Introducción al Cálculo Integral: Derivadas, Primitivas e Integrales - Prof. Rey Borreo, Diapositivas de Matemáticas

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Introducción

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Hasta ahora, dada una función, hemos aprendido a obtener su derivada. El

cálculo integral es el proceso que consiste en la determinación de una función,

conocida su derivada.

OBSERVACIÓN:

Dada f(x), no existe una única función primitiva de f, puesto que, si F es

una primitiva de f, la función F + C también es primitiva de f, para

cualquier constante C ∈ ℜ.

Introducción al Cálculo Integral

DEFINICIÓN:

Dada f(x) , decimos que una función F es una primitiva de f(x) si se verifica

que F ’( x ) = f ( x ).

Inmediatas Aplicadas a una función

SUMA:

CONSTANTE:

Primitivas

1 1

1

• ≠ −

C n n

x x dx

n n

∫ dx^ = x +^ C

dx x dx x C x ∫ =^ ∫ = +

− ln

(^1 )

e dx e C

x x

∫ (^ f^ ( x )+^ g ( x )) dx^ =∫ f ( x ) dx +∫ g ( x ) dx

∫ a^ f ( x ) dx =^ a ∫ f ( x ) dx a ∈^ R

∫ cos^ xdx = senx +^ C

∫ sen^ xdx =− cosx +^ C

C a R lna

a a dx

x x ∫ = + ∈

Integral de Riemann

6

a (^) b

y = f ( x )

P : Partición de [ a , b ]

• Realizamos una partición en el intervalo [a, b] (división en subintervalos),

y calculamos el área de cada uno de los rectángulos que quedan por debajo.

S 1

S 2

S 3

L( P , f ) = S 1 + S 2 + S 3 ≤ S

Integral Inferior

• Obtenemos un área que se acerca a la buscada pero es más pequeña. A

esta área se le denomina suma inferior , y se denota por L( P , f ).

a (^) b

y = f ( x )

S 3

S 4

S 1

S 2

Si hacemos una partición más fina, P’ , es decir, considerar más puntos entre

a y b, obtendremos un área que se acerca más a la buscada.

L( P , f ) ≤ L( P ’, f ) ≤ S

Integral Inferior

f ( x ) dx sup{ L ( f , P )}

P

b

a

= ∫

De esta forma definimos lo que entendemos por Integral Inferior , que,

intuitivamente hablando, es la mayor de las sumas inferiores:

Integral Inferior

a (^) b

y = f ( x )

S 1

S 2

U( P , f ) = S 1 + S 2 + S 3 ≥ S

S 3

• Realicemos ahora una partición en el intervalo [a, b] y calculemos el área

de cada uno de los rectángulos que quedan por encima.

Integral Superior

• Obtendremos un área que se acerca a la buscada pero es mayor. A esta área

se le denomina suma superior , y se denota por U( P , f ).

P : Partición de [ a , b ]

a (^) b

y = f ( x )

Integral Superior

De esta forma definimos lo que entendemos por Integral Superior , que

intuitivamente hablando, es la menor de las sumas superiores:

f ( x ) dx inf { U ( f , P )}

P

b

a

Integral Superior

REGLA DE BARROW

Sean f ∈ R [a, b] y F una primitiva de f en [a, b]. Entonces:

f ( x ) dx F ( b ) F ( a )

b

a

= − ∫

Integral de Riemann

• Cálculo de primitivas o integrales indefinidas: No tienen límites de

integración. Consiste en hallar una función cuya derivada sea la función a

integrar (esto es, una primitiva de f ):

f ( x ) dx F ( b ) F ( a )

b

a

= − ∫

f ( x ) dx = F ( x ) + C si F’ ( x ) = f ( x ) ∫

Integral indefinida (primitiva) e Integral definida

LÍMITES DE INTEGRACIÓN

• Integral definida: Posee límites de integración. Primero, se calcula una

primitiva de la función f a integrar, y luego se aplica la Regla de Barrow

para obtener el valor de la integral:

Primitivas e integral definida: Ejemplos

1 1

1

• ≠ −

∫ =

C n n

x x dx

n n

C

x C

x x dx + = +

∫ 4 1 5

4 1 5 4

∫

x dx

4

(^255)

1

2 5

1

4

−

x x dx

Primitivas e integral definida: Ejemplos

(^255)

1

5 2

1

4

−

x x dx