Análisis de Sistemas Hiperestáticos: Ejercicios Resueltos de Estructuras, Diapositivas de Calculo Dinamico de Estructuras

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10 – Hiperestáticos c

Ejercicios de aplicación

ESTRUCTURAS 1-FADU-UBA ARQ. ALICIA CISTERNAS

Resolución del Sistema Hiperestático de dos tramos:

1) Determinación de los pares de empotramiento

inicial:

Consideramos los momentos que provocarían las

cargas si el nudo 1 fuera un empotramiento perfecto.

Es como si claváramos el nudo y no lo dejáramos

girar.

11,7KN/m

24KN/m

72KN

4m

2.8m

2.8m

A

B

A

M

0

1A = 24KN/m x (4m)

2

M

0

1A = 48KNm

M

0

1A = 48KNm

Tramo 1A:

El signo del par es positivo a la derecha del tramo y negativo a la

izquierda. Una forma fácil de recordarlo es siguiendo la concavidad

de la deformación y apuntando hacia el nudo

Tramo 1B:

B

M

0

1B = - 3 x 72KN x5.6m/

M

0

1B = - 75.6KNm

M

0

1B = -11,7KN/m x (5,6m)

2

M

0

1B = - 45.86KNm

M

0

1B = - 75.6KNm - 45.86KNm

M

0

1B = - 121.46KNm

M

0

1B = - 121.46KNm

Vamos a la tabla de pares de empotramiento inicial y

obtenemos el par de empotramiento en el nudo 1A

que corresponde a una barra articulada - empotrada

con una carga uniformemente distribuida

A

B

M

0

1A = 48KNm

M

0

1B = - 121.46KNm

ESTRUCTURAS 1-FADU-UBA ARQ. ALICIA CISTERNAS

11,7KN/m

24KN/m

72KN

4m

2.8m

2.8m

A

B

A

B

M

0

1A = 48KNm

M

0

1B = - 121.46KNm

0.75KNm x q 1

M1A +M1B+ 0.75KNm x q 1 +0.54KNm x q 1 = 0

0.54KNm x q 1

48KNm – 121,46KNm + 1,29KNm x q 1 = 0

• 73,46KNm + 1,29KNm x q 1 = 0

q 1 = 73.46KNm = 56,

1.29KNm

3 ) Planteo de la ecuación en el nudo 1 para determinar el valor de q1 y pares finales

En el nudo 1

SM = 0

0.75KNm x q 1 = 0.75KNm x 56,95= 42,71KNm

0.54KNm x q 1 = 0.54KNm x 56,95= 30,75KNm

42,71KNm

30,75KNm

90,71KNm

• 90,71KNm

Pares Finales

Par desequilibrante -73,46KNm

ESTRUCTURAS 1-FADU-UBA ARQ. ALICIA CISTERNAS

4) Determinación de las Reacciones de Vínculo

Mb= 52.58 x 2.8 -11.7 x (2.8)

2

/2 =101.36KNm

Ma= 25.35x 1.06 -24 x (1.06)

2

/2 =13.44KNm

x = Ra / q = 25.35KN / 24 KN/m = 1.06m

6) Determinación d e los Momentos positivos en los tramos

13.44KNm

90.61KNm

101.36KNm

_

M

52.58KN

5) Diagramas de Características

11,7KN/m

24KN/m

72KN

A

B

90.61KNm

90.61KNm

4m

2.8m

2.8m

25.35KN

70.65KN

84.94KN

52,58KN

25,35KN

84,94KN

70,65KN

x=1.06m

_

_

V

52,18KN

19,82KN

ESTRUCTURAS 1-FADU-UBA ARQ. ALICIA CISTERNAS

1-A = 3 E.I = 3 = 3 (KNm

2

) = 0.67KNm

L 1 L 1 4,5m

2) Determinación de las rigideces angulares de las barras que concurren a un nudo

1-2 = 4 E.I = 4 = 4(KNm

2

) = 0.83 KNm

L 2 L 2 4.8m

m1-2 = m2-1 = 1-2 = 0.83KNm = 0.415KNm

Se suelta el nudo 1

Se suelta el nudo 2

Pares reactivos producidos por las rigideces

angulares de las barras que concurren al

NUDO 1

2-1 = 4 E.I = 4 = 4(KNm

2

) = 0.83 KNm

L 2 L 2 4.8m

m2-1 = 2-1 = 0.83KNm = 0.415KNm

Pares reactivos producidos por las rigideces

angulares de las barras que concurren al

NUDO 2

19,7 (pares desequilibrantes) 1,

1 2 B

A

101,3KNm

-80KNm

81,6KNm

• 81,6KNm

0,67KNm.q 1

0,83KNm.q 1

0,415KNm.q 1

A 1

2

1 2

B

2B = 0

Al ser un voladizo la rigidez angular de la

barra es cero (En B no hay apoyo)

