ANÁLISIS DE SISTEMAS DE
CONTROL EN ESPACIO DE
ESTADO
•FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE ESTADO
•ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS EN ESPACIO DE
ESTADOS
•SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO
•CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD
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Análisis de Sistemas de Control en Espacio de Estado: Transferencia y Estabilidad, Resúmenes de Sistemas de Control
INGENIERIA DE CONTROL AUTOMATICO II
Tipo: Resúmenes
2021/2022
1 / 38
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ANÁLISIS DE SISTEMAS DE
CONTROL EN ESPACIO DE
ESTADO
- FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE ESTADO
- ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS EN ESPACIO DE
ESTADOS
- SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO
- CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD
FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA DE
ESTADO
EJEMPLO Para el sistema mecánico cuyo modelo matemático expresado en espacio de estado es: 𝒙^ ሶ = 𝐴𝒙 + 𝐵𝒖 𝒚 = 𝐶𝒙 Donde: 𝐴 = 0 1 − 𝐾 𝑀 − 𝐵 𝑀 ; 𝐵 = 0 1 𝑀 ; 𝐶 = (^1 ) Para obtener la función de transferencia, empleamos la expresión: 𝐺 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 − 1 𝐵 + 𝐷 = (^1 ) 𝑠 0 0 𝑠 − 0 1 − 𝐾 𝑀 − 𝐵 𝑀 − 1 0 1 𝑀
- 0 Al resolver la ecuación, se obtiene: 𝐺 𝑠 = (^1 ) 𝑠 − 1 𝐾 𝑀 𝑠 + 𝐵 𝑀 − 1 0 1 𝑀
EJEMPLO Recordando que: 𝐴 − 1 = 1 𝐴 𝑎𝑑𝑗 𝐴 𝑇 Donde: 𝑑𝑖𝑗 = − 1 𝑖+𝑗 (^) ሚ 𝐴𝑖𝑗 , elementos de la matriz 𝑎𝑑𝑗(𝐴); 𝐴ሚ𝑖𝑗: menores principales. 𝐺 𝑠 = (^1 ) 1 𝑠 2
𝐵 𝑀 𝑠 + 𝐾 𝑀 𝑠 + 𝐵 𝑀 1 − 𝐾 𝑀 𝑠 0 1 𝑀 = 1 𝑠 2
𝐵 𝑀 𝑠 + 𝐾 𝑀 𝑠 + 𝐵 𝑀 1 0 1 𝑀 𝐺 𝑠 = 1 𝑠 2
𝐵 𝑀 𝑠 + 𝐾 𝑀 . 1 𝑀 = 1 𝑀𝑠 2
- 𝐵𝑠 + 𝐾 Esta función de transferencia es exactamente igual a la deducida directamente del modelo lineal.
ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO.
En un sistema expresado en forma de espacio de estado
La estabilidad depende de lo “Valores Propios” de la matriz 𝐴 de 𝑛 por 𝑛
elementos. La matriz 𝐴 es la que representa el sistema, por lo tanto donde se
encuentra la información de la ecuación característica.
Si todos los valores propios son negativos o con parte real negativa entonces
el sistema será estable.
Si existe un par de valores propios imaginarios puros el sistema tendrá
estabilidad limitada.
Si existe algún valor propio positivo o con parte real positiva el sistema será
inestable.
ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO.
Para obtener los valores propios de una matriz, primero se obtiene la
ecuación característica mediante la expresión:
det(𝑠𝐼 − 𝐴) = 0
Donde: I es la matriz identidad; 0 es la matriz nula y s
i
son las raíces de la
ecuación característica.
Luego, se obtiene las raíces de ésta ecuación que serán sus valores propios.
Para determinar la estabilidad del sistema, puede aplicarse entonces los
criterios de Routh o Hurwitz.
ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO.
