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LMD Tipo A
Prueba de clase 8 de Abril de 2016
Alumno: D.N.I.: Grupo:
RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS TEST^1
a) b) c) d) Pregunta 1 V F F F Pregunta 2 V V F V Pregunta 3 V F F V Pregunta 4 F F F F
PREGUNTAS TEST
Ejercicio 1. Del número n se conoce que el conjunto D(n) es un álgebra de Boole (con las operaciones mcd y mcm) con 4 átomos y que 66 ∈ D(n). Así que n podría ser
a) 858
b) 99
c) 660
d) 726
Solución: Para que D(n) sea un álgebra de Boole es necesario que en la descomposición de n como producto de números primos no aparezca ningún primo elevado a un exponente mayor que 1. Al tener D(n) cuatro átomos, n debe tener cuatro divisores primos. Y como 66 = 2 · 3 · 11 es un divisor de n, entre los cuatro divisores primos de n tienen que estar el 2 , el 3 y el 7. Tenemos entonces:
a) Puesto que 858 = 2 · 3 · 11 · 13 , n podría valer 858.
b) Puesto que 99 = 3^2 · 11 , n no puede valer 99 (no es múltiplo de 66 y el primo 3 está elevado al cuadrado).
c) Puesto que 660 = 2^2 · 3 · 5 · 11 , n no puede valer 660 (pues aunque sea múltiplo de 66 y tiene cuatro divisores primos, hay uno que está elevado al cuadrado).
d) Puesto que 726 = 2 · 3 · 112 , n no puede valer 726 , ya que el primo 11 está elevado al cuadrado.
(^1) Cada casilla del cuadro debe ser rellenada con V (verdadero) o F (falso).
8 de Abril de 2016 (1)
Tipo A LMD
Ejercicio 2. La función booleana de 3 variables f = Σ 3 m(1, 3 , 5 , 6 , 7) puede expresarse como
a) f (x, y, z) = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)
b) f (x, y, z) = (x + z)(y + z)
c) f (x, y, z) = xy + yz
d) f (x, y, z) = xy + z
Solución: Dado que tenemos f como suma de minterm, vamos a simplificar f usando un diagrama de Karnaugh:
z
z
x y x y x y x y
0
1
2
3
6
7
4
5
z
z
x y x y x y x y
Y vemos que f (x, y, z) = z + xy, que se corresponde con la respuesta cuarta. Para calcular la forma conjuntiva, nos fijamos en los maxterm. Volvemos a representar f por medio de un diagrama de Karnaugh, pero ahora marcando los puntos en los que f toma el valor
z
z
x + y x + y x + y x + y 0 0 0
Y la forma normal conjuntiva de f es f (x, y, z) = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z), que se corresponde con la respuesta primera. Si ahora agrupamos los ceros, tenemos:
z
z
x + y x + y x + y x + y 0 0 0
Y tenemos la expresión de f siguiente: f (x, y, z) = (x + z)(y + z) que es la respuesta segunda. Por último, si evaluamos la tercera expresión en x = 0, y = 0, z = 1 nos queda 0 · 0 + 0 · 1 = 0, mientras que f (0, 0 , 1) = 1. Por tanto, esa expresión no representa a la función f. Es decir, que son correctas las respuestas primera, segunda y cuarta.
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Tipo A LMD
Ejercicio 4. Indica si son ciertas o no las siguientes equivalencias lógicas
a) a ∧ b → c ≡ (a → b) ∨ (a → c)
b) a → b ∧ c ≡ ¬(a ∧ ¬b ∧ ¬c)
c) ¬(a → b) ≡ ¬a → ¬b
d) (a ∨ b) ∧ c ≡ a ∨ (b ∧ c)
Solución: Vamos a ir analizando cada uno de los casos.
a) Tenemos que: a ∧ b → c ≡ ¬(a ∧ b) ∨ c ≡ ¬a ∨ ¬b ∨ c. (a → b) ∨ (a → c) ≡ (¬a ∨ b) ∨ (¬a ∨ c) ≡ ¬a ∨ b ∨ c. Y vemos que no son equivalentes. Podemos tomar la interpretación I(a) = I(b) = 1, I(c) = 0 para comprobarlo.
b) En esta ocasión:
a → b ∧ c ≡ ¬a ∨ (b ∧ c) ≡ (¬a ∨ b) ∧ (¬a ∨ c). ¬(a ∧ ¬b ∧ ¬c) ≡ ¬a ∨ b ∨ c. Y tampoco son equivalentes. La interpretación I(a) = I(c) = 1, I(b) = 0 nos lo muestra.
c) Al igual que antes, transformamos ambas fórmulas en otras equivalentes a ellas: ¬(a → b) ≡ ¬(¬a ∨ b) ≡ a ∧ ¬b. ¬a → ¬b ≡ a ∨ ¬b. Que claramente no son equivalentes, como podemos comprobar con la interpretación I(a) = I(b) = 1.
d) Aquí, para comprobar que no son equivalentes tomamos la interpretación I(a) = 1, I(b) = 1 e I(c) = 0. En tal caso, I((a ∨ b) ∧ c) = 0 mientras que I(a ∨ (b ∧ c)) = 1. Por tanto, tampoco son equivalentes.
