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Tipo: Ejercicios
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FACULTAD DE INGENIERIA
CURSO BASICO
GUIA DE PROBLEMAS PROPUESTOS
PRIMER PARCIAL
FUNCIONES
Cuales son relaciones y cuales funciones
(^1) 2 2 3 ⋅ y = 25 − 9 ⋅ x + 13 ⋅ y^5
2 2 y ⋅ x − 3 ⋅ y = 1^9
3 2 5 x x 2 x y e y
2
3 3 x + y − 3 a xy ⋅ = 0^6
2 2 2 2 2 2 ( ) 4
4 x + y + z − a ⋅ x = c 10
2 3 3
y y
x x
=
(^3) ( )
2 1 4
y x arcsen y
π = − − = 7
3 2 2 4 2
y x y e x In 6 e
(^11) x + y = 2
4
1 cos
r θ
(^8) ( )
2
2 Para las funciones siguientes hallar su dominio
( )
2
x x (^) x y In
x x
y x
x
11
x y arcsen In e
2
x y
x x
x y In x
12
2
2
x x y
x
2
2
x x y x (^) x
x
8 y^ =^ sen^ ( 2 x^ ) cos 2( x )^13 y^ =^ lg^ (2 x −9)(^ x −^ 4)^ −^1
(^4) ( ( + ))
2 y = In arcse x + 6 x (^9) 9 ( ) y = In 2 (^) x − 9 x − 4 − 1 14 ( ) ( ) y = sen 2 x + sen 3 x
5 4 1 3 2
9
7 8 8
lg lg lg 27
x x y
x
2
y log log log x
15 y = senx ⋅ cos x
16
( )
2
x y
x x
− (^) Rpta:
17
x y arcsen x
Rpta:
18 y^ =^ arcsen^ ( 1 −^ x )^ +^ In In x ( ( )) Rpta:^ ]1, 2 ]
19
2 2
2
x y x x
x x
Rpta: (^) [ 2,5[
2 y = 1 − 4 − x
Rpta: ⎡^ −2, − 3 ⎤^ ⎡ 3, 2 ⎣ ⎦ ⎣
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSO BASICO
6
3 2
2
x x y
x
13 3 2
y
x x x
20
2
2 1
x y
x
(^7) ( )
2 2 4 y x − 25 = x + (^3) 14
x y x
21
3
x y x
FUNCIONES ESPECIALES
Determinar el dominio
1
x
x f
x x
Rpta: (^) ] [
2
x
x f x
Rpta: (^) ]1, ∞[
3
x
x f
x
Rpta: (^) ] −1,1[
x
x x x f
x x x
− − + − x
Rpta: x ∈ Z
5
( )
( )
2 2
(^4 ) ( ) 4
3 sgn 16
x
x x sgx x
f x
x x
Rpta: (^) ] −∞ −, (^4) ] U] 4,∞[
6
( )
(^3 ) (^4 ) ( ) 4
3 2sgn 16
x
x x f x
x x
Rpta: (^) ] −∞ −, (^5) [ U (^) [ 2, ∞[ U{ − (^2) }
7
2 3 ( ) (^4 )
x
x f x x
x
Rpta:
3 3 ⎡1, 2 ⎡ ⎡ (^) 2, 3 ⎡ ⎣ ⎣ ⎣ ⎣
8
( )
( )
5 2 3
( ) 2
3 sgn 32 1 1
2 sgn
x
x x x x f
x x
(^9) ( )
es par
6 es impar
x
x x x
f x x x
( )
2
( ) 2
sgn 1
x
x x f x x x
Analizar el dominio, el rango y trazar la grafica de las siguientes funciones
1
y = x + x 23 y^ =^ x +^1
2
2 f ( ) x = 2 − 3 − x − 1 + (^6) 24
2 f ( ) x = 4 − 7 − x + 4
(^3) ( ) (
2 2 y = sgn x − 4 x − sgn x + 2 x (^) ) 25
sgn 1 2
x y x x
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSO BASICO
4
sgn 2
x y x x
26
2 y = 2 x − 8 x + 5
(^5) ( )
