Integrales, Apuntes de Análisis Matemático

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Javier Pérez González

Departamento de Análisis Matemático

Universidad de Granada

Asignatura: Cálculo

Curso: Primero

Titulación: Ingeniero de Telecomunicación

septiembre 2006

Índice general

Universidad de Granada

• 1. Axiomas de los números reales. Desigualdades. Principio de inducción
  • 1.1. Números reales. Propiedades algebraicas y de orden
  • 1.2. Ejercicios
  • 1.3. Principio de inducción matemática
  • 1.4. Ejercicios
• 2. Funciones reales. Funciones elementales
  • 2.1. Funciones reales
  • 2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales
  • 2.3. Ejercicios
• 3. Números complejos. Exponencial compleja
  • 3.1. Operaciones básicas con números complejos
    • 3.1.1. Representación gráfica. Complejo conjugado y módulo
    • 3.1.2. Forma polar y argumentos de un número complejo
    • 3.1.3. Raíces de un número complejo
  • 3.2. Ejercicios
  • 3.3. Funciones elementales complejas
    • 3.3.1. La función exponencial
    • 3.3.2. Logaritmos complejos
    • 3.3.3. Potencias complejas Índice general II
  • 3.4. Ejerccios
• 4. Continuidad
     • 4.1.1. Propiedades básicas de las funciones continuas
  • 4.2. Teorema de Bolzano. Supremo e ínfimo
  • 4.3. Ejercicios
• 5. Sucesiones
  • 5.1. Sucesiones de números reales
    • 5.1.1. Sucesiones divergentes. Indeterminaciones en el cálculo de límites
  • 5.2. Sucesiones de números complejos
  • 5.3. Ejercicios
• 6. Continuidad en intervalos cerrados y acotados. Límite funcional
  • 6.1. Límite funcional
  • 6.2. Límites infinitos
  • 6.3. Discontinuidades. Álgebra de límites. Límites de funciones monótonas
  • 6.4. Continuidad y monotonía
  • 6.5. Indeterminaciones en el cálculo de límites
  • 6.6. Ejercicios
• 7. Derivadas
     • 7.1.1. Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica
     • 7.1.2. Derivadas laterales
  • 7.2. Teoremas de Rolle y del valor medio
    • 7.2.1. Consecuencias del teorema del valor medio
    • 7.2.2. Reglas de L’Hôpital
  • 7.3. Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor
    • 7.3.1. Consejos para calcular límites de funciones
    • 7.3.2. Consejos para calcular límites de sucesiones
    • 7.3.3. Extremos relativos. Teorema de Taylor
    • 7.3.4. Funciones convexas y funciones cóncavas
  • 7.4. Ejercicios Índice general III
• 8. Integral de Riemann
     • 8.1.1. Sumas de Riemann
     • 8.1.2. Definición y propiedades básicas de la integral
     • 8.1.3. El Teorema Fundamental del Cálculo
     • 8.1.4. Las funciones logaritmo y exponencial
  • 8.2. Integrales impropias de Riemann
    • 8.2.1. Criterios de convergencia para integrales
  • 8.3. Técnicas de cálculo de Primitivas
    • 8.3.1. Integración por partes
    • 8.3.2. Integración por sustitución o cambio de variable
    • 8.3.3. Integración de funciones racionales
    • 8.3.4. Integración por racionalización
  • 8.4. Aplicaciones de la integral
    • 8.4.1. Cálculo de áreas planas
    • 8.4.2. Ejercicios
    • 8.4.3. Longitud de un arco de curva
    • 8.4.4. Volúmenes de sólidos
    • 8.4.5. Área de una superficie de revolución
• 9. Series
  • 9.1. Conceptos básicos
  • 9.2. Criterios de convergencia para series de términos positivos
    • 9.2.1. Ejercicios
  • 9.3. Series de potencias
• 10. Cálculo diferencial en R n
  • 10.1. Estructura euclídea y topología de R n
    • 10.1.1. Sucesiones en R n
    • 10.1.2. Campos escalares. Continuidad y límite funcional
    • 10.1.3. Curvas en R n
    • 10.1.4. Derivadas parciales. Vector gradiente

