guia mate conjuntos numericos , Apuntes de Matemáticas

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b) Resumen del uso de enteros y del orden

1. ¿Qué significa que hay una temperatura de 22 º?
2. ¿Qué significa que el buzo está a  15 metros?
3. ¿Cómo puede indicar con un número entero que en este momento hay 11 º C bajo cero?
4. ¿Cómo indica con un número entero que en la Antártica hay 5 grados Celsius bajo cero?
5. ¿Cómo escribe con un entero que el mar hay un submarino que está a 1300 metros de la superficie?
6. Alejandro Magno gobernó Macedonia des e año 336 antes de Cristo, escriba el año con números enteros.
7. Ordena los siguientes números de menor a mayor: a) - 3, 7, - 9, 6, 17, - 4 y 3. b) 0, 3, - 25, - 7, 127 y - 201. c) -17, - 27, -120, - 1000, 0 y 120.
8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A. 2 < 5 B. – 3 < 5 C. – 3 < – 4 D. – 3 < 0
9. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A. – 6 es sucesor de – 4 B. – 6 es antecesor de – 4 C. – 6 es sucesor de – 5 D. – 6 es antecesor de – 5

Respuestas

1. Que hay 22 º bajo cero. 2. Que está a 15 metros de profundidad, bajo el nivel del mar? 3. – 11 º C 4. – 5 º C 5. – 1300 metros 6. año – 336. 7. Ordena los siguientes números de menor a mayor: a) – 9 < – 4 < – 3 < 3 < 6 < 7 < 17 b) – 201 < – 25 < – 7 < 0 < 3 < 127 c) – 1000 < – 120 < v 27 < – 17 < 0 < 120. 8. C 9. D

c) Operatoria con números enteros.

Previamente recordaremos lo que es el valor absoluto de un entero.

Valor absoluto Geométricamente el valor absoluto de un número corresponde a la distancia que hay entre el número y el cero en la recta numérica.

Notación El valor absoluto del número a se denota a.

Observa la recta numérica:

Los números  3 y 3, ambos, están a tres unidades del cero. Por lo tanto,  3  3  3

Ejercicios 2

Calcule las siguientes sumas:

1. (  22 )  (  8 ) 
2. 22  (  8 ) 
3. (  17 )  (  8 ) 
4. (  17 )  78 
5. (  17 )  78  (  61 ) 
6. (  171 )  78  (  77 )  49 
7. La temperatura inicial fue de – 7° C y descendió 17°, ¿cuál fue la temperatura final?
8. Si tres números enteros consecutivos suman cero. ¿Cuáles son los números?
9. ¿Cuál es el promedio entre el antecesor de – 16 y el sucesor de – 16?
10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? Explique. A. – 3 y 3 son números opuestos. B. Si se suman dos números negativos el resultado es un número negativo. C. La distancia de – 5 al 0 es mayor que la distancia del 2 al 0. D. Al sumar un número positivo con un número negativo el resultado es siempre negativo.
11. Un frigorífico tiene una temperatura de 30º C bajo cero. Debido a un corte de luz, la temperatura subió 35º C. y, luego de una pronta solución al problema, se pudo bajar provisoriamente en 17º C. a) ¿Cuál es la temperatura después del corte de luz? b) ¿Cuál es la temperatura después de la solución al problema del corte de luz?
12. Si un minero trabaja a – 27 metros, en el interior de una mina, ¿cuántos metros deberá subir para llegar a la entrada de la mina que está a nivel del mar?
13. Dos mineros descendieron al interior de una mina. Uno trabaja en el primer corredor subterráneo que está a – 19 metros, es decir, a 19 metros de profundidad y el otro minero trabaja en el segundo corredor subterráneo que está 15 metros más abajo que el primer corredor. ¿A qué profundidad trabaja el segundo minero?

Respuestas

1. – 30 2. 14 3. – 25 4. 61 5. 0 6. – 121 7. – 24 8. – 1, 0 y 1 9. – 16 10. D 11. a) 5º C b) – 12º C 12. 27 metros 13. – 34 metros

La sustracción de números enteros

La sustracción de los entero b menos c, b  c, es igual a a b más el inverso aditivo de c.

