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Documento que presenta el tema iv de cálculo i de ingeniería mecánica de la universidad carlos iii de madrid, donde se enseña el cálculo de primitivas, integrales indefinidas, integración por partes y cambio de variable. Se incluyen ejemplos y tablas de integrales.
Tipo: Apuntes
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Departamento de Matemáticas Universidad Carlos III de Madrid
Cálculo de primitivas: integrales inmediatas, integración por partes, cambio de variable. Otros métodos de integración. Teorema fundamental del cálculo y aplicaciones. Aplicaciones de la integral: cálculo de áreas, volúmenes de revolución, longitudes de curvas.
Se dice que una función F (x) es una primitiva de otra función f (x) en un cierto intervalo I si para todo punto x de dicho intervalo, se tiene que F ′(x) = f (x).
Dos funciones F 1 (x) y F 2 (x) son primitivas de una función f (x) en un cierto intervalo I si y solo si existe una constante C tal que F 2 (x) = F 1 (x) + C para toda x ∈ I.
f (x) = cos x F (x) = sen x + c
f (x) = x^2 − 1 F (x) = x 3 3 −^ x^ +^ c f (t) = et^ F (t) = et^ + c
f (u) = 1 F (u) = u + c
Z 훼 dx = 훼x + c
Z x훼^ dx = x
훼+ 1 훼 + 1 +^ c
Z (^1) xdx^ =^ ln^ ∣x∣^ +^ c Z ex dx = ex^ + c
Z 훼x dx = 훼
x ln 훼^ +^ c
Z (^1) 1 + x^2 dx^ =^ arctan^ x^ +^ c Z sen x dx = − cos x + c Z cos x dx = sen x + c Z (^1) q 1 − x^2
dx = arc sen x + c Z senh x dx = cosh x + c Z coshx dx = senh x + c Z (^) − 1 q 1 − x^2
dx = arc cos x + c Z tan x dx = − ln ∣ cos x∣ + c
Z cot x dx = ln ∣ sen x∣ + c
Z sec^2 x dx = tan x + c Z sec x dx = ln ∣ sec x + tan x∣ + c
Z csc x dx = ln ∣ csc x + cot x∣ + c
Z csc^2 x dx = − cot x + c
Función del tipo P(x) Q(x) , donde P(x) y Q(x) son polinomios y (Q(x) ∕= 0 ). FRACCIÓN PROPIA. Fracción Racional donde el grado del polinomio del numerador P(x) es menor que el grado del polinomio del denominador Q(x). En el caso contrario se llama impropia. FRACCIÓN RACIONAL SIMPLE Fracción racional de alguno de los cuatro tipos siguientes:
x − a
(x − a)n
donde A, B, a, p y q son números reales tales que A ∕= 0 y p^2 − 4 q < 0. n ∈ ℕ.
Sean f (x) y g(x) dos funciones con derivada continua, entonces: Z f ′(x).g(x)dx = f (x)g(x) −
f (x)g′(x)dx.
Equivalentemente, si u = g(x) y dv = f ′(x)dx entonces du = g′(x)dx y sustituyendo en la fórmula anterior obtenemos Z u dv = u v −
v du.
Ejemplos 1.-
x^2 ln xdx = x^3 3 ln ∣x∣ −
Z (^) x (^3) dx x
x^3 3
ln ∣x∣ −
u = ln x du = dxx
dv = x^2 dx v = x 3 3
2.-
xex^ dx =
xex^ −
ex^ dx = ex^ (x − 1 ) + c.
u = x du = dx
dv = ex^ dx v = ex
2 ln^ x^ dx
Integrando por parte se obtiene Z 2 ln^ x^ dx = x 2 ln^ x^ − ln 2
x 2 ln^ x x dx == x 2 ln^ x^ − ln 2
2 ln^ x^ dx
u = 2 ln^ x^ du = ln 2 2 ln x x dx dv = dx v = x Como la integral a calcular aparece en ambos miembros de la igualdad, se tiene que Z 2 ln^ x^ dx + ln 2
2 ln^ x^ dx = ( 1 + ln 2)
2 ln^ x^ dx = x 2 ln^ x^ + c 1
Por tantoZ 2 ln^ x^ dx =
1 + ln 2 x 2 ln^ x^ + c.
El método se utiliza en dos variantes. I) Si deseamos calcular
f (휑(x)).휑(x)′dx y podemos realizar la sustitución u = 휑(x) por lo que du = 휑(x)′dx , entonces nos queda
f (u)du.
Observaciones:
Ejemplo. Z ( 3 + 2 sen x)^3 cos xdx =
u^3 du = ( 3 + 2 sen x)^4 8
II) Si deseamos calcular
f (x)dx escogemos la sustitución x = 휑(t) donde dx = 휑(t)′dt y nos queda Z f (휑(t)).휑(t)′dt . Ejemplo.
Z (^) x − 1 p 1 − x^2
dx =
Z (^) (sen t − 1 )cos t p 1 − sen^2 t
dt =
Z (^) (sen t − 1 )cos tdt √ cos^2 t =
(sen t − 1 )dt = − cos (t) − t + c = − cos (arc sen x) − arc sen x + c = −
p 1 − x^2 − arc sen x + c. x = sen t dx = cos t dt t = arc sen x cos t =
p 1 − sen^2 t =
p 1 − sen^2 (arc sen x) =
p 1 − x^2
Z (^) cos (^3) x sen^4 x dx El argumento de la integral en una función racional evaluada en seno y coseno, que es impar respecto al coseno. Por lo anterior se propone la sustitución t = sen x
Z (^) sen x + 3 cos x sen x cos x + 2 sen x dx
t = tg(x/ 2 ) ⇒ sen x = 2 t 1 + t^2 , cos x = 1 − t^2 1 + t^2 , dx = 2 dt 1 + t^2
Z (^) sen x + 3 cos x sen x cos x + 2 sen x dx =
Z (^3) + 2 t − 3 t 2 t(t^2 + 3 ) dt =
t
− 4 t + 2 t^2 + 3
dt
= log ∣t∣ − 2 log(t^2 + 3 ) + √^2 3
arc tg(t/
= log
tg(x/ 2 ) (tg^2 (x/ 2 ) + 3 )^2
arc tg
tg(x/ 2 )