Índice general IV

10.1.5. Rectas tangentes y planos tangentes...................... 179 10.1.6. Ejercicios...................................... 183 10.1.7. Extremos relativos................................ 184 10.1.8. Funciones vectoriales. Matriz jacobiana.................... 190 10.1.9. Extremos condicionados............................. 195 10.1.10.Derivación de funciones implícitamente definidas.............. 203

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Números reales. Propiedades algebraicas y de orden 2

indecidibles...). Todo lo que se demuestra es un teorema; por ejemplo 0 x = 0 es un teorema. Ocurre que el nombre teorema se reserva para resultados que se consideran realmente impor- tantes y que ha costado esfuerzo llegar a probarlos. Se usan también los términos: corolario , lema , proposición y otros. Pero la estructura de una teoría matemática elaborada se resume en un conjunto de axiomas y de teoremas que se deducen de ellos mediante reglas de inferencia lógica.

Es conveniente recordar las propiedades de los números reales porque son ellas las que nos permiten trabajar con desigualdades. Es muy fácil equivocarse al trabajar con desigualda- des. Yo creo que en el bachillerato no se le da a este tema la importancia que merece. Fíjate que algunos de los conceptos más importantes del Cálculo se definen mediante desigualdades (por ejemplo, la definición de sucesión convergente o de límite de una función en un punto). Por ello, tan importante como saber realizar cálculos más o menos complicados, es aprender a manejar correctamente desigualdades, y la única manera de hacerlo es con la práctica me- diante numerosos ejemplos concretos. Por supuesto, siempre deben respetarse cuidadosamente las reglas generales que gobiernan las desigualdades entre números y asegurarse de que se usan correctamente. Aparte de tales reglas no hay otros métodos generales que nos digan cómo te- nemos que proceder en cada caso particular.

1.1. Números reales. Propiedades algebraicas y de orden

Como todos sabéis se distinguen distintas clases de números:

Los números naturales 1,2,3,.... El conjunto de todos ellos se representa por N.

Los números enteros ...,-2,-1,0,1,2,... cuyo conjunto se representa por Z.

Los números racionales que son cocientes de la forma p / q donde p ∈ Z, q ∈ N, cuyo conjunto representamos por Q.

También conocéis otros números como

2 , π, o el número e que no son números racionales y que se llaman, con una expresión no demasiado afortunada, "números irracionales". Pues bien, el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se llama conjunto de los números reales y se representa por R.

Es claro que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Aunque los números que no son racionales pueden parecer un poco raros, no merece la pena, al menos por ahora, preocuparse por cómo son estos números; sino que lo realmente interesante es aprender a trabajar con ellos. Lo interesante del número

2 es que su cuadrado es igual a 2.

Pues bien, una de las cosas más llamativas de los números es que a partir de un pequeño grupo de propiedades pueden deducirse casi todas las demás. Vamos a destacar estas propiedades básicas que, naturalmente, hacen referencia a las dos operaciones fundamentales que se pue- den hacer con los números: la suma y el producto. La suma de dos números reales x , y se escribe x + y , representándose el producto por xy. Las propiedades básicas a que nos referimos son las siguientes.

P1 [Propiedades asociativas] ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ; ( x y ) z = x ( y z ) para todos x , y , z en R.

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Números reales. Propiedades algebraicas y de orden 3

P2 [Propiedades conmutativas] x + y = y + x ; x y = yx para todos x , y en R.

P3 [Elementos neutros] El 0 y el 1 son tan importantes que enunciamos seguidamente sus propiedades: 0 + x = x ; 1 x = x para todo x ∈ R.

P4 [Elementos opuesto e inverso] Para cada número real x hay un número real llamado opues- to de x , que representamos por − x , tal que x + (− x ) = 0.

Para cada número real x distinto de 0 , x , 0 , hay un número real llamado inverso de x , que representamos por x −^1 , tal que xx −^1 = 1.

P5 [Propiedad distributiva] ( x + y ) z = xz + y z para todos x , y , z en R.

Las propiedades anteriores son de tipo algebraico y, aunque son muy sencillas, a partir de ellas pueden probarse cosas tan familiares como que 0 x = 0 , o que (− x ) y = −( xy ).

Pero los números tienen, además de las propiedades algebraicas, otras propiedades que suelen llamarse propiedades de orden. Como todos sabemos, los números suelen representarse como puntos de una recta en la que se fija un origen, el 0 , de forma arbitraria. Los números que hay a la derecha de 0 , se llaman positivos y el conjunto de todos ellos se representa por R+. Las propiedades básicas del orden son las siguientes.