2 y = 1 + 2 x + 1 − sgn x − (^1) 27 y = x + x + 1
6
2 y = 4 − 5 − x − 1 + (^2) (^28) ( ) [ ]
2 y = x − 4 2 x + 3 ∧ x ∈ −3,
7
( )
2 sgn 1 2
x
x x x
f x x
8
y 1 x x x ; x 1 x x
sgn 2
x y x x
(^9) ( )
2 f (^) ( ) x = 1 + 2 x + 1 − sgn x − (^1) 31 x = y + 2 − 1
(^10) ( ) x
x x f x x
32
( )
x
x x x f
x x x
− − + − x
(^11) ( ) [^ ]
x 4, 4
x f x x x
33
2 ( )
9 sgn 1 3
x
x x f x x x
(^12) ( )
x
x x f x x
34 ,^ [ 2, 2] 2 2
y sen x sen x x
(^13) ( ) x
x x f x x
35 ( )
x
x f x
14
x x x
y x x x
x
f x x x
15
( )
2
sgn
x x y
x x
37
sgn 3 2 2sgn 9 1 2 1 3
x x y x x x x
16
2 1 2
x e x x
y x
−
=
38
3 2 2 sgn sgn 4 3 1
x^ x^ x y x x
17
f −
si
x x y
x x
x
f sen x sen x
en (^) [ −2, 2]
18
3 sgn 1 sgn 9 2 1
x x y x x
40
( )
( )
sgn 3 2 4 1
x x x x y
x sgx x x x
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSO BASICO
6. Hallar ( f + g )( ) (^) x si ( ) ( )
sgn 2 1 3 x
f = x − x − − x − y (^) [ ] ( )
x
g = x ⋅ x − ∧ x ∈ −,
7. Hallar ( f + g )( ) (^) x si (^) ( ) y
x
x x
f x x
x
( )
x
x x
g x x
x
8. Hallar ( f ⋅ g )( ) (^) x si
] ]
] [
( )
x
x x f x
y
[ ]
( ) [ ]
( )
sgn 2 0, 4
x
x g
x x
9. Hallar ( )
x
f + g si
2
( )
x
x x x f
x x x
( ) (^2)
x
x x
g
x x x
y
10. Hallar ( f + g )( ) (^) x y graficar cada una de las funciones
[ [
[ [
( )
x
x g x
y
2 f ( ) (^) x = − x + 4 x − 2
11. Hallar ( f + g )( ) (^) x si
( (^ ))
2 2
2
( ) (^2)
2
4
sgn 16 3 4
x
x x x x
x f x
x
x x x
y
2 ( )
x
x x x
g x x
x x x x
12. Hallar ( f + g )( ) (^) x si
( )
( ) 2
sgn 1
x
x x
x x
f
x x
x x x
y
2
( )
x
x x x
x g x x
x x
13. Hallar ( f + g )( ) (^) x si
[ [
( )
( )
4 cos 0
x
x f x x
y
] [
( )
2
( )
x
x
g
sen x
Rpta.: (^) ( )
( ) [ [
2 1 5 2, 1
x
x
f g
14. Hallar ( f + g )( ) (^) x si (^) [
2 f ( ) (^) x = x − 6 x + x − 3 + x x ∈ 0 ,3] y g ( ) (^) x = x x − 6 x ∈ −] 2, 4]
)
(^6 3) [ 0,3] x
Rpta.: (^) ( f + g = x − x ∈
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSO BASICO
15. Hallar (^ f^ +^ g )( )^ x si f ( ) (^) x = x − 3 + x + 1 y
2 ( )
x
x x
g x x
x x
Rpta.: (^) ( )
2
x
x
f g x x
x
16. Hallar ( f + g )( ) (^) x si f ( ) (^) x = x + 3 + 2 x ; (^) ] −1,1[ y
] [
[ [
( ) 2
x
x
g
x x
Rpta.: (^) ( )
] [
( ) (^) [ [
2
x
x
f g
x
17. Hallar
x
x
g
y f
= si
( ) [ ]
] [
2
1 sgn 3 0, 6
x
x x
f
x
y
] [
] [
x
x g x x
Rpta.:
[ [