Esto es: b  c  b  (  c)

Por lo tanto, la sustracción b-c es una notación para la suma de b más su inverso aditivo.

Ejemplos:

1. 2  (  3 )  2  3 , porque el inverso aditivo de  3 es 3.
2.  225  7  225  (  7 ) , porque el inverso aditivo de 7 es 7.
3.  317  (  17 )  317 `  17 , porque el inverso aditivo de  17 es 17.

NOTA:

Para calcular el resultado se aplican las reglas de la adición.

1. 3  3  5 2) 225  (  7 )  ( 225  7 ) 3) 317 `  17  ( 317  17 )

Ejercicios 3

Realiza las siguientes sustracciones:

1.  1  (  3 )  2. 12  11  3. (^) 13  (  11 )  4. (^)  15  77 . 5.  31  (  17 )  6. 530  (  11 )  7. 0  (  11 )  8. 0  111 

Respuestas

1. 2 2. 1 3. 24 4. – 92 5. – 14 6. 541 7. 11 8. – 111

Ejercicios combinados

Nota importante: Antes de resolver el ejercicio coloque paréntesis para indicar la prioridad de la operación multiplicación o división, según se muestra en el ejercicio siguiente:

Ejemplo Calcule: 12  7  3  24 :(  4 )  12  ( 7  3 )  ( 24 :(  4 ))

Solución:

Nota: Siempre se realizan primero las operaciones que están dentro de los paréntesis.

Ejercicios 5

Resuelva:

1. 15  7  (  3 )  2. 15  7  (  3 )  9  3. (^) 15  67  (  3 )  4. 15  6  18 :(  3 ) 

Respuestas

1. 36 2. 27 3. – 186 4. 15 5. 30 6. 14 7. – 182 8. – 336.

d ) Problemas con números enteros

1. Marcela y Matías se entretienen con un juego que ellos inventaron y en el cual hay dos posibilidades cada vez que tiran el par de dados: o bien, obtener 12 puntos a favor, o bien, 3 puntos en contra, esto es: – 3 puntos. Si Marcela obtuvo: 12, – 3, 12 y 12 puntos y Matías obtuvo: – 3, 12, – 3 y 12 puntos, ¿quién obtuvo mayor puntuación? 2. En la Antártica, en la mañana se registró una temperatura de – 9º C. Si durante la tarde, la temperatura aumentó 10 grados y ésa fue la máxima del día, ¿cuál fue la temperatura máxima ese día? 3. Margarita rindió un prueba de matemáticas y contestó 19 preguntas bien y 11 preguntas en forma incorrecta. ¿Qué puntaje obtuvo Margarita, si a cada pregunta buena se le asignaron 10 puntos y a cada pregunta mala, – 3 puntos? 4. Un edificio de consultas médicas tiene tres niveles de estacionamientos subterráneos: subterráneos – 1, – 2 y – 3; 11 pisos para consultas médicas, pisos del 1 al 11 y, además, del piso de la recepción que está al nivel de la calle. Si José estacionó su vehículo en el subterráneos – 3 y el médico que lo atendería tenía su oficina en el piso 10, ¿cuántos pisos debió subir José para llegar a la consulta? 5. Claudio tiene en su cuenta bancaria un saldo negativo de $270.000, esto es, tiene

• $270.000. Si esta deuda debe pagarla en 9 cuotas y sin intereses, ¿cuál será el monto de cada cuota?

