partir de o
p
q p p’ n’ a’’
r c Hay que aplicar el método general de intersección de recta con superficie o o (c) r r’ a’ a i^1 i^2 i’ 1 i’ 2 Ud.3. SUPERFICIES Esfera Ud.3. SUPERFICIES Esfera
Intersección
de
una
recta
R,
con
una
esfera
ÓSCAR LÓPEZ ZALDÍVAR ∙ Geometría Descriptiva I ∙^ Departamento de Expresión Gráfica ∙^ ETSEM r (a) (i ) 1 (i ) 2
Introducimos la recta en un plano proyectante horizontal (plano vertical). La sección producida en la esfera será un círculo menor con centro en C
,^
perpendicular desde el centro de la esfera al plano vertical auxiliar.
La intersección de esta sección circular con la recta
R
(punto
I
1 e
I
2
la resolvemos abatiendo el plano auxiliar sobre uno horizontal
H
H’
La visibilidad de la recta estará en función de la visibilidad de los puntos de intersección. De esta forma, si el punto es visto, el tramo de proyección entre dicho punto y el paso por el contorno aparente será visto. (r)
Lugar geométrico de los puntos que distan
Uds. de un punto dado: ESFERA de
Uds. de radio.
Lugar geométrico de los posibles centros de una esfera de
Uds. de radio tangente a un plano
P
dado: DOS
PLANOS
PARALELOS
A
P
a
Uds. de distancia
Lugar geométrico de los posibles centros de una esfera de
Uds. de radio tangente a una recta
R
dada: CILINDRO
DE
EJE
LA
RECTA
R
Y
RADIO
Uds.
Lugar geométrico de los posibles centros de una esfera de
Uds. de radio tangente a otra esfera dada: ESFERA
CON
RADIO
Uds.
MAYOR
QUE
LA
DADA
Lugar geométrico de los posibles centros de una esfera tangente a tres rectas paralelas dadas:
RECTA
EQUIDISTANTE
DE
LAS
OTRAS
TRES
Lugar geométrico de los posibles centros de una esfera de
Uds. de radio, tangente a dos planos dados: RECTA
A
Uds.
DE
DISTANCIA
DE
CADA
PLANO
Ud.3. SUPERFICIES Esfera Ud.3. SUPERFICIES Esfera
Lugares
geométricos
para
definir
el
radio
de
una
esfera
ÓSCAR LÓPEZ ZALDÍVAR ∙ Geometría Descriptiva I ∙^ Departamento de Expresión Gráfica ∙^ ETSEM