( ) ] ]
] [
x
x
x
x x g x
x
x
18. Hallar (^) ( )
y = f + g si
[ [
3 cos 0,
x
x f x
y
] [
[ ]
2
2
x
x g
Rpta.:
( ) [ [
( )
( ) ]^ ]
( )
2
2
2
2
2
x
x
sen x x
g
sen x
sen x
π
π
π
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSO BASICO
13. Hallar ( f o g )( x ) si: ( )
⎪ ⎩
2
x x
x x
f (^) x y (^) ( )
⎪ ⎩
⎧^3 x −^1 ; −^3 ≤ x
x x
g (^) x x
Rpta.: ( )( )
2
x x
x
x x
x x x
f o g x
( )
g o f si:
2 0
x
x x f
x x
y
x
x x g x x
14. Hallar
( )
2
2
x
x x
g f x x
x x
Rpta.: o
15. Hallar (^) ( )
g o f si:
2
3
x
x x f
x x
y
x
x x g x x
( )
2
3
2
x
x x
g f x x
x x
Rpta.: o
16. Hallar ( f o g )( x ) si:
( )
2
sgn 1 2
x
x x x x f
x x
y
( )
4sgn 3 4
x
x x
x g x x
x x x
17. Hallar si: y
Rpta.:
18. Hallar
( f o g )( x ) ( )
⎩
2 x x
x x f (^) x ( )
⎩
2
x x
x x g (^) x
( )
4
2
x
x x
f g x x
x x x
o
( )
1 1
x
f g g
− − ⋅ o si:
( )
2
sgn 9
x
x x
x x f
x x x
y
2
2
x
x g
x
en (^) [ 0,1[ U[ 4, ∞[
Rpta.: [ 0,1[ U[ 5, ∞[
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSO BASICO
19. Hallar (^) ( )
g o f si:
4
3
x
x x f
x x
y
x
x g x
Rpta.: ⎤^ 0, 5 ⎡^ ⎤^ 6, ∞ ⎡−{ (^19) } ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
( )
f o g si:
2
x
x x g
x x
y
x
x f
x
Rpta.:
20. Hallar
{ }
3 3 3 ⎡ (^) −4, − 2 ⎡ ⎤1, 4 ⎡ ⎤ (^) 5, ∞⎡ − ±8, ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
h si:^
2
2
x
x x f
x x
, (^) ] ] ] ]
2 4 4 , 4 0, x
g = x − − ∧ −∞ − U y (^) ( )
21. Hallar f = h o g
f ∧ g si cumple
x
h f g f x
22. Hallar^ o 23. Demostrar que si (^) ( )
x
f (^) x −
( ) f o f o f o f o f o f o f ( x ) = f ( x ) se cumple
24. Si (^) ( ) 2 1 x
x f (^) x =
y g (^) ( x ) = ( f ( f (..... f ( x )))), n veces la composición hallar g (^) ( x ) Rpta.: ( ) 2 1 nx
x g (^) x =
25. Dada la función (^) ( )
2 1
2 1 −
x
x f (^) x , calcular: ( )( 5 )
1
− f o f x ( )( 5 ) 5
1
− Rpta.: f o f x x
26. Si , hallar el valor de a para que se cumpla: 2 = (^) a + 2 a
f (^) ( x ) = 3 x + 2 a f f Rpta.:
− 1
a = a =− 1
7. Si (^) ( ) 2 3 y , hallar el valor de a si:
2 f (^) x − 1 = x − x + g (^) ( x ) = x − a ( f o g )( 2 ) = ( g o f )( a + 1 ) Rpta.: 5
2 a =
28. Expresar la función, como la composición de tres funciones
2 2 2
2
y x x
x
29. Hallar si existe. ( g o f ) (^) ( ) x , donde
] ]
[ [
( )
x
x x
f
x x
y
] ]
[ ]
( ) (^2)