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LMD Tipo A
Ejercicio 5. Sea la función booleana elemental g(x, y, z) = xy+yz+xz, también llamada función mayoría^2 , se define f : B^4 → B por
f (x, y, z, t) =
1 t = g(x, y, z) 0 t 6 = g(x, y, z)
Calcula una expresión reducida de f como suma de productos, y expresa f usando únicamente los operadores producto y complemento.
Solución: Notemos que la función f devuelve uno si el voto de t coincide con la mayoría de los restantes y 0 si no coincide. Vamos a calcular la tabla de la función f.
x y z t xy yz xz g(x, y, z) h(x, y, z, t) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Es decir, f = m 0 + m 2 + m 4 + m 7 + m 8 + m 11 + m 13 + m 15. Para obtener una expresión reducida nos valemos de un mapa de Karnaugh:
z t
z t
z t
z t
x y x y x y x y
Luego la expresión reducida de f es
f (x, y, z, t) = x y t + x z t + y z t + x y t + x z t + y z t También se podría haber obtenido una expresión de f como sigue: (^2) Si tres personas, x, y, z realizan una votación con dos posibles resultados, la función g nos devuelve el voto mayoritario.
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LMD Tipo A
Ejercicio 6. Dadas las fórmulas:
α 1 = c ∧ d → a ∨ b.
α 2 = ¬c → ((a → b) ∧ (¬b → a)).
α 3 = ¬a ↔ c.
α 4 = ¬a ∨ (¬c ∧ (d → ¬b)).
β = (b → c) → ¬(¬a → d).
estudia si es cierto que {α 1 , α 2 , α 3 , α 4 } β. Caso de no ser cierto, da una interpretación que lo muestre.
Solución: Por el teorema de la deducción esto es equivalente a estudiar si {α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , b → c} ¬(¬a → d), y esto último, a estudiar si el conjunto {α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , b → c, ¬a → d} es insatisfacible. Pasamos cada fórmula a forma clausular:
α 1 = c ∧ d → a ∨ b ≡ ¬(c ∧ d) ∨ (a ∨ b) ≡ (¬c ∨ ¬d) ∨ (a ∨ b) ≡ a ∨ b ∨ ¬c ∨ ¬d.
α 2 = ¬c → ((a → b) ∧ (¬b → a)) ≡ c ∨ ((¬a ∨ b) ∧ (b ∨ a)) ≡ (c ∨ ¬a ∨ b) ∧ (c ∨ b ∨ a).
α 3 = ¬a ↔ c ≡ (¬a → c) ∧ (c → ¬a) ≡ (a ∨ c) ∧ (¬c ∨ ¬a).
α 4 = ¬a ∨ (¬c ∧ (d → ¬b)) ≡ ¬a ∨ (¬c ∧ (¬d ∨ ¬b)) ≡ (¬a ∨ ¬c) ∧ (¬a ∨ ¬d ∨ ¬b).
b → c ≡ ¬b ∨ c.
¬a → d ≡ a ∨ d.
Con las cláusulas que nos han quedado, estudiamos si el conjunto es o no insatisfacible.
{a ∨ b ∨ ¬c ∨ ¬d, ¬a ∨ b ∨ c, a ∨ b ∨ c, a ∨ c, ¬a ∨ ¬c, ¬a ∨ ¬b ∨ ¬d, ¬b ∨ c, a ∨ d}
{b ∨ c, ¬c, ¬b ∨ ¬d, ¬b ∨ c} {b ∨ ¬c ∨ ¬d, b ∨ c, c, ¬b ∨ c, d}
{b, ¬b ∨ ¬d, ¬b} {b ∨ ¬d, d}
{¬d, } {b}
!!
!!
!!^ aaa aa a
λ = b
λ = ¬c
λ = a
λ = b
λ = d
λ = c
λ = ¬a
Al llegar una rama hasta ∅, la implicación semántica no es cierta. Además, con la interpreta- ción I(a) = 0, I(b) = I(c) = I(d) = 1 se tiene que I(α 1 ) = I(α 2 ) = I(α 3 ) = I(α 4 ) = 1 mientras que I(β) = 0.
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