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Matem´aticas Primero de Biol´ogicas Curso 2013-
Hoja 5: Integraci´on
1.- Evaluar las siguientes integrales indefinidas:
(1)
dx 2 x^2 + 8
3 x^2 + 2 x − 1 x + 2 dx (3)
ex 2 ex^ − 1 dx
x^3 √ 1 − x^2
dx (5)
x^2
1 + x dx (6)
dx 9 x^2 + 6 x + 5
(7)
x^3 x^3 − 3 x + 2 dx (8)
x x^3 − x^2 + 4 x − 4 dx (9)
ex^ + 3 e−x e^2 x^ + 1 dx
(10)
x (x^2 − 1)^2
dx (11)
dx (x^2 − 1)^2
dx (x − 1)^2 (x^2 + 3) (13)
x 1 + x^4 dx (14)
dx sen^2 x cos x
sen^3 x cos^6 x dx
(16)
x log x dx (17)
x^2 sen x dx (18)
arctan x dx
2.- El teorema fundamental del c´alculo integral establece que, si f es una funci´on continua en [a, b], la funci´on F (x) =
∫ (^) x a f^ (t)dt^ es derivable en [a, b] y su derivada es^ F^ ′(x) = f (x). Usando dicho teorema y la
regla de la cadena, calcular la derivada de la siguiente funci´on: F (x) =
∫ (^) x 2 0 (sen^ t
(^2) ) log(1 + t (^2) ) dt.
3.- Encontrar una funci´on f definida y continua en [0, ∞) tal que
∫ (^) x 2 0 (1 +^ t)^ f^ (t)^ dt^ = 6^ x
4.- Calcular el ´area delimitada por las curvas siguientes:
(i) y = sen x, x = π 3 , x = π 2 y el eje x. (ii) y = 5 − x^2 e y = 3 − x (iii) y = x^2 , y = (x − 2)^2 , y = (2 − x)/6. (iv) x^2 + y^2 = 1, x^2 + y^2 = 2x
5.- Calcular el ´area entre la gr´afica de la funci´on f (x) = x (^2) − 4 x^2 +4 y su as´ıntota. 6.- Calcular el ´area comprendida entre las curvas y = x e−x, y = x^2 e−x^ para valores de x ≥ 1.
7.- Existen funciones (algunas de apariencia sencilla) que no tienen primitiva elemental: el resultado de integrarlas no puede expresarse como combinaci´on (sumas, productos, composiciones) de funciones racio- nales, exponenciales, logaritmos, funciones trigonom´etricas y sus inversas y funciones hiperb´olicas y sus inversas. Utilizar la regla del trapecio (con cuatro subintervalos) para calcular
0 e
−x^2 dx , ∫^5 1
x^3 − 1 dx
8.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
(i) dxdt =
3 t + 1, con x = 1 para t = 0.
(ii) dxdt = (^) 1+txt 2 , con x = 1 para t = 0.
(iii) dydx = 12 y^2 − 2 y, con y = −3 para x = 0.
(iv) dydx = (y + 1)e−x, con y = 2 para x = 0.
(v) dydx = x^2 y^2 , con y = 1 para x = 1.
9.- Un objeto se mueve a lo largo de un eje de coordenadas con velocidad v(t) = t(1 − t) unidades por segundo. Su posici´on inicial es 2 unidades a la izquierda del origen. a) Hallar la posici´on del objeto 10 segundos m´as tarde. b) Hallar la distancia total recorrida por el objeto en esos 10 segundos.
10.- Una part´ıcula se mueve a lo largo del eje x con velocidad v(t) = At^2 + 1. Calcular A sabiendo que x(1) = x(0). Hallar la distancia total recorrida por la part´ıcula durante el primer segundo.
