Integrales dobles
Integral doble
Duna regi´on de R2yf:D−→ Run campo escalar integrable sobre D,
entonces ZZD
f=ZZD
f(x, y)dxdy
es el volumen con signo determinado por la gr´afica z=f(x, y)sobre D.
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integracio doble, Apuntes de Cálculo Avanzado
Asignatura: Calcul avançat, Profesor: Josep Font i Mateu, Carrera: Enginyeria Elèctrica, Universidad: UPC
Tipo: Apuntes
2013/2014
1 / 22
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Integrales dobles
Integral doble
D una regi´on de R
2 y f : D −→ R un campo escalar integrable sobre D,
entonces (^) ∫ ∫
D
f =
D
f (x, y)dxdy
es el volumen con signo determinado por la gr´afica z = f (x, y) sobre D.
Integrales dobles
Integral doble
D una regi´on de R
2 y f : D −→ R un campo escalar integrable sobre D,
entonces (^) ∫ ∫
D
f =
D
f (x, y)dxdy
es el volumen con signo determinado por la gr´afica z = f (x, y) sobre D.
Ejemplo
Ejemplo
Teorema
Si f es continua y D = [a, b] × [c, d], rect´angulo, entonces es integrable.
Calcular:
D
e
5 x+7y dxdy siendo D = [0, 2] × [0, 3]
La funci´on es continua y D es un rect´angulo:
D
f =
2
0
3
0
f (x, y)dy dx =
2
0
e
5 x dx
3
0
e
7 y dy =
e
5 x
2
0
e
7 y
3
0
(e
21 − 1)(e
10 − 1)
Teorema
Si f es continua y D = [a, b] × [c, d], rect´angulo, entonces es integrable.
Calcular:
D
e
5 x+7y dxdy siendo D = [0, 2] × [0, 3]
La funci´on es continua y D es un rect´angulo:
D
f =
2
0
3
0
f (x, y)dy dx =
2
0
e
5 x dx
3
0
e
7 y dy =
e
5 x
2
0
e
7 y
3
0
(e
21 − 1)(e
10 − 1)
Propiedades de la integral doble
(^1) Linealidad: ∫ ∫
D
[αf (x, y) + βg(x, y)] dxdy = α
D
f (x, y)dxdy+β
D
g(x, y)dxdy
(^2) Monoton´ıa. Si f (x, y) ≤ g(x, y) ∀(x, y) ∈ D entonces
∫ ∫
D
f (x, y)dxdy ≤
D
g(x, y)dxdy
Propiedades de la integral doble
(^1) Linealidad: ∫ ∫
D
[αf (x, y) + βg(x, y)] dxdy = α
D
f (x, y)dxdy+β
D
g(x, y)dxdy
(^2) Monoton´ıa. Si f (x, y) ≤ g(x, y) ∀(x, y) ∈ D entonces
∫ ∫
D
f (x, y)dxdy ≤
D
g(x, y)dxdy
(^3) Aditividad. Sea D = D 1 ∪^ D 2 uni´on de rect´angulos disjuntos: ∫ ∫
D
f (x, y)dxdy =
D 1
f (x, y)dxdy +
D 2
f (x, y)dxdy
Propiedades de la integral doble
(^1) Linealidad: ∫ ∫
D
[αf (x, y) + βg(x, y)] dxdy = α
D
f (x, y)dxdy+β
D
g(x, y)dxdy
(^2) Monoton´ıa. Si f (x, y) ≤ g(x, y) ∀(x, y) ∈ D entonces
∫ ∫
D
f (x, y)dxdy ≤
D
g(x, y)dxdy
(^3) Aditividad. Sea D = D 1 ∪^ D 2 uni´on de rect´angulos disjuntos: ∫ ∫
D
f (x, y)dxdy =
D 1
f (x, y)dxdy +
D 2
f (x, y)dxdy
(^4) Teorema de Fubini. Si f (x, y) es continua en D = [a, b] × [c, d]:
D
f (x, y)dxdy =
∫ (^) b
a
∫ (^) d
c
f (x, y)dy dx =
∫ (^) d
c
∫ (^) b
a
f (x, y)dx dy
(^5) Si f (x, y) = 1 entonces
D
dxdy = ´area del recinto D
Regiones simples de R
Regiones I o de tipo vertical
D =
(x, y) ∈ R
2
∣a^ ≤^ x^ ≤^ b, g 1 (x)^ ≤^ y^ ≤^ g 2 (x)
D
f =
∫ (^) b
a
∫ (^) g 2 (x)
g 1 (x)
f (x, y)dydx
Regiones III. Se pueden expresar indistintamente como regiones I o II
D
f =
∫ (^) b
a
∫ (^) g 2 (x)
g 1 (x)
f (x, y)dydx
Regiones III. Se pueden expresar indistintamente como regiones I o II
D
f =
∫ (^) d
c
∫ (^) h 2 (y)
h 1 (y)
f (x, y)dxdy
Definici´on
Cambio a coordenadas polares (r, t)
x = r cos t
y = r sin t
con
r ≥ 0
0 ≤ t < 2 π
o
−π ≤ t < π
Observaciones: x 2
- y 2 = r 2
Transformaci´on del c´ırculo D por coordenadas polares
D
∗
(r, t)
∣ 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ t < 2 π
D∗
drdt =
∫ R
0
∫ (^2) π
0
dtdr = 2 πR 6 = πR
2
¿Qu´e falta en la integraci´on?
No puede salir distinta!!!!!!!
Definici´on
Se llama jacobiano del cambio a coordenadas polares al determinante:
∂(x, y)
∂(r, t)
∂x
∂r
∂y
∂r ∂x
∂t
∂y
∂t
cos t sin t
−r sin t r cos t
= r cos
2 t + r sin
2 t = r