x
x x
g
x x
( g o f ) (^) ( ) x y su dominio, donde : (^) ( ) 3
x
x x
g
x x
y (^) ( ) 2
x
x f
x
30. Hallar si existe.
ROPIEDADES Y TIPOS DE FUNCIONES
)
P
1. Si g es una función que cumple g (^) ( x + y )= x + g ( y y g ( (^) 0 ) = 1 , hallar g ( (^) 1000 ) Rpta.: g ( 1000 ) = 1001 2. Hallar la función de primer grado tal que: f (^) ( ) 1 = 3 , f (^) ( ) 3 = 5 Rpta.: f (^) ( x ) = x + 2
3. Determínese la función cuadrática tal que: f (^) ( − 1 ) = 3 , f (^) ( 2 ) = 0 , f ( (^) 4 ) = 28 Rpta.: (^) ( ) 3 4 4
2 f (^) x = x − x −
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSO BASICO
16. Hallar la grafica de lg^ a
x (^) si: y
a
a
lg ( ) lg ( ) 0
lg ( ) lg ( ) lg ( ) 0
a a
a a x a
x x
x
x
17. Demostrar que cualquier función se puede expresar como la suma de dos funciones, de las cuales una
es par y la otra impar.
18. Expresar las funciones como la suma de una función par y otra impar
a) y^ =^ x −^1 b) y^ =^ sen x ( +^1 ) c) (^) ( )
3 2 y = sen x + x d)
2
2
x y
x
e)
x y e
19. Dado k ∈ −] 3, 2 (^) ]y f (^) ( x (^) ) = x − 1 + 1 , hallar f (^) ( k (^) )y construir su grafica. 20. En un circuito el voltaje disminuye de acuerdo con la ley lineal, en un principio la tensión es de 12
voltios y al final del experimento que duro 8 segundos es de 6.4 voltios, expresar el voltaje en función del
tiempo.
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Hallar el dominio de las funciones:
a)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
cos 2 cos 3 cos 4
x x x y sen x sen x sen x
Rpta: / 3
x IR n Z
b)
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 3cos 2
cos 2 3 2
sen x x y
x sen x
Rpta: (^) ( 6 1 ) , 6( 1 ) 12 12
k k k
c)
cos 4 4
cos 4 4
sen x x
y
sen x x
Rpta: ⎡ (^) ( 4 k + 1 , 4) ( k + (^3) )⎡ ∧ k ∈ ⎣ ⎣
d) y = ⎡sec (^) ( x ) (^) − cos (^) ( x ) (^) ⎤ ⎡csc (^) ( x (^) ) − sen x ( (^) ) ⎤ ⎡ tg x ( (^) ) − ctg x ( ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
Rpta: (^) ( 8 1 ) , 4( 1 ) 4 2
k k k
e)
( (^ ))
( (^ ))
csc sec
sec sec
x y x
= Rpta: (^) ( 2 1 ) 2
x k k Z
Hallar el rango de las funciones
a) y = csc (^) ( x ) + csc( x (^) ) Rpta: ⎡^ 2, ∞ ⎡+{ } 0 ⎣ ⎣
b)
( ) ( )
( ) ( )
2
2
csc
csc
sen x x y
sen x x
Rpta: (^) ] −∞, 0 (^) ] − −{ 1 }
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSO BASICO