P6 [Ley de tricotomía] Para cada número real x se verifica que o bien es x = 0 , o bien x es posi- tivo, o bien su opuesto − x es positivo.

P7 [Estabilidad de R+ ] La suma y el producto de números positivos es también un número positivo.

Suele escribirse x − y en vez de x + (− y ). También, supuesto y , 0 , se escribe x / y o x y en vez de x y −^1. Los opuestos de los números positivos, es decir los elementos del conjunto R = {− x : x ∈ R+}, se llaman números negativos. Nótese que el 0 no es positivo ni negativo.

Para x , y ∈ R escribimos x < y (léase x es menor que y ) o y > x (léase y es mayor que x ) para indicar que y − x ∈ R+, y escribimos x 6 y o y > x para indicar que y − x ∈ R+^ ∪ { 0 }. En adelante usaremos las notaciones: R+ o = R+^ ∪ { 0 }, R− o = R−^ ∪ { 0 } y R∗^ = R\ { 0 }. Nótese que si x ∈R entonces − x ∈R+.

1.1 Teorema ( Reglas para trabajar con desigualdades ). Sean x , y , z números reales.

1. x 6 y e y 6 z implican que x 6 _z.

2. x_ 6 y e y 6 x implican que x = _y.
3. Se verifica exactamente una de las tres relaciones: x_ < y, x = y, o y < x. 4. x < y implica que x + z < y + _z.
4. x_ < y , z > 0 implican que xz < _y z.
5. x_ < y , z < 0 implican que xz > y z.

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Principio de inducción matemática 5

3. Prueba las siguientes desigualdades: i) 0 < x + y − x y < 1 siempre que 0 < x < 1 , 0 < y < 1.

ii)

x

a + b − x

a

b siempre que 0 < a < x < b.

4. Calcula para qué valores de x se verifica que: i) | x − 5 | < | x + 1 | ii) | x − 1 | | x + 2 | = 3 iii)

x^2 − x

iv) | x − y + z | = | x | − | z − y | v) | x − 1 | + | x + 1 | < 1 vi) | x + y + z | = | x + y | + | z | vii) | x | − | y | = | x − y | viii) | x + 1 | < | x + 3 |

5. Dado que s t < u v < x y donde t , v , y ∈ R+, prueba que s t < s^ +^ u^ +^ x t + v + y < x y . Generaliza este resul- tado.
6. Prueba cada una de las siguientes desigualdades y estudia, en cada caso, cuándo se da la igualdad. i) 2 x y 6 x^2 + y^2. ii) 4 x y 6 ( x + y )^2. iii) x^2 + x y + y^2 > 0. iv) ( a^2 + a + 1 )( b^2 + b + 1 )( c^2 + c + 1 ) > 27 abc donde a > 0 , b > 0 , c > 0. Sugerencia: para probar i) considérese ( x − y )^2. Las demás desigualdades pueden dedu- cirse de i).
7. Demuestra los teoremas (1.1) y (1.2).

1.3. Principio de inducción matemática

El Principio de inducción matemática es un método que se usa para probar que ciertas pro- piedades matemáticas se verifican para todo número natural. Considera, por ejemplo, la si- guiente igualdad en la que n ∈ N:

12 + 22 + 32 + · · · + n^2 =

n ( n + 1 )( 2 n + 1 )

Si le damos a n un valor, por ejemplo n = 2 , podemos comprobar fácilmente que la igualdad correspondiente es cierta. Si le damos a n el valor 1000 ya no es tan fácil comprobar esa igual- dad y se le damos a n el valor 101000 la cosa ya se pone realmente difícil. Pero nosotros queremos aún más, no nos conformamos con probar que esa igualdad es cierta para unos cuantos miles o millones de valores de n ; no, queremos probar que es válida para todo número natural n. En estos casos es el Principio de inducción matemática el que viene en nuestra ayuda para salvar- nos del apuro. Para nosotros el principio de inducción matemática es algo que aceptamos, es decir, puedes considerarlo como un axioma de la teoría que estamos desarrollando (aunque su formulación lo hace “casi evidente”).

Principio de inducción matemática. Sea A un conjunto de números naturales, A ⊆ N, y supon- gamos que:

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Principio de inducción matemática 6

i) 1 ∈ A

ii) Siempre que un número n está en A se verifica que n + 1 también está en A.

