¡Descarga Teoria de Grafos y más Apuntes en PDF de Matemática Discreta solo en Docsity!
Tema 6: TEORÍA DE GRAFOS
1. Definiciones y preliminares
Un grafo es un par G=(V,E), donde V es un conjunto no vacío finito cuyos elementos se llaman vértices y E es un conjunto de pares no ordenados de elementos de V cuyos elementos se llaman aristas. En un diagrama se representa cada vértice con un círculo (o circunferencia) y cada arista con un segemento que une los dos vértices. Si la arista está ordenada, esto es, el segmento es flecha, entonces se habla de grafo dirigido. La figura 1 es un dibujo del grafo (ordinario) G=(V,E) donde V={1,2,3,4} y E={(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}.
Figura 1: grafo ordinario
Ejemplos de problemas donde se aplica la Teoría de Grafos:
- Elección de la ruta o carretera más corta para ir de un lugar a otro.
- Redes de tráfico nacionales, calles de la ciudad.
- Modelado de redes de computadores.
- Organigramas.
- Representación de una relación binaria.
- Competiciones deportivas: ligas, torneos.
Otra manera de retener o almacenar la información del grafo es mediante una matriz de adyacencias : dos vértices adyacentes son aquellos que forman parte de una misma arista, si hay n vértices, la matriz es cuadrada de orden n y en la posición (i,j) hay un 0 si el par de vértices {vi , vj) está en E y un 1 si está en E. Por tanto, para un grafo ordinario, la diagonal principal es de ceros y la matriz de adyacencias es simétrica respecto de la diagonal principal. Un grafo con n a vértices y m aristas se dice que es un (m,m)-grafo y el grafo trivial es el (1,0)-grafo, esto es, un solo vértice y ninguna arista. Un (n,m)-grafo se dice que es un grafo completo si cada vértice es adyacente con los n-1 restantes y, en consecuencia, m es n!/(n-2)!2! El grafo de figura 1 es el grafo completo de 4 vértices que se suele notar como K 4.
Se llama grado de un vértice v en G y se nota deg(v) al número de aristas de G incidentes con v, esto es, que contienen a v como vértice. El grado de todos los vértices de la figura 1 es 3.
Dado un grafo G, el grafo complemento de G es un grafo G’ que tiene los mismos vértices que G y todas las aristas que necesita G para ser completo.
Teorema de los grados. En un (n,m)-grafo con vértices vi (1≤ i≤ n), se cumple que 2m= deg(v 1 )+deg(v 2 )+…+deg( vn).
Demostración : Cada arista es incidente exactamente con 2 vértices y por tanto, cada arista “contribuye” exactamente “2” a la suma de los grados de todos los vértices del grafo.
Un grafo regular es un grafo en el que todos sus vértices tienen el mismo grado. Todo grafo completo es regular porque el grado de cada vértice es el número total de vértices menos uno. Los dos primeros grafos de la figura 2 son regulares pero no completos
Figura 2: grafos regulares
Un subgrafo H=(V’,E’) de un grafo G=(V,E) es un grafo tal que V’ŒV y E’ŒE. Si V’=V, se dice que H es un subgrafo generador de G. Dos grafos G=(V,E) y H=(V’,E’) son grafos isomorfos si hay una bisección h:VØV’ tal que {vi , vj} está en E si y sólo si {h(vi), h(vj)} está en E’. Como consecuencia, cada vértice ha de aplicarse en otro del mismo grado. Un camino de longitud l que conecta el vértice v 0 con vl es una sucesión de aristas {v 0 , v 1 }, {v 1 , v 2 },…, {vl-1 , vl} del grafo. Normalmente se nota v 0 v 1 …vl. Si ocurre que v 0 ≠vl, se dice que es un camino abierto. Un camino abierto es un camino propio si todos sus vértices son distintos. Un bucle es un camino no abierto (o cerrado). Un ciclo es un bucle donde todos los vértices excepto el primero y el último son distintos entre sí. Cuando en un grafo ordinario se permiten ciclos de longitud 2, se le llama multigrafo. Si además, se admiten ciclos de longitud 1, estamos ante un pseudografo. Como ya se ha dicho, un grafo (ordinario), un multigrado o un pseudografo en el que cada arista es un para ordenado, se llama grafo dirigido. Mientras no se diga lo contrario, usaremos grafos ordinarios, aunque la mayoría de resultados son válidos, con algún pequeño retoque, para los otros tipos de grafos.