c) y = tg (^) ( x ctg ) (^) ( 3 x ) Rpta:
d) (^) ( ) sec (^) ( ) ( )
2 2
x y sen x x tg x tg
⎟ Rpta:^ ]^ −1,1[
e)
( )
( )
2
2
sec 2
2 csc
x y
x
Rpta: IR − (^) ]1, ∞[
Encontrar el periodo de las siguientes funciones
a) y^ =^ cos( nx^ ) Rpta.:^
n
= (^) g) y =^ sen( ω 0 x^ ) Rpta.:
b)
( )
( )
( )
cos 2 2
sen x y x sen x
= + Rpta: 2
= (^) h)
2 x y sen k
Rpta.: T = k
c) ( )
y sen x ctg x tg x
Rpta: 2 3
= (^) i)
cos(2 ) 4
sen x y x
d) ( ) 3 5
x x y sen x sen sen
x x y se
n
e)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
cos cos 3 cos 5
sen x sen x sen x y x x x
tg x tg x tg x y tg x tg x
f) y^ =^ co s( sen x ( )) cos cos( ( x^ )) Rpta:^
2
= (^) l) y = 2 x − 2 x
Analizar y graficar las siguientes funciones:
a) (^) ( ) ( ( ))
2 f (^) x = 10 cos 2 x g) y^ =^ tg^ ( x^ ) −^ ctg^ ( x^ ) +^ tg^ ( x^ ) + ctg^ ( x )
b) (^) ( ) ⎟
⎠
−
4
3 cos 50
f e x
x x h)^ y^ =^ sen x (^^ )^ +^ cos^ (^ x )^^ +^ sen x (^^ )^ +^ cos^ (^ x )−^1
c) (^) ( ) 2
2
1 cos (^2) ⎟+
⎠
f (^) x x i) y^ =^ sen^ ( 2 x^ ) +cos 2( x )
d)
( )
( )
( )
( )
3 cos 3
cos
sen x x y sen x x
= + (^) j) y = − ⎡ x −sec (^) ( x ) ⎤cos( ⎣ ⎦ )
x
e)
2 2 cos 4
y x x
k) y^ =^ x^ + sen x ( )
f)
( )
cos( ) 0 ( ) 0
x x f x sen x x
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSO BASICO
14 Hallar
1 f ( ) x
− y graficar si
2 4 2
x x
f x x x
x x
Rpta.:
] [
] ]
] ]
1 2
x
f x x
x
−
15 Hallar
1 f ( ) x
− y graficar si ] [ ]
2 2 2 -3 2
x x x
f x x
x
[
Rpta:
] [ ]
x x
f x x
x
U (^) [
16 Hallar
1 f ( ) x
− y graficar si
2
2
( 1)
4
2
lg ( 1) 3 13
x
x x
f x x
x x x
−
17 Hallar
1 f ( ) x
− y graficar si
[ ]
] ]
] [
2
2
x
x
f x
x x
18 Hallar
1 f ( ) x
− y graficar si
[ [
[ ]
] ]
2
2
2
x
x
f x x
x
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSO BASICO
GUIA DE PROBLEMAS PROPUESTOS
PRIMER PARCIAL
LÍMITES
LIMITES POR DEFINICION (Demostrar mediante la definición de límite)
1 (^ ) 4
lim 2 1 9 x
x →
15 (^ ) 3
lim 7 3 2 x
x →
(^29) 1
2
lim 2 5 5 x
x
→−
2
2
3
lim 2 3 1 10 x
x x →
− + = (^) 16 ( )
3
0
lim 1 1 x
x →
2
0
lim 1 1 x^2
x
→
3
3 2
5
lim 2 140
x
x x x
→
5
4
lim 9 1 x
x
x →−
2
2 4
lim 2 x 4
x
→ x x
4
2
2 2
lim x 3 8 4 4
x x 7
→ x x
18
lim 3 x 6 5
x
32
2
1
lim 1 x 1
x
→− x
5 7
lim x 9 60 3
x
→ x
19 6
lim 2 x 3
x
→ x
33 4
lim x → 2 x^4
6 1
lim 1 0 x
x →−
20 5
lim 5 5 10 x
x →
5
lim 5 5 10 x
x →
7
2
1