Entonces A = N.

El Principio de Inducción Matemática es la herramienta básica para probar que una cierta pro- piedad P ( n ) es verificada por todos los números naturales. Para ello se procede de la siguiente forma:

A) Comprobamos que el número 1 satisface la propiedad, esto es, que P ( 1 ) es cierta.

B) Comprobamos que si un número n satisface la propiedad, entonces también el número n + 1 la satisface. Es decir comprobamos que si P ( n ) es cierta, entonces también lo es P ( n + 1 ).

Nótese que en B) no se dice que se tenga que probar que P ( n ) es cierta, sino que hay que de- mostrar la implicación lógica P ( n ) =⇒ P ( n + 1 ).

Si definimos el conjunto A = { n ∈ N : P ( n ) es cierta}, entonces el punto A) nos dice que 1 ∈ A , y el punto B) nos dice que siempre que n está en A se verifica que n + 1 también está en A. Concluimos que A = N, o sea, que P ( n ) es cierta para todo número natural n.

1.3 Ejemplo. Para cada número natural n , sea P ( n ) la proposición si el producto de n números positivos es igual a 1 , entonces su suma es mayor o igual que n.

Demostraremos por inducción que P ( n ) es verdadera para todo n ∈ N. Trivialmente P ( 1 ) es verdadera. Supongamos que P ( n ) es verdadera. Consideremos n + 1 números positivos no todos iguales a 1 cuyo producto sea igual a 1. En tal caso alguno de dichos números, llamémosle x 1 , tiene que ser menor que 1 y otro, al que llamaremos x 2 , tiene que ser mayor que 1. Notando x 3 , · · · , xn + 1 los restantes números se tiene que:

( x 1 x 2 ) x 3 · · · xn + 1 = 1

es decir, x 1 x 2 , x 3 , · · · , xn + 1 son n números positivos con producto igual a 1 por lo que:

x 1 x 2 + x 3 + · · · + xn + 1 > n ( 1 )

y como 0 < ( 1 − x 1 )( x 2 − 1 ), tenemos que:

x 1 + x 2 > 1 + x 1 x 2 ( 2 )

De ( 1 ) y ( 2 ) se sigue que: x 1 + x 2 + x 3 + · · · + xn + 1 > n + 1

Hemos probado así que P ( n + 1 ) es verdadera. 

1.4 Teorema ( Desigualdad de las medias ). Cualesquiera sean los números positivos a 1 , a 2 , · · · , an se verifica que: n

a 1 a 2 · · · an 6 a^1 +^ a^2 +^ · · ·^ +^ an n y la igualdad se da si, y sólo si, a 1 = a 2 = · · · = an.

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Ejercicios 8

Lo que prueba la validez de la igualdad para n + 1. En virtud del principio de inducción, con- cluimos que la igualdad del enunciado es cierta para todo n ∈ N. 

La inducción matemática es un proceso demostrativo

Considera la expresión 991 n^2 + 1. Si la evalúas para n = 1 , 2 , 3 ,... , 100000 ,... no creo que con- sigas obtener valores de n que sean cuadrados perfectos. ¿Debemos concluir que para todo nú- mero natural n se verifica que 991 n^2 + 1 no es un cuadrado perfecto? Pues no. Entre los números de la forma 991 n^2 + 1 hay cuadrados perfectos... ¡el valor mínimo de n para el cual 991 n^2 + 1 es un cuadrado es n = 12055735790331359447442538767!

Con eso te indico que hay que ser precavido: no basta comprobar la veracidad de una ex- presión para unos cuantos valores de n para concluir que dicha expresión es cierta para todo n. La historia de las matemáticas está llena de este tipo de errores.

1.4. Ejercicios

1. Demuestra que 3 n^ − 1 es divisible por 2 para todo n ∈ N.
2. Demuestra que cualquier conjunto de número naturales, con un número finito de ele- mentos, contiene un número natural máximo.
3. Demuestra que la fórmula

2 + 4 + 6 + · · ·+ 2 n = n^2 + n + 2

cumple con el segundo paso del principio de inducción matemática. Esto es, si la fórmula es verdadera para n , también lo es para n + 1. Sin embargo, esta fórmula no es válida para n = 1. ¿Qué deduces de esto?

