Control Óptimo: Diseño de Controladores para Sistemas Dinámicos, Resúmenes de Sistemas de Control

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INTRODUCCIÓN AL CONTROL

ÓPTIMO CUADRÁTICO

INTRODUCCIÓN AL CONTROL ÓPTIMO

El método de diseño por realimentación de estados y observador, no

siempre es el método de diseño más útil por:

 El traslado de las especificaciones de diseño (sobreimpulso, etc.), no siempre es directo, particularmente para sistemas complejos; ¿cuál es la mejor configuración de polos para las especificaciones dadas?  En sistemas MIMO las ganancias de realimentación de estados que logran una configuración de polos dada, no es única. ¿Cuál es la mejor K para una configuración de polos dada?.  Los autovalores del observador deberían escogerse más rápidos que los del sistema de lazo cerrado. ¿Hay algún otro criterio disponible para ayudar a decidirse por una configuración o por otra?.

En esta sesión veremos cómo las ganancias de la realimentación de

estados y del observador se pueden calcular en una forma óptima.

ÍNDICE DE FUNCIONAMIENTO O DESEMPEÑO  Medida cuantitativa del funcionamiento de un sistema.  Debe brindar selectividad, debe ser un número positivo o cero.  Debe ser función de los parámetros del sistema  Fácilmente calculable analíticamente y por computadora.  El cálculo del índice de desempeño, parte de la definición del error e(t).  Necesario para obtener una medida cuantitativa: Del funcionamiento de un sistema para la operación de sistemas de control moderno adaptables. Para la optimización de parámetros automáticos en un sistema de control. Para el diseño de sistemas óptimos.

ÍNDICES DE FUNCIONAMIENTO CLÁSICOS  Criterio de la integral del error cuadrático (ISE). 𝐼 1 = න 0 ∞ 𝑒 2 𝑡 𝑑𝑡 Se adapta para mediciones prácticas. Conveniente para el análisis y cálculo.  Criterio de la integral de la magnitud absoluta del error (IAE) 𝐼 2 = න 0 ∞ 𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 Útil para simulación en computador. Reduce la contribución del gran error inicial.

EJEMPLO

En la figura se muestra un sistema de control de posición de un telescopio espacial. Se desea seleccionar K 3 con el objeto de minimizar el efecto de la perturbación D(s). En este caso, la perturbación equivale a un error de posición inicial.

SOLUCIÓN

Del gráfico de flujo de señales y aplicando la regla de Mason, se tiene: 𝑌(𝑠) 𝐷(𝑠)

2

• 𝐾 1 𝐾 3 𝑠 + 𝐾 1 𝐾 2 𝐾𝑃 Considerando que 𝐾 1 = 0. 5 𝑦 𝐾 1 𝐾 2 𝐾𝑃 = 2. 5

… SOLUCIÓN

Derivando I e igualando a cero el resultado, se obtiene: 𝑑𝐼 𝑑𝐾 3

3 − 2

• 1. 1 = 0 Por tanto, el mínimo ISE se obtiene cuando 𝐾 3 = 10 = 3. 2. La figura representa los valores de ISE (K 3 = 3. 2 ) e IAE (K 3 = 4. 2 ).

SISTEMAS DE CONTROL ÓPTIMO Considerando el sistema: se puede representar mediante la ecuación diferencial vectorial: 𝒙^ ሶ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 ( 1 ) un regulador de retroalimentación de control de modo que: 𝒖 = −𝑲𝒙 ( 2 ) Entonces: 𝒙 ሶ = 𝑨𝒙 − 𝑩𝑲𝒙 = (𝑨 − 𝑩𝑲)𝒙 = 𝑯𝒙 ( 3 )

H es la matriz nxn resultado de la suma de A y de −𝑩𝑲

EJEMPLO

Considere el sistema cuya ecuación diferencial vectorial es: 𝒙 ሶ =

Se escoge un sistema de control por realimentación de forma que: 𝑢 𝑡 = −𝑘 1 𝑥 1 − 𝑘 2 𝑥 2 Si k 1 = 1 , además 𝒙 𝑇 0 = 1 1. Determine un valor adecuado para k 2 de forma que minimice el índice de desempeño y la sensibilidad del sistema óptimo. Solución : De forma matricial, se tiene: 𝒙 ሶ = 𝑯𝒙 =