lim 4 3 x
x →
9
lim x → x 3 2
(^35) 1
2
lim 4 2 x
x
→
8
(^3 )
2
lim x^3
x
→
22 1
lim 2 x
x
→ x
1
lim 3 1 x → x
9 2 2
lim 1
x 3
x x
→ x x
23 2
lim 5 x^2
x
→ x^ x
37 1 4
lim x^2
x x →
10
( )
2
3
sgn 1 1 lim x^4
x
→ x
(^24) 1
4
lim 2 x
x x
→
38 2 2
lim x 3 2 3
x x
→ x x
(^11) 3
2
lim 1
x
x
x x →
1
lim x^5 1
x
→ x
39
( )
2 1
sgn lim 1
13 1
x
x x x
x
→−
12 2
lim 4 x 2 2
x
→ x
26 (^ ) 0
lim 2 cos 1 x
x →
( )
0
1 cos lim 0 x
x
→ x
13 2 0
lim 0 x 1
x
→ (^) sen x
27
( )
2
lim 1 0
x
sen x π →
41
lim 3 x 3 2
x
→∞ x
14
3 2
3
lim 4 x 4 3 2
x x
→∞ x x
28
lim 1 x^1
x
→∞ x
42 2 2
lim
x (^) x 4
→
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSO BASICO
17
( )
2 1
x 1 log
L im → x x
l Rpta.: L = ∃
18
( ) (
( )( )
)
1
b a
x a^ b
a x b x
L im → x x
l Rpta.: 2
a b L
19
( )
( )
2 1
2 1
a a
x
ax a x x L im
x
→
l Rpta.:
( 1 )
a a L
20
( ) ( )
2 0
lim
n m
x
mx nx
→ x
Rpta.:
( )
mn n m L
21
1
lim ( )
1 1
m x
m n
n → (^) x x
Rpta.: 2
m n L
22
( )
1
1 1
lim
1
n n
p p x
nx n x
x x x
→
Rpta.:
( 1 )
n n L p
23
( ) (^ )
( )
1
2
n n n
x a
x a na x a
L im
x a
−
→
l Rpta.:
( )
2
n
n n L
a
−
24
( ) ( )
3 2
3 2 1
x 2 1 2
x x x L im →− x n x n x n
l Rpta.:
n
25
( )
4
2 2
x 2
x L im
→ x x
l Rpta.:
26
4
5 1
x 4 3
x x L im → x x
l Rpta.: L = 10
27
( ) ( )
2
2 2 1
x 1
x L im → ax a x
l Rpta.: 2
a
CALCULO DE LÍMITES CON RADICALES (calcular los siguientes limites con radicales)
1
3
27 3 −
→ (^) x
x L im x
l Rpta.: 8
2 4
→ (^) x
x L im x
l Rpta.: 24
3
3
8
x^8
x L im → x
l
Rpta.:
4
(^4 4 )
2 0
x
x x L im
→ x
= l Rpta.:
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSO BASICO
5 3 1
x (^1 )
L im → x (^) x
l (^) ⎟ Rpta.:
6
2
2 2
n
m x
x x L im → x x
l
Rpta.: 6
m L n
7 x
x a b a b L im x
→ 0
l Rpta.: a b
8
2 2
2 3
x 4 3
x x x x L im → x x
l Rpta.:
9
( )
(^3 2 )
2 8
x 8
x x L im → x
l Rpta.:
10
4
205
x 12 2
x L im → x
l
Rpta.: L = 5
11
(^3 )
3
x 3
x x L im → x
l Rpta.:
12
5 3
x 1 3 1
x L im → x
l Rpta.: L = − 3
13
2
5 x (^0 1 5 )
x L im
→ x x
l (^) Rpta.:
14
2
3 2 3
x
x x x L im
x x
x
→
l Rpta.: L^ =^ −^69
15
4 3
1
x^1
x x x L im → x
l Rpta.:
16
( )
( )
1
1 2
lim
1
n
x
x n x L
x
→
n Rpta.:
( 1 )
n n L
17
( ) (^ )
( )
1
2
lim
n n n
x a
x a na x a
L
x a
−
→
Rpta.:
( 1 ) (^2)
n n n L a
18
1
n
m x
x L im
→ x
l (^) Rpta.:
m L n
19 x
x x L im
m n
x
→
0
l Rpta.: m n
α β = −