11.- La concentraci´on de ox´ıgeno f (t) en un estanque contaminado con un residuo org´anico var´ıa a lo largo del tiempo. La velocidad de variaci´on viene dada por:
v(t) = t^2 − 1 (t^2 + 1)^2
(t=“tiempo en semanas”).
a) Hallar la diferencia aproximada de concentraci´on de ox´ıgeno entre t = 0 y t = 1 utilizando la regla del trapecio con 4 subintervalos.
b) Comparar el resultado aproximado con el exacto, sabiendo que
f (t) =
t^2 − t + 1 t^2 + 1 , para t ≥ 0.
12.- El tama˜no N (t) de una poblaci´on var´ıa a lo largo del tiempo. Su velocidad de variaci´on viene dada por:
v(t) = 30 e−^0 ′ 1 t (1 + 3 e−^0 ′^1 t)^2 (t=“tiempo en a˜nos”).
a) Calcular la variaci´on de la poblaci´on entre t = 0 y t = 20: obtener el resultado exacto y el resultado aproximado utilizando la regla del trapecio y la regla de Simpson con 2 subintervalos.
b) Si N (0) = 25. ¿cu´al es el tama˜no de la poblaci´on al cabo de 20 a˜nos?
13.- Se observa que la velocidad de variaci´on del n´umero de individuos de una poblaci´on viene dada por:
dx dt
(x − 100)(200 − x).
Inicialmente hay x(0) = 180 individuos. a) Hallar la funci´on x(t). b) Calcular en qu´e valor tiende a estabilizarse la poblaci´on cuando el tiempo crece.
14.- Llamamos x(t) a la proporci´on de individuos de una especie que existe en un instante t. Se sabe que la velocidad de crecimiento de x con respecto a t es proporcional a x(1 − x). Resolver la ecuaci´on diferencial correspondiente. ¿A qu´e modelo de funci´on corresponde?
15.- Un tanque contiene inicialmente 100 litros de agua con sal. El contenido total de sal es de 1 Kg. En un determinado momento, se comienza a sacar lquido del tanque, a raz´on de 3 litros por minuto (con lo cual, cada minuto, se pierde un 3 % de sal). Para que la cantidad total de l´ıquido se mantenga constante, cada minuto se a˜naden 3 litros de otra soluci´on salina cuyo contenido en sal es de 250 gramos por litro (con lo cual, cada minuto, se a˜naden 750 gr. de sal).
a) Hallar la cantidad de sal en el tanque, S(t), en funci´on del tiempo, a partir de la ecuaci´on diferencial correspondiente.
b) Determinar el momento en que la soluci´on del tanque contiene 13 Kg. de sal.
c) Calcular la cantidad de sal que habr´a a largo plazo.
16.- Cada 8 horas tomamos 200 miligramos de un medicamento, y cada 8 horas el cuerpo elimina una quinta parte de lo que tiene.
a) Escribir la funci´on que expresa el n´umero de miligramos en el organismo en funci´on del tiempo (tomando como unidad de tiempo los intervalos de 8 horas).
b) A largo plazo, ¿cu´al ser´a la cantidad de medicamento en el organismo?
17.- Durante una epidemia de gripe en una poblaci´on, la velocidad de propagaci´on de la enfermedad, es decir, la velocidad de variaci´on del n´umero de enfermos es (aproximadamente): v(t) = 1000 t e−^0 ,^5 t^ donde t es el n´umero de d´ıas desde el inicio de la epidemia.
(a) Utilizado la regla del trapecio con dos intervalos, calcula (aproximadamente) el n´umero de individuos que se ponen enfermos durante los cuatro primeros d´ıas. Compara este valor con el valor exacto. (b) ¿En qu´e momento es m´axima la velocidad de propagaci´on de la gripe?
18.- La velocidad de variaci´on de una poblaci´on de bacterias con recursos limitados viene dada por la ecuaci´on dx dt = −2(x − 5),
donde x es el “n´umero de bacterias (en millones)” y t es el “tiempo transcurrido (en horas)”. Inicialmente hay 1 mill´on de bacterias.
(a) Hallar la funci´on que expresa x en funci´on de t, resolviendo la ecuaci´on diferencial.
(b) ¿Cu´antas bacterias habr´a al cabo de 2 horas? ¿Cu´antas habr´a a largo plazo?