Respuestas

1. Marcela 2. 1º C 3. 157 puntos 4. 13 pisos 5. $30..

Ejercicios del uso de decimales y del orden

1. En la Antártica tuvieron las siguientes temperaturas mínimas en los últimos cinco días:
   • 3º C, – 7º C, – 4º C, – 6º C y – 3º C. ¿Cuál fue el promedio de las temperaturas mínimas?
2. Andrea pasó a la tienda de productos naturales y compró (^) 41 kilo de nueces, 0, 2 kilos de almendras y 0,75 kilos de maní. Ordena los productos que compró de acuerdo con la cantidad que compró.
3. Ordena las siguientes números de menor a mayor: a) – 0,23 – 0,025, 0 0,27 – 2,05 – 3 – 3, b) 13,57 2,75 0 – 13,57 – 2, c) 0,25 – 0,10 – 0,01 – 0, 025 – 0,
4. Dos amigos comparan sus alturas, uno de ellos, Alberto, mide 1,63 m mientras que el otro mide 1,57 m ¿Quién de los dos es más alto?
5. María y Carolina, salieron en bicicleta. Carolina recorrió 3,25 kilómetros y María, 3, kilómetros. ¿Quién recorrió menos kilómetros?
6. Ayer quería comprar mandarinas y tenía $1500, pasé por dos locales en que vendían mandarinas, en el primero me daban 1,7 kilos por los $1500 y en el segundo, me daban 1,45 kilos por los $1500. ¿Dónde me conviene comprar y por qué?

Respuestas

1. – 3,4 º C 2. almendras, nueces y maní. 3. a) – 3,27 < – 2,05 < – 0,23 < – 0,025 < 0 < 0, 3. b) – 13,57 < – 2,75 < 0 < 2,75 < 13,57 3.c ) – 0,1 < – 0,0 5 < – 0, 025 < – 0,01 < 0, 4. Alberto 5. María 6. En el primer local , porque recibirá más kilos..

b) Operatoria con números decimales

Ejercicios 1

Realiza las siguientes adiciones:

Respuestas

1. 7,8 2. 0,35 3. 13 4. 4,35 5. – 124,75 6. – 0,

Ejercicios 2

Realiza las siguientes sustracciones:

1. 19 , 43  7 , 93 
2. 15 , 6  19 , 98 
3. 17 , 77  3 , 57 
4. 233 , 95  ( 27 , 45  17 , 55 ) 
5. (  2 , 73  37 , 25 )  3 

Respuestas

1. 11,5 2. – 4,38 3. 14,2 4. 224,05 5. – 42,

Ejercicios 3

Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones

1. 17 , 25  7  2. 17 , 25  7 , 22  3. 9 , 85  (  5 , 01 )  4. 3 , 975 : 3  5. 18 : 0 , 03  6. 18 , 36 : 0 , 03  7. 18 , 36 :(  0 , 03 )  8. (  18 , 36 ):(  0 , 03 )  9. (  18 , 36 ): 0 , 03 

PRIMER CICLO DE EDUCACIÓN MEDIA

EJE: DATOS Y PROBABILIDADES

III. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN.

Cuando se tiene un gran conjunto de datos es preciso ordenarlos y clasificarlos para poder obtener información de ellos.

Para ordenar y presentar datos de una variable se usan tablas y gráficos. Tablas de frecuencias: son tablas donde se colocan los diferentes valores que puede tomar una variable y las frecuencias con que aparecen dichos valores en el conjunto de datos.

Tablas de doble entrada: son tablas donde se clasifican según dos criterios los elementos de una muestra.

Ejemplo 1:

En un curso de 42 alumnos, 20 son hombres y 22 son mujeres. En la prueba de matemáticas, 13 hombres y 16 mujeres sacaron nota 4 o más; 5 hombres y 4 mujeres obtuvieron nota inferior a 4 y 2 hombres y 2 mujeres no asistieron a la prueba. Estos datos los podemos presentar en la siguiente tabla de doble entrada, donde los alumnos del curso se clasifican según los criterios sexo y nota:

Hombres Mujeres Nota 4 o más 13 16 Nota inferior a 4 5 4 Ausentes 2 2

Para facilitar algunos cálculos podemos agregar una columna a la izquierda de la tabla con los totales de alumnos que estuvieron en cada categoría de notas. Bajo la tabla podemos agregar una fila con los totales de hombres y mujeres en el curso:

Hombres Mujeres Total Nota 4 o más 13 16 29 Nota inferior a 4 5 4 9 Ausentes 2 2 4 Total 20 22 42