2. Conexión y transversalidad
Se dice que dos vértices v,w de un grafo G=(V,E) son vértices conectados si hay un camino en el grafo que lleva v en w. Un grafo conexo es un grafo en el que todo par de
Demostración : Sea α el bucle de Euler de G. Cada vez que α cruza un vértice de G, se
suma 2 a su grado (por ser un bucle). Como en α cada arista aparece exactamente una
vez, el grado de cada vértice debe ser múltiplo de 2 (tantas veces como se pase por el vértice). Suponemos ahora que cada vértice en G conexo tiene el grado par, esto es, al menos el
grado es 2, luego G contiene algún ciclo, α 1. Suprimimos las aristas de α 1 de G y
resultará un subgrafo G 1 generador de G, en el que cada vértice tiene aún grado par. Si
G 1 tiene alguna arista, debe contener al menos un ciclo α 2 y al suprimirlo resultará un
subgrafo G 2 generador de G 1 en el que cada vértice tiene grado par. Así, el conjunto de
aristas suprimidas puede partirse en los ciclos α 1 , α 2 .etc. Sea αi uno de esos ciclos. Si es
el único, es el bucle de Euler, si no, hay otro ciclo αj que comparte un vértice con αi y si
no hay más, el bucle de Euler es el que empieza en el vértice común v, rodea αi y αj y
acaba en v.
Un camino de Euler en un grafo G es un camino abierto que atraviesa cada arista de G exactamente una vez.
Teorema del camino de Euler. Un grafo conexo G tiene un camino de Euler entre v y w si y sólo si v y w son los únicos vértices en G con grado impar.
Demostración : Para encontrarlo, se resuelve el problema de encontrar un bucle de Euler para el grafo que resulta de añadir a G la arista {v,w} y después se le quita al bucle esa arista.
Figura 4
Todos los grafos de Figura 4 tienen camino y/o ciclo de Euler.
Un grafo G=(V,E) tiene un ciclo hamiltoniano si existe un ciclo en G que contenga cada vértice de V. Un grafo que contenga un ciclo hamiltoniano se llama grafo de Hamilton. Un camino hamiltoniano es un camino abierto propio que contiene todos los vértices de G.
Desgraciadamente, no hay caracterizaciones elegantes para saber si un grafo es hamiltoniano o no. A continuación, se dan algunos consejos para encontrar ciclos hamiltonianos:
- Si G tiene un ciclo hamiltoniano, el grado de cada vértice ha de ser mayor o igual que 2.
- Si deg(a)=2, las dos aristas incidentes con a tienen que aparecer en cualquier ciclo hamiltoniano de G.
- Si deg(a)>2, una vez que se pasa por a, dejamos de tener en cuenta las aristas no usadas incidentes con a.
- Al construir un ciclo hamiltoniano para G no podemos obtener un ciclo para un subgrafo de G a menos que contenga todos los vértices de G.
Figura 5: grafo de Hamilton y ciclo hamiltoniano
3. Árboles
Un árbol es un grafo conexo que no contiene ciclos. Un grafo cualquiera sin ciclos se llama bosque. Son claras las siguientes afirmaciones:
- En un árbol, dos vértices están conectados exactamente por un camino propio.
- Si G es un (n,m)-árbol, entonces m=n-1 (Si G es un (n,m)-bosque de t árboles, entonces m=n-t).
Figura 6: árbol
Un árbol generador TG del grafo conexo G es cualquier árbol que incluya todos los vértices de G. El algoritmo para construirlo es el siguiente:
4. Grafos bipartidos
Un grafo bipartido es jun grafo G=(V,E) tal que V puede ser partido en 2 conjuntos
V’ y V’’ de forma que cada arisa de G es de la forma {v,w}, donde v∈V’ y w∈V’’. Se
dice que V’ y V’’ son subconjuntos de vértices complementarios de G.
Caracterización de grafos bipartidos. Un grafo G es bipartido si y sólo si todos sus bucles tienen longitud par.
Dado un grafo bipartido G con V=V’∪V’’ y V’={v 1 ,…,vq}, un enfrentamiento o
apareamiento de V’ a V’’ es un subgrafo de G que consta de q aristas {vi,wi} (1≤ i ≤
q), donde cada wi∈V’’. En figura 7 el conjunto de vértices V se parte en V’={v1, v2,
v3} y U= {u1, u2, u3, u4} y para obtener un enfrentamiento de V’ a U basta considerar las aristas (v1,u1), (v2,u2) y (v3,u3). Nótese que no es el único apareamiento posible.