4. Teorema del mapa de dos colores: si se traza en una hoja de papel líneas rectas que em- piezan y terminan en un borde de la hoja, este mapa puede ser coloreado con sólo dos colores sin que ninguna región adyacente tenga el mismo color.
5. ¿Dónde está el error en el siguiente razonamiento? A) En un conjunto formado por una única niña, todas los niñas de dicho conjunto tienen el mismo color de ojos. B) Supongamos que para todo conjunto formado por n niñas se verifica que todas las niñas del conjunto tienen el mismo color de ojos. Consideremos un conjunto formado por n + 1 niñas. Quitamos una niña del conjunto y nos queda un conjunto formado por n niñas, las cuales, por la hipótesis de inducción, tie- nen el mismo color de ojos. Ahora devolvemos al conjunto la niña que habíamos sacado y sacamos otra. Volvemos a razonar como antes y deducimos que la niña que habíamos sa- cado también tiene el mismo color de ojos que las demás n niñas del conjunto. Por tanto las n + 1 niñas tienen todas ellas igual color de ojos. Como hay una niña con ojos azules, deducimos que todas las niñas tiene ojos azules.

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Ejercicios 9

6. Prueba que para todo n ∈ N se verifica que:

a ) Todos los números de la forma n^3 + 5 n son múltiplos de 6. b ) Todos los números de la forma 32 n^ − 1 son múltiplos de 8. c ) Todos los números de la forma n^5 − n son múltiplos de 5. d ) 3 no divide a n^3 − n + 1 , e ) 1 +

2 +^

3 +^

4 +^ · · ·^ +^

2 n^ >^1 +^

n 2 f ) 1 +

( 2 n − 1 )( 2 n + 1 )

n 2 n + 1

7. Dados n números positivos a 1 , a 2 ,... , an prueba que:

i) a 1 a 2

a 2 a 3

an − 1 an

an a 1

n ;

ii) n 1 / a 1 + 1 / a 2 + · · · + 1 / an 6 n

a 1 a 2 · · · an ;

iii) ( a 1 + a 2 + · · · + an )

a 1

a 2

an

n^2.

¿Cuándo las desigualdades anteriores son igualdades? Sugerencia: Usar la desigualdad de las medias aritmética y geométrica.

8. Utiliza la desigualdad de las medias para probar que:

abn^ <

a + nb n + 1

) n + 1 siendo a > 0 , b > 0 , a , b , y n ∈ N.

Deduce que para todo número natural n se verifica que: ( 1 +

n

) n <

n + 1

) n + 1 , y

n + 1

) n + 2 <

n

) n + 1

9. Sea q ∈ N y a > 0. Prueba que el número nq ( 1 + a ) n^ es muy pequeño si^ n^ es muy grande.
10. Prueba que entre todos los rectángulos de perímetro dado el de mayor área es el cuadrado.

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Funciones reales 11

Las funciones se representan por letras. En la práctica las letras más usadas son f , g y h , pero cualquiera otra es también buena. Si f es una función y x es un número que está en su dominio, se representa por f ( x ) (léase “ f de x ”) el número que f asigna a x , que se llama imagen de x por f. Es muy importante en este curso distinguir entre f (una función) y f ( x ) (un número real).

Es importante advertir que las propiedades de una función depende de la regla que la define y también de su dominio , por ello dos funciones que tienen distintos dominios se consideran distintas funciones aunque la regla que las defina sea la misma.

Criterio de igualdad para funciones.

Dos funciones f y g son iguales cuando tienen igual dominio y f ( x ) = g ( x ) para todo x en el dominio común.

Notemos también que aunque estamos acostumbrados a representar a las funciones mediante fórmulas , no siempre es posible hacerlo.

El símbolo f : A → R se utiliza para indicar que f es una función cuyo dominio es A (se supone, como hemos dicho antes, que A es un subconjunto de R)

Veamos unos ejemplos sencillos.

a) Sea f : R → R la función dada por f ( x ) = x^2.

b) Sea g : R+^ → R la función dada por g ( x ) = x^2.

c) Sea h : R → R la función dada por: h ( x ) =

0 , si x ∈ Q 1 , si x ∈ R \ Q

d) Sea f ( x ) = x^3 + 5 x + 6 x^2 − 1

Según lo antes dicho, las funciones en a) y b) son distintas. Nótese que la función definida en b) es creciente y la definida en a) no lo es.