Ahora podemos responder algunas preguntas:

a) ¿Cuántas personas obtuvieron nota 4 o más? ¿A qué porcentaje corresponde? 29 de las 42 personas obtuvieron nota 4 o más, lo que corresponde a un 69,05% de los alumnos.

b) ¿Qué porcentaje de las mujeres obtuvo nota inferior a 4? Debemos calcular qué porcentaje es 4 de 22. Luego, un 18,18% de las mujeres obtuvo nota inferior a 4.

c) ¿Qué porcentaje de los alumnos que tuvieron nota 4 o más son mujeres? De las 29 personas que obtuvieron nota 4 o más, 16 son mujeres, lo que corresponde a un 55,17%.

Gráficos de barras múltiples: cuando queremos presentar gráficamente datos que están clasificados según dos criterios, podemos usar un gráfico de barras múltiples.

Ejemplo 2: Podemos presentar los datos del ejercicio anterior en el siguiente gráfico:

Como se ve en el gráfico, el sector correspondiente a la categoría “”Buena” ocupa un 50% del círculo, el sector de la categoría “Muy buena” ocupa un 30% del círculo y el sector de “Mala”, ocupa el 20%.

IV. INDICADORES ESTADÍSTICOS

También, es conveniente, cuando se tiene una gran conjunto de datos, resumirlos mediante alguna medida o indicador que los represente. En esta ocasión estudiaremos algunos de los indicadores llamados de tendencia central y de posición. Entre ellos nombraremos a la moda, la media, la mediana, los deciles y los percentiles.

La moda de un conjunto de datos es aquel valor que aparece con mayor frecuencia (que más se repite). En un conjunto de datos puede haber una moda, dos modas (si son dos los valores con mayor frecuencia) o puede no haber moda.

La media o promedio o media aritmética de un conjunto de datos (numéricos) se obtiene sumando los datos y dividiendo la suma por el número total de datos. El símbolo usado

habitualmente para representar a la media es X (X barra).

Si los datos aparecen en una tabla de frecuencias, la media se obtiene multiplicando cada valor de la variable por su frecuencia para luego sumar estos productos y dividir la suma por n.

La mediana de un conjunto de datos es aquel valor que queda en el centro una

vez ordenados los datos de menor a mayor.

 Si el número de datos, n, es impar, la mediana es el dato que ocupa el lugar

n  1 una vez ordenados los datos de menor a mayor.

 Si el número de datos, n, es par, la mediana será el promedio entre los datos que ocupan los lugares

^ n y 1

^ n  una vez ordenados los datos de menor a mayor.

Los percentiles: son valores que dividen al conjunto de datos (después de ordenarlos de menor a mayor) en 100 grupos, todos con igual cantidad de datos. Hay 99 percentiles que llamamos P1, P2, …, P99. En el conjunto de datos ordenados, bajo P1 queda el 1% de los datos, bajo P2 queda un 2% de los datos,…,bajo P99 queda el 99% de los datos

Los deciles: son valores que dividen al conjunto de datos (después de ordenarlos de menor a mayor) en 10 grupos, todos con igual cantidad de datos. Los deciles son nueve y corresponden a los percentiles P10, P20, … , P90.

Ejemplo 4: Los siguientes datos corresponden a la respuesta a la pregunta ¿Cuánto dinero gastó su familia ayer en pan? Esta pregunta se realizó a 50 jefes de hogar de familias formadas por cuatro personas. Las respuestas se dan en $.

650 735 480 1050 825 770 0 540 650 735 1250 1000 240 950 990 470 585 890 965 1570 720 1690 1040 1355 920 1530 370 680 695 840 315 770 890 1650 430 955 670 1120 850 900 640 680 0 345 980 1030 180 895 375 1140

 La media de estos datos, es decir, el gasto promedio diario en pan de estas familias, es:

X ^650 ^735 .... 50 ^375 ^1140 ^4050.^000  800 O sea, en promedio las familias

gastaron $800 en pan al día.  Si queremos calcular la mediana, seguimos los siguientes pasos: