Introducción al Control No Lineal: Linealización de Sistemas No Lineales, Resúmenes de Sistemas de Control

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INTRODUCCIÓN AL

CONTROL NO LINEAL

Linealización de sistemas no

lineales

INTRODUCCIÓN

Ecuaciones en el espacio de estados. Considere un sistema representado por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinaras con alinealidades continuas. Las 𝑓𝑖 son funciones continuamente diferenciables en todos sus argumentos. 𝑥 ሶ 1 = 𝑓 1 (𝑥 1 … 𝑥𝑛, 𝑢 1 … 𝑢𝑟) 𝑥 ሶ 2 = 𝑓 2 (𝑥 1 … 𝑥𝑛, 𝑢 1 … 𝑢𝑟) … 𝑥 ሶ𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥 1 … 𝑥𝑛, 𝑢 1 … 𝑢𝑟)

Suponiendo que para un vector de entrada constante 𝑢 0 el vector 𝑥 toma el valor constante 𝑥 0. Entonces resulta 𝑥 ሶ = 𝐹 𝑥 0 , 𝑢 0 = 0 Esto resulta de la definición de punto de equilibrio para sistemas en régimen permanente para una entrada constante o nula.

LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES

Para un sistema vectorial las derivadas corresponderán a la 𝑛 variables de estado y a las 𝑟 entradas. Por lo tanto en este caso el operador “derivada” corresponde a la matriz Jacobiana. 𝜕𝑓 𝑥, 𝑢 𝜕𝑥

LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES

Si se evalúa la matriz Jacobiana en el punto de equilibrio 𝑥

0

0

resulta una

matriz de constantes , entonces:

𝑢=𝑢 0

𝑢=𝑢 0

En donde los elementos de la matriz, son:

𝑖𝑗

0 𝑢=𝑢 0

𝑖𝑗

𝑢=𝑢 0

Finalmente el modelo linealizado en torno al punto 𝑥

0

0

, resulta:

∗

∗

∗

LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES – EJEMPLO 1

Considerando que el caudal neto de líquido que ingresa o sale del tanque tiene que ser igual a la variación de su volumen en el mismo, se puede plantear la siguiente ecuación: 𝑑𝑉(𝑡) 𝑑𝑡

El volumen 𝑉 es función de la altura 𝑥, siendo 𝑥 función de 𝑡. Para simplificar las expresiones se mantendrá implícita esta circunstancia. Relacionando ahora 𝑉 con 𝑥 se halla el modelo buscado: 𝑉 𝑥 = න 0 𝑥 𝐴 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 𝐴 𝑥 =

2 (𝑥) 𝑑 𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑎 = 𝑑𝐼 𝑦 𝑏 =

siendo 𝐴(𝑥) y 𝑑(𝑥) el área de la sección transversal y el diámetro a la altura 𝑥, respectivamente.

LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES – EJEMPLO 1

Luego, el área será:

2

2

Por lo tanto, el volumen en función de x, es:

0 𝑥

2

3

Entonces:

𝑉^ ሶ 𝑥 =

2

El modelo queda:

2

2

LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES – EJEMPLO 1

Suponiendo los siguientes datos para el sistema:

3

2

El valor del punto de equilibrio para un caudal de entrada 𝑄

10

− 3

3

es 𝑥

0

El modelo de estado linealizado en el entorno del punto de equilibrio

[𝑥 0 , 𝑄 10 ] es:

∗

∗

1 ∗

Con:

∗

∗

− 3

LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES – EJEMPLO 2

El péndulo invertido es conocido por ser uno de los problemas más importantes y clásicos de la teoría de control. Se trata de un control inestable y no lineal. A menudo, es utilizado como ejemplo académico, principalmente por ser un sistema de control accesible, y por otro lado, permite mostrar las principales diferencias de control de lazo abierto y de su estabilización a lazo cerrado. Se supone que la varilla no tiene masa, que la masa del carro es 𝑀 y la masa en el extremo superior del péndulo invertido es 𝑚. Hay una fuerza externa, 𝑢(𝑡), sobre el carrito en la dirección 𝑥 , y una fuerza de gravedad que actúa sobre la masa del péndulo en todo momento. El sistema de coordenadas elegido se define en la figura, donde 𝑥(𝑡) representa la posición del carro y 𝜃(𝑡) es el ángulo de inclinación que se mide respecto de la dirección vertical.

LINEALIZACIÓN – EJEMPLO 2 – ECUACIONES BÁSICAS

Considerando el diagrama de cuerpo aislado que se muestra a continuación: Aplicando la segunda ley de Newton para el movimiento del carro: ෍ 𝐹 = 𝑀 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 = 𝑢 − 𝐹𝑥 − 𝐹𝑟 Considerando el diagrama de cuerpo aislado que se muestra a continuación: 𝐹𝑟 = 𝐵 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑦 𝐹𝑥 = 𝑚 𝑑 2 𝑥𝑔 𝑑𝑡 2 = 𝑚 𝑑 2 (𝑥 + 𝐿 sen 𝜃) 𝑑𝑡 2

LINEALIZACIÓN – EJEMPLO 2 – ECUACIONES BÁSICAS

Reordenando la ecuación de fuerzas resulta:

𝑀 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2

• 𝑚 𝑑 2 𝑑𝑡 2 𝑥 + 𝐿 sen 𝜃 = u − B

Tomando nota de las siguientes definiciones,

sen 𝜃 = 𝜃ሶ cos 𝜃 𝑦

2

2

sen 𝜃 = 𝜃ሷ cos 𝜃 − 𝜃ሶ

2

sen 𝜃

Tenemos:

𝜃 cos 𝜃 − 𝑚𝐿

2

sen 𝜃 + 𝐵 𝑥ሶ = 𝑢 ( 1 )

LINEALIZACIÓN – EJEMPLO 2 – ECUACIONES BÁSICAS

De una manera similar, se realiza un equilibrio de

momentos en el sistema , el momento es el producto

de la componente perpendicular de la fuerza por la

distancia hasta el punto de pivote (longitud de brazo

de palanca, 𝐿). Considerando los momentos respecto

del centro de gravedad de la masa 𝑚:

2

2

𝑦

𝐿 sen 𝜃 − 𝐹

𝑥

𝐿 cos 𝜃

Sustituyendo las expresiones de 𝐹𝑥 y 𝐹𝑦

2

sen 𝜃 + 𝐿 𝜃ሷ cos 𝜃

2

cos 𝜃 − 𝐿 𝜃ሷ sen 𝜃

LINEALIZACIÓN – EJEMPLO 2 – ECUACIONES BÁSICAS

Sustituyendo las expresiones anteriores en la ecuación de momentos

𝑚𝐿 sen 𝜃 𝑔 − 𝐿 𝜃ሶ

2

cos 𝜃 − 𝐿 𝜃ሷ sen 𝜃 − 𝑚𝐿 cos 𝜃 𝑥ሷ − 𝐿 𝜃ሶ

2

sen 𝜃 + 𝐿 𝜃ሷ cos 𝜃 = 𝐽 𝜃ሷ

Simplificando, se llega:

𝜃 = 𝑚𝐿𝑔 sen 𝜃 − 𝑚𝐿 𝑥ሷ cos 𝜃 ( 2 )

Por lo tanto la representación del modelo matemático para este sistema están

dadas por las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ). Estas ecuaciones representan

definitivamente un sistema no lineal que es relativamente complicado desde

un punto de vista matemático. Sin embargo, dado que el objetivo de este

sistema en particular es mantener el péndulo invertido en posición vertical

alrededor de θ= 0 , se podría considerar la linealización en torno al punto de

equilibrio en posición vertical.

LINEALIZACIÓN – EJEMPLO 2 – MODELO DE ESTADO

Despejando se obtiene: 𝜃^ ሷ = 𝑚𝐿 cos 𝜃 𝐵 𝑥ሶ − 𝑚𝐿 𝜃ሶ 2 sen 𝜃 + 𝑢 − 𝑔(𝑀 + 𝑚) sen 𝜃 𝑚 2 𝐿 2 cos 2 𝜃 − 𝐽 + 𝑚𝐿 2 𝑀 + 𝑚 Reemplazando en la ecuación de 𝑥ሷ 𝑥 ሷ = 𝑚 2 𝐿 2 𝑔 sen 𝜃 cos 𝜃 − 𝐽 + 𝑚𝐿 2 𝑚𝐿 𝜃ሶ 2 sen 𝜃 − 𝐵 𝑥ሶ + 𝑢 𝑚 2 𝐿 2 cos 2 𝜃 − 𝐽 + 𝑚𝐿 2 𝑀 + 𝑚 Definiendo como variables de estado 𝑥 1 = 𝑥, 𝑥 2 = 𝑥ሶ, 𝑥 3 = 𝜃 𝑦 𝑥 4 = 𝜃ሶ 𝑥 ሶ 1 = 𝑥 2 𝑥 ሶ 2 =

2 𝐿 2 𝑔 sen 𝑥 3 cos 𝑥 3 − 𝐽 + 𝑚𝐿 2 𝑚𝐿𝑥 4 2 sen 𝑥 3 − 𝐵𝑥 2 + 𝑢 𝑚 2 𝐿 2 cos 2 𝑥 3 − 𝐽 + 𝑚𝐿 2 𝑀 + 𝑚 𝑥 ሶ 3 = 𝑥 4 𝑥 ሶ 4 = 𝑚𝐿 cos 𝑥 3 𝐵𝑥 2 − 𝑚𝐿

4 2 2 sen 𝑥 3 + 𝑢 − 𝑔(𝑀 + 𝑚) sen 𝑥 3 𝑚 2 𝐿 2 cos 2 𝑥 3 − 𝐽 + 𝑚𝐿 2 𝑀 + 𝑚

LINEALIZACIÓN – EJEMPLO 2 – MODELO DE ESTADO

Para linealizar el modelo se calcula el punto de equilibrio que se considera con el

carro en la posición 𝑥 = 0 , el péndulo en la posición vertical y en una condición

estática.

La primer y tercer ecuación son ya lineales por lo tanto no requieren derivación,

en tanto en las 2 restantes se debe derivar respecto de 3 variables y la entrada.

El resultado de la linealización en el punto de equilibrio es:

1 ∗

2 ∗

2 ∗

2

2

2 ∗

2

2

2

3 ∗

2

2

∗

∗

∗

4 ∗

2

2 ∗

2

3 ∗

2

∗