0,83KNm.q 2

0,415KNm.q 2

0. q 2

1 2

B

2B. q 2

 21. q 2

m 21. q 2

ESTRUCTURAS 1-FADU-UBA ARQ. ALICIA CISTERNAS

3. Planteamos las ecuaciones en los nudos para determinar el valor de q1 y q 2

En el nudo 1

SM = 0

En el nudo 2

SM = 0

19.7KNm + 1.5KNm. q 1 + 0,415KNm.q 2 = 0

1.6KNm + 0,415KNm. q 1 + 0.83KNm.q 2 = 0

Mºu21 + Mºu 2B + m 21 .q 1 +  21 .q 2 + 2B.q 2 = 0

81.6KNm - 80KNm + 0,415KNm.q 1 + 0.83KNm.q 2 + 0 = 0

q 1 = -19.7KNm – 0,415KNm.q 2

1.5KNm

Despejamos q1 de la ecuación 1:

La reemplazamos en la ecuación 2 nos queda:

1,6KNm + 0,415KNm. (-19.7KNm - 0,415KNm.q 2 ) + 0.83KNm.q 2 = 0  1,6 + 0,277 (-19.7-0,415.q 2 ) + 0.83.q 2 = 0

1.5KNm

1,6KNm – 5,46KNM - 0,115KNm .q 2 + 0,83KNm .q 2 = 0  -3,86KNm + 0.715KNm .q 2 = 0  q 2 = 5,

Si q 1 = -19.7KNm - 0,415KNm.q 2 reemplazando q 2 q 1 = -19.7Nm - 0,415KNm (5.4)  q 1 = -14,

Mºu1A + M°u12 + 1A .q 1 +  12 .q 1 + m 12 .q 2 = 0

101.3KNm – 81.6KNm + 0.67KNm.q 1 + 0.83KNm.q 1 + 0,415KNm.q 2 = 0

0,415KNm.q 2

0,415KNm.q 1

ESTRUCTURAS 1-FADU-UBA ARQ. ALICIA CISTERNAS

40KN 50KN

40KN/m 30KN/m

A 1 2 B

4.50m 4.80m 1.60m

91.5KNm -91.5KNm 80KNm -80KNm

5) Determinación de las reacciones de vínculo:

qxL = 40 x 4.5m qxL+ P= 30x4.8m +40 P= 50KN

2 2 2 2 2 2

90KN 90KN 92KN 92 KN 50KN

Reacciones de vínculo debidas

a las cargas

-(Mu

1A

) / L= -(Mu

12

+Mu

21

) / L

20KN 20KN 2,4KN 2,4KN

-(91.5KNm) - ( -91,5 KNm + 80 KNm )

4.5m 4.80m

Reacciones de vínculo debidas

a los pares

70KN 110KN 94,4 KN 89,6KN 50KN

Suma de Reacciones de

vínculo

70KN 204.4KN 139,6KN

Reacciones de finales

ESTRUCTURAS 1-FADU-UBA ARQ. ALICIA CISTERNAS

40KN 50KN

40KN/m 30KN/m

A 1 2 B

4.50m 4.80m 1.60m

91.5KNm -91.5KNm 80KNm -80KNm

6) Determinación de los Diagramas de Características:

70KN 110KN 94,4 KN 89,6KN 50KN

110KN 89,6KN

70KN 94,4 KN 50KN

22,4 KN

17,6KN

1,75m

V

ε

M

91.5KNm 80KNm

61.25KNm

En la barra 1-2 el momento máximo estará donde V

cambia de signo, o sea, en la mitad de la barra.

En la barra A-1 V =0 donde RA - (q 1. xA1) = 0

xA1 = RA = 70KN =1.75m

q1 40KN/m

M1-2 max = M 1 + R1d x 2.40m - q 2 .(2.40m)

2

• 91,5KNm + 94,4KN x 2.40m - 30 x(2.40m)

2

= 48,7KNm

MA-1max (+) = RA .xA1 - (q 1. xA

2

70KN x 1.75m – 40KN/m (1,75m)

2

= 61,25KNm

48.7KNm