Entonces: 𝑯 𝑇 𝑷 + 𝑷𝑯 = −𝑰 →

... EJEMPLO

Efectuando la multiplicación, suma de matrices y resolviendo las ecuaciones simultáneas; se tiene: 𝑝 12 = 1 2 , 𝑝 22 = 1 𝑘 2 , 𝑝 11 = 𝑘 2 2

• 2 2 𝑘 2 El índice de comportamiento 𝐽, será: 𝐽 = 𝒙 𝑇 0 𝑷𝒙 0 = (^1 ) 𝑝 11 𝑝 12 𝑝 12 𝑝 22 1 1 = 𝑝 11 + 2 𝑝 12 + 𝑝 22 = 𝑘 2 2
• 2 𝑘 2 + 4 2 𝑘 2 Minimizando 𝐽 en función de 𝑘 2 : 𝜕𝐽 𝜕𝑘 2 = 0 → 𝑘 2 = 2 ; 𝐽 = 3 La ecuación característica del sistema compensado, resulta: det 𝜆𝑰 − 𝑯 = 𝜆 2
• 2 𝜆 + 1 La sensibilidad del sistema óptimo, se obtiene de: 𝑆 𝑘 𝑜𝑝𝑡 = 𝜕𝐽 𝜕𝑘 2 . 𝑘 2 𝐽 =

1. 08 Τ 3
2. 5 Τ 2 = 0. 107

DISEÑO CONSIDERANDO LA MAGNITUD DE LA SEÑAL DE CONTROL O GASTO ENERGÉTICO.

Considerando el gasto energético de la señal de control se tiene el siguiente

índice de desempeño:

0 ∞

𝑇

𝑇

La ecuación del sistema se puede escribir como: 𝒙^ ሶ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 = 𝑯𝒙

Sabiendo que: 𝒖 = −𝑲𝒙

Donde 𝑸 = 𝑰 + 𝜆𝑲

𝑇

𝑲 es una matriz de orden nxn. 𝜆 es un facto de

valoración diferente de cero. En este caso se necesita de:

𝑇

𝑇

EJEMPLO

Considere el sistema cuya ecuación diferencial vectorial es: 𝒙 ሶ =

Se escoge un sistema de control por realimentación de forma que: 𝒖 = −𝑲𝒙 = −𝑘𝑥 1 − 𝑘𝑥 2 = −𝑘𝒙 Si 𝜆 ≠ 0. Determine un valor adecuado para 𝑘 de forma que minimice el índice de desempeño, sabiendo que 𝑥 𝑇 0 = 1 0. Solución : La matriz 𝑄, es: 𝑸 = 𝑰 + 𝜆𝑲 𝑇 𝑲 =

2 𝜆𝑘 2 𝜆𝑘 2 1 + 𝜆𝑘 2

Los coeficientes de la matriz P, se calculan desde: (𝑯 𝑇 𝑷 + 𝑷𝑯) = −𝑸

REGULADOR ÓPTIMO CUADRÁTICO (LQR)

 Se asume que el sistema esta en equilibrio y se desea mantener en equilibrio aun en presencia de perturbaciones.  Una ventaja de usar el esquema LQR es que el sistema diseñado será estable, excepto si el sistema no es controlable.  La ventaja respecto al método de asignación de polos es que el esquema LQR proporciona un procedimiento sistemático de calcular la matriz de ganancia de realimentación de estado.  Al diseñar este tipo de sistemas de desempeño cuadrático se necesita resolver las ecuaciones de Riccati.  MATLAB tiene un comando lqr que proporciona la solución a la ecuación de Riccati en tiempo continuo y determina la matriz de ganancias de realimentación óptima.

OBSERVACIÓN: MATRIZ DEFINIDA POSITIVA

Una matriz simétrica 𝑃 ∈ ℝ

𝑛𝑥𝑛

es definida positiva si 𝒙

𝑇

𝑛

, y

no definida negativa (semidefinida positiva) si 𝒙

𝑇

𝑛

Una matriz simétrica es definida positiva (no definida negativa) si y solo si todos

sus autovalores son positivos (no negativos).

Ejemplos

2

2

2

2

2