La función definida en c) es llamada función de Dirichlet. Nótese que no es fácil calcular los valores de dicha función porque no siempre se sabe si un número real dado es racional o irra- cional. ¿Es e +π racional? Pese a ello la función está correctamente definida.

En d) no nos dan explícitamente el dominio de f por lo que se entiende que f está definida siempre que f ( x ) tenga sentido, es decir, siempre que, x^2 − 1 , 0 , esto es, para x ± 1.

El convenio del dominio

Cuando una función se define mediante una fórmula f ( x ) = fórmula y el dominio no es explí- cito, se entiende que el dominio es el mayor conjunto de valores de x para los cuales la expre-

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Funciones reales 12

sión f ( x ) tiene sentido como número real. Éste es el llamado dominio natural de la función. Si queremos restringir el dominio natural de alguna manera, entonces debemos decirlo de forma explícita.

Usaremos la notación dom ( f ) para representar el dominio de una función f (dicho dominio puede ser el natural o un subconjunto del mismo). El conjunto de todos los valores que toma una función, { f ( x ) : x ∈ dom ( f )}, suele llamarse rango o recorrido de f , o simplemente, la imagen de f y lo representaremos por imagen ( f ).

Ocurre que el dominio natural de muchas funciones es un intervalo o la unión de varios inter- valos. Recordemos el concepto de intervalo y cuántos tipos diferentes hay.

2.1 Definición. Un conjunto I ⊆ R se llama un intervalo si siempre que dos números están en I todos los números comprendidos entre ellos dos también están en I. El conjunto vacío, Ø, se considera también como un intervalo.

Además de R y del Ø, hay los siguientes tipos de intervalos^1.

Intervalos que tienen dos puntos extremos a y b (donde a 6 b son números reales):

[ a , b ] = { x ∈ R : a 6 x 6 b } ; (intervalo cerrado) ] a , b [ = { x ∈ R : a < x < b } ; (intervalo abierto) [ a , b [ = { x ∈ R : a 6 x < b } ; (intervalo abierto a derecha y cerrado a izquierda) ] a , b ] = { x ∈ R : a < x 6 b } ; (intervalo abierto a izquierda y cerrado a derecha)

Intervalos que tienen un único punto extremo c ∈ R llamado origen del intervalo:

] − ∞, c [ = { x ∈ R : x < c } ; (semirrecta abierta a la izquierda) ] − ∞, c ] = { x ∈ R : x 6 c } ; (semirrecta cerrada a la izquierda) ] c , +∞[ = { x ∈ R : x > c } ; (semirrecta abierta a la derecha) [ c , +∞[ = { x ∈ R : x > c } ; (semirrecta cerrada a la derecha)

Como es la primera vez que aparecen, hay que decir que los símbolos +∞ (léase: “más infinito”) y −∞ (léase: “menos infinito"); son eso: símbolos. No son números. Cada vez que aparece uno de ellos en una situación determinada hay que recordar cómo se ha definido su significado para dicha situación. A veces, se escribe R =] − ∞, +∞[.

La mayoría de las funciones que vamos a usar en este curso pertenecen a la clase de las funciones elementales. Se llaman así porque pueden obtenerse a partir de ciertos tipos de fun- ciones bien conocidas realizando las operaciones de suma, producto, cociente y composición de funciones.

Dadas dos funciones f y g se define su función suma (resp. producto ) como la función que a cada número x ∈ dom ( f )∩ dom ( g ) asigna el número real f ( x )+ g ( x ) (resp. f ( x ) g ( x )). Dicha función se representa con el símbolo f + g (resp. f g ). Se define la función cociente de f por g como la

función que a cada número x ∈ dom ( f ) ∩ dom ( g ) con g ( x ) , 0 asigna el número real f ( x ) g ( x )

. Dicha

función se representa con el símbolo f g

. También podemos multiplicar una función f por un

(^1) Este resultado, en apariencia evidente , no podríamos demostrarlo con las herramientas de que disponemos hasta ahora.

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Estudio descriptivo de las funciones elementales 14

Gráfica de una función

La gráfica de una función f es el conjunto de pares de números {( x , f ( x )) : x ∈ dom ( f )}.