Figura 7: grafo bipartido
Condición de diversidad. Si G=(V,E) es un grafo bipartido con V=V’ ∪ V’’, G tiene un
apareamiento de V’ a V’’ si y sólo si k vértices en V’ (k=1,2,…, #(V’)) son adyacentes con al menos k vértices en V’’ (hay al menos k vértices n V’’ adyacentes con alguno de los k vértices de V’).
Condición suficiente de apareamiento. Si G=(V,E) es un grafo bipartido con
V=V’ ∪ V’’ y existe t>0 tal que
a) cada vértice de V’ tiene al menos t aristas incidentes. b) cada vértice en V’’ tiene a lo más t aristas incidentes, entonces existe un apareamiento de V’ a V’’.
Se nota por Kn,m grafo bipartido en n y m vértices con todas las aristas posibles.
5. Grafos planos
Se llama cruce de un grafo a una intersección de aristas que no es un vértice. Un grafo plano es un grafo que puede dibujarse en el plano sin cruces. En caso contrario, se dice que el grafo es no plano. El grafo K 5 (completo pentagonal) y el grafo K3,3 son no planos.
Figura 8: K3,
Dado un grafo G=(V,E) se llama contracción elemental de G al grafo que se obtiene borrando una arista {vi, vj} de E, reemplazando cada aparición de vi y de vj por un nuevo símbolo w, borrando vi y vj de V y añadiendo w a V. Se dice que G es contráctil a G’ si G’ puede obtenerse a partir de G mediante una serie d contracciones elementales.
Teorema de Kuratowski. Un grafo es plano si y sólo si ninguno de sus subgrafos es contráctil al pentágono comleto o a K3,3.
Figura 9: Kuratowski
Un polígono es un grafo constituido por un ciclo. Un grafo poligonal es un grafo plano definido recursivamente como sigue:
- un polígono es un grafo poligonal.
- dado G=(V,E) poligonal y un camino propio α=vv 1 …vr-1w sin cruces sobre G y con v,w vértices de V pero los demás vértices no están en V, entonces el grafo V+ α es un grafo poligonal.
Se admiten multigrados a la hora de construir grafos poligonales. Dado un grafo poligonal G, se llama cara del grafo a cada una de las regiones del plano, incluida la exterior, en que queda dividido cualquier dibujo sin cruces del grafo. La cara exterior se llama cara infinita. Se llama ciclo maximal del grafo poligonal al poligono periférico del grafo que contiene a todas las caras excepto a la exterior.
Teorema de la matriz de adyacencias. Sea G un grafo dirigido con n vértices y sea A su matriz de adyacencias. La entrada (i,j) de Ak^ (k=1,2,…,n) es el número de caminos dirigidos de longitud k de vi a vj.
Un problema interesante es el siguiente: dado un grafo no dirigido G, ¿puede transformarse en un grafo dirigido conexo? , esto es, adjuntando flechas a cada arista de G, obtener un grafo dirigido donde cada vértice está conectado a cualquier otro vértice mediante un camino dirigido.
Teorema del grafo dirigido conexo. Un grafo G puede convertirse en un grafo dirigido conexo si y sólo si G es conexo y no tiene aristas separadas.
Demostración : Damos un algoritmo que hace la transformación.
- Sea V 1 ={v 1 }. Poner i=1.
- Sea Gi el grafo G con todas las flechas adjuntadas en operaciones precedentes (ninguna si n=1). Si Vi=V, adjuntamos flechas a todas aquellas aristas en Gi para las cuales no hay flecha. Al resultado le llamamos G’. En caso contrario
- Sea {vi0, vil} cualquier arista de Gi. Encontramos un camino vi0, vil,…, vil con los vil,…, vil-1 en Vi. Adjuntamos flechas de manera que vi0, vil,…, vil sea un camino dirigido. Además, Gi+1= Gi + las flechas adjuntadas y sea Vi+1=V∪Vi.
- Incrementar i en 1 y volver al paso 2.
Figura 10: grafo dirigido conexo
Un grafo dirigido completo es un grafo no dirigido completo con una flecha adjuntada a cada arista. También se llama torneo.
Un camino generador propio en un grafo dirigido es un camino dirigido que encuentra cada vértice del grafo exactamente una vez.
Teorema de existencia de caminos generadores. Todo torneo tiene un camino generador propio.