Ejemplo: Determine el valor de K para que el siguiente sistema sea estable: 𝐴 = 0 1 0 0 0 1 − 6 𝐾 − 8 − 6 , 𝐵 = 0 0 1 , 𝐶 = (^6) 𝐾 0 0 Solución: Primero formamos (𝑠𝐼 − 𝐴): 𝑠𝐼 − 𝐴 = 𝑠 0 0 0 𝑠 0 0 0 𝑠 − 0 1 0 0 0 1 − 6 𝐾 − 8 − 6 = 𝑠 − 1 0 0 𝑠 − 1 6 𝐾 8 𝑠 + 6 Ahora encontramos det(𝑠𝐼 − 𝐴): det 𝑠𝐼 − 𝐴 = 𝑠 3
- 6 𝑠 2
- 8 𝑠 + 6 𝐾 Formamos el arreglo de Routh-Hurwitz. ተ 𝑠 3 𝑠 2 𝑠 1 𝑠 0 1 8 6 6 𝐾 8 − 𝐾 6 𝐾 Para que el sistema sea estable, debe cumplirse: 𝐾 > 0 𝑦 𝐾 < 0 ⟹ 0 < 𝐾 < 8
SOLUCIÓN DE LA
ECUACIÓN DE ESTADO
LA RESPUESTA EN EL TIEMPO Y LA MATRIZ DE TRANSICIÓN.
La respuesta transitoria para los estados, se obtiene solucionando la ecuación
diferencial vectorial:
0 𝑡
Para la salida:
0 𝑡
Si se conocen las condiciones x( 0 ), la entrada u() y la matriz de transición
(t); la respuesta en el tiempo de x(t) se concentra en el cálculo de (t).
Si consideramos que la entrada u() = 0 (respuesta forzada), tenemos:
EJEMPLO se quiere determinar la matriz de transición del sistema LTI representado por la matriz: 𝐴 =
La matriz de transición es: 𝜑 𝑠 = 𝑠𝐼 − 𝐴 − 1 = 𝑠
− 1
− 1 𝜑 𝑠 =
2
- 3 𝑠 + 2
Entonces: 𝜑 𝑠 =
2
- 3 𝑠 + 2
2
- 3 𝑠 + 2 1 𝑠 2
- 3 𝑠 + 2
2
- 3 𝑠 + 2
LA MATRIZ DE TRANSICIÓN Y EL GRAFO DE FLUJO Se calcula la transformada de Laplace de la matriz de transición a partir del gráfico de flujo de señales, determinando la relación entre una variable de estado X i (s) y las condiciones iniciales de estado [x 1 ( 0 ), x 2 ( 0 ), …, xn( 0 )]. La matriz de transición de estado es: 𝜙 𝑡 = ℒ − 1 Φ(𝑠) Para un sistema de segundo orden, se tiene: 𝑋 1 𝑠 = 𝜙 11 𝑠 𝑥 1 0 + 𝜙 12 𝑠 𝑥 2 0 𝑋 2 𝑠 = 𝜙 21 𝑠 𝑥 1 0 + 𝜙 22 𝑠 𝑥 2 0 La relación entre la salida X 2 (s) y la entrada x 1 ( 0 ), se calcula por la regla de Mason. Los elementos de la matriz de transición ij(s) se obtiene calculando las relaciones individuales entre x i (s) y x j ( 0 ) a partir del modelo de estado del gráfico de flujo.
EJEMPLO
Sea el circuito RLC donde R = 3 , L = 1 y C = 0. 5 , para el cual el gráfico de
flujo de señales incluyendo sus condiciones iniciales, es el que se muestra. Se
pide obtener su respuesta transitoria.
Para obtener (s), hacemos U(s) = 0
El elemento 12 (s) se obtiene calculando la relación entre X 1 (s) y x 2 ( 0 ) como: 𝑋 1 𝑠 𝑥 2 0
− 1 )(
− 1
- 2 𝑠 − 2 Por tanto: 𝜙 12 𝑠 =
2
- 3 𝑠 + 2 ) Análogamente para 21 (s) se tiene: 𝜙 21 𝑠 =
− 1 )(
− 1
- 2 𝑠 − 2
2
- 3 𝑠 + 2 ) Finalmente para 22 (s): 𝜙 22 𝑠 =
− 1
- 2 𝑠 − 2
2
- 3 𝑠 + 2 )
La transformada de Laplace de la matriz de transición de estado, queda:
11
12
2
2
2
2
Por tanto, la matriz de transición de estado será:
𝜙 𝑡 = ℒ − 1 𝜙(𝑠) =
−𝑡
− 2 𝑡
−𝑡
− 2 𝑡
−𝑡
− 2 𝑡
−𝑡
− 2 𝑡
Si x
1
( 0 )=x
2
( 0 )= 1 y u(t)= 0 , se tiene:
2
− 2 𝑡
− 2 𝑡