La gráfica de una función pone de manifiesto, a simple vista, muchas de sus propiedades. Para dibujar gráficas de funciones se precisan herramientas de cálculo que estudiaremos más ade- lante.

2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales^2

Funciones polinómicas y funciones racionales

Las funciones polinómicas o polinomios son las funciones de la forma

P ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x^2 + · · · + cnxn

donde c 0 , c 1 ,... , cn son números reales llamados coeficientes del polinomio; n ∈ N es un número natural que, si cn , 0 , se llama grado del polinomio. Las funciones polinómicas tienen como dominio natural de definición la totalidad de R aunque con frecuencia nos interesará estudiar una función polinómica en un intervalo.

Mientras que la suma, el producto y la composición de funciones polinómicas es también una función polinómica, el cociente de funciones polinómica da lugar a las llamadas funciones racionales. Una función racional es una función de la forma:

R ( x ) = P ( x ) Q ( x )

donde P (el numerador) y Q (el denominador) son polinomios y Q no es el polinomio constante igual a 0. La función R tiene como dominio natural de definición el conjunto { x ∈ R : Q ( x ) , 0 }. Observa que las funciones polinómicas son también funciones racionales (con denominador constante 1 ).

Es inmediato que sumas, productos y cocientes de funciones racionales son también funciones racionales; y la composición de dos funciones racionales es también una función racional.

Raíces de un número

Dados un número real x > 0 y un número natural k > 2 , hay un único número real positivo , z > 0 , que verifica que zk^ = x. Dicho número real z se llama la raiz k -ésima o de orden k de x y se representa por k

x o por x^1 / k. Además, si y > 0 , se verifica que:

i) x < y si, y sólo si, k

x < √ ky

ii) √ kx y = k

x^ √ ky (^2) El estudio de las funciones elementales que haremos aquí se complementa con el cuaderno de Mathematica que está en http://www.ugr.es/local/fjperez/funciones_elementales.nb.

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Estudio descriptivo de las funciones elementales 15

Si x < 0 y k es impar se define k

x = − k

| x |

Potencias racionales

Dados x > 0 , p ∈ Z y q ∈ N, definimos x p / q^ = q

x p. Notemos que ( q

x ) p^ = q

x p^ pues ( ( q

x ) p

) q = ( q

x ) p q^ =

( q

x ) q

) p = x p

Naturalmente, si p / q = m / n donde m ∈ Z y n ∈ N, entonces se comprueba fácilmente que x p / q^ = xm / n. En consecuencia, si r es un número racional podemos definir, sin ambigüedad alguna, la potencia xr^ por xr^ = x p / q , donde p ∈ Z y q ∈ N son tales que r = p / q.

Logaritmos

Vamos a hacer un estudio descriptivo de estas funciones. Nos limitaremos a recordar sus definiciones y propiedades básicas, dejando para más adelante un estudio riguroso de las mis- mas.

Dado un número a > 0 , a , 1 , y un número x > 0 , se define el logaritmo en base a de x como el único número y ∈ R que verifica la igualdad ay^ = x. El logaritmo en base a de x se representa por el símbolo log a x. Observa que, por definición, para todo x > 0 es a log a^ x^ = x.

El dominio de la función log a es R+, y su imagen

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1

Figura 2.1: Función log a ( x ), ( a > 1 )

es R. La función es estrictamente creciente si a > 1 y estrictamente decreciente si a < 1. La propiedad bási- ca de los logaritmos es que convierten productos en sumas:

log a ( xy ) = log a x + log a y ( x > 0 , y > 0 )

Los logaritmos decimales corresponden a tomar a = 10 y los logaritmos naturales , también llamados neperia- nos (en honor de John Napier 1550-1617), correspon- den a tomar como base el número e. El número e es un número irracional que puede aproximarse arbitraria- mente por números de la forma ( 1 + 1 / n ) n^ para valores grandes de n. Un valor aproximado de e es 2 , 7182818284.

En esta asignatura trabajaremos siempre, salvo que explícitamente se indique lo contrario, con la función logaritmo natural, que notaremos log (la notación, cada día más en desuso, “ln”, para dicha función no será usada en este curso).

Teniendo en cuenta que log a x = log x log a ( x > 0 )

podemos deducir muy fácilmente las propiedades de la función logaritmo en base a a partir de las propiedades de la función logaritmo natural.

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez