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Integral de l´ınea de campos escalares.
Sean f : Rn^ → R un campo escalar y C una curva parametrizada por σ : [a, b] → Rn de modo que
i) σ ∈ C(1)[a, b].
ii) σ([a, b]) ⊂ D(f ).
iii) f ◦ σ es continua en [a, b].
Se define la integral de f a lo largo de C como
∫
C
f =
∫ (^) b
a
(f ◦ σ)(t) · |σ′(t)| dt.
Si f ◦ σ es continua a trozos o bien σ es de clase C(1)^ a trozos, la integral se define como suma de las integrales en cada intervalo de continuidad.
Se puede demostrar (veremos m´as adelante el caso general) que el valor de la integral no depende de la parametrizaci´on que define la curva.
Ejemplo. Si C es la h´elice parametrizada por σ(t) = (cos t, sen t, t) (t ∈ [0, 2 π]) y f (x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 , entonces
∫
C
f =
∫ (^2) π
0
(cos^2 t + sen^2 t + t^2 ) ·
2 dt =
∫ (^2) π
0
2(1 + t^2 ) dt =
2 π
· (3 + 4π^2 ).
Interpretaci´on geom´etrica. Si P = {t 0 , t 1 ,... , tm} es una partici´on de [a, b] y ∆si =
∫ (^) ti ti− 1 |σ
′(t)| dt = |σ′(ξ i)| ·^ (ti −^ ti− 1 ) representa la longitud de la curva^ C^ en el intervalo [ti− 1 , ti], entonces
∫
C
f = l´ım m→∞
∑^ m
i=
f (ui)∆si = l´ım m→∞
∑^ m
i=
f (σ(ξi)) · |σ′ i(ξi)| · (ti − ti− 1 ).
Integral de l´ınea de campos vectoriales.
Sean F : Rn^ → Rn^ un campo de fuerzas y C la trayectoria descrita por una part´ıcula bajo la acci´on de F , parametrizada por σ : [a, b] → Rn.
Si la trayectoria es una recta dada por el vector
d y F es una fuerza constante, el
trabajo realizado por la fuerza a lo largo de la trayectoria es
F ·
d.
Si la trayectoria es una curva, dividimos [a, b] en subintervalos [t 0 , t 1 ], [t 1 , t 2 ],... , [tm− 1 , tm]
y llamamos ∆si = σ(ti) − σ(ti− 1 ) y
Fi− 1 a la fuerza aplicada en σ(ti− 1 ).
Un valor aproximado del trabajo a lo largo de la curva σ([ti− 1 , ti]) es
Wi = Fi− 1 · ∆si ∼ Fi− 1 · σ′(ti− 1 ) · ∆ti.
El valor total del trabajo se aproxima mediante la suma
W =
∑^ m
i=
Wi ∼
∑^ m
i=
Fi− 1 · σ′(ti− 1 ) · ∆ti.
Tomando l´ımites, podemos suponer que
W =
∫ (^) b
a
F (σ(t)) ·
σ′^ (t) dt.
Definici´on. Si F : Rn^ → Rn^ es un campo vectorial continuo sobre σ([a, b]) y σ ∈ C(1)[a, b], definimos la integral de l´ınea de F a lo largo de C como
∫
C
F =
∫ (^) b
a
F (σ(t)) · σ′(t) dt.
La propia definici´on indica que el valor de la integral depende, no s´olo del campo vec- torial, sino de la parametrizaci´on que define la curva. Veamos que la parametrizaci´on s´olo afecta al signo de la integral.
Cambio de par´ametro en la integral de l´ınea. Si ϕ y ψ son dos parametrizaciones regulares y equivalentes, podemos distinguir dos casos:
- Si ϕ y ψ conservan la orientaci´on, entonces
ϕ F^ =^
ψ F^.
- Si ϕ y ψ invierten la orientaci´on, entonces
ϕ F^ =^ −^
ψ F^. En el primer caso, sabemos que existe λ : [a, b] → [α, β] biyectiva y creciente (es decir λ(a) = α, y λ(b) = β), tal que ψ ◦ λ = ϕ. Entonces
∫
ϕ
F =
∫ (^) b
a
F (ϕ(t)) · ϕ′(t) dt =
∫ (^) b
a
F (ψ(λ(t))) · ψ′(λ(t)) · λ′(t) dt
∫ (^) β
α
F (ψ(u)) · ψ′(u) du =
ψ
F.
En el segundo caso, existe λ : [a, b] → [α, β] biyectiva y decreciente, tal que ψ ◦ λ = ϕ.
Demostraci´on. Definimos la funci´on auxiliar g(t) = f (σ(t)), t ∈ [a, b]. Entonces, por la regla de la cadena, g′(t) = ∇f (σ(t)) · σ′(t), de donde
∫
C
∇f ds =
∫ (^) b
a
∇f (σ(t)) · σ′(t) dt =
∫ (^) b
a
g′(t) dt = g(b) − g(a) = f (σ(b)) − f (σ(a)).
Observaciones.
- El resultado sigue siendo v´alido si la curva es regular a trozos (basta descom- poner la integral en suma de integrales sobre cada trayectoria regular).
- Si C es una curva cerrada,
C
∇f ds = 0 (pues los puntos inicial y final de la trayectoria coinciden).
Ejemplos.
- Si C es la h´elice parametrizada por σ(t) = (cos t, sen t, t), t ∈ [0, 2 π], y F (x, y, z) =
(x, y, z), entonces F = ∇f , con f (x, y, z) =
x^2 + y^2 + z^2 2
, de donde ∫
C
F ds = f (σ(2π)) − f (σ(0)) = f (1, 0 , 2 π) − f (1, 0 , 0) = 2π^2.
- Si C es la circunferencia x^2 + y^2 = r^2 , z = 1 y F (x, y, z) = (2x, 3 y^2 , 4 z^3 ), en- tonces σ(t) = (r cos t, r sen t, 1), t ∈ [0, 2 π], y F (x, y, z) = ∇f , donde f (x, y, z) = x^2 + y^3 + z^4. As´ı pues, ∫
C
F ds = f (σ(2π)) − f (σ(0)) = f (r, 0 , 1) − f (r, 0 , 1) = 0.
- Si queremos calcular el trabajo realizado por la fuerza F (−→x ) = −G
mM |−→x |^3
−→x al
mover una part´ıcula de masa m desde el punto (1, 2 , 2) hasta el punto (0, 5 , 0) a lo largo de cualquier curva suave a trozos, basta observar que F = ∇f , donde f (−→x ) = G
mM |−→x |
, de modo que
∫
C
F ds = f (0, 5 , 0) − f (1, 2 , 2) = G
mM 5
− G
mM 3
Independencia de la trayectoria.
Mediante los siguientes resultados, vamos a establecer las condiciones que se requieren para que una integral de l´ınea sea independiente de la trayectoria.
Condici´on necesaria y suficiente para que la integral sea independiente de la trayectoria.
Si F : Rn^ → Rn^ una funci´on continua en un dominio D, la integral
C
F ds es
independiente de la trayectoria si y s´olo si
C
F ds = 0 para toda trayectoria cerrada
en D.
Para poder aplicar este resultado, necesitamos responder la siguiente pregunta:
¿Qu´e funciones tienen integral independiente de la trayectoria?
Sea D un abierto conexo y representamos por ∂D a la frontera de D. Si F es continua
en D y
∂D
F ds es independiente de la trayectoria, entonces F es conservativo, es
decir F es el gradiente de alg´un campo escalar.
Basta para ello definir la funci´on f (x, y, z) =
C
F ds, donde C es cualquier curva
contenida en D que va desde un punto fijo (x 0 , y 0 , z 0 ) hasta (x, y, z), y comprobar que ∇f = F. La forma m´as sencilla de elegir dicha curva C es seguir la trayectoria formada por los tres segmentos de recta que unen los puntos (x 0 , y 0 , z 0 ), (x, y 0 , z 0 ), (x, y, z 0 ), (x, y, z), pues dichos segmentos llevan direcciones paralelas a los ejes coordenados. En la pr´actica es posible calcular el potencial de un campo conservativo mediante este m´etodo.
Ejemplo. Sean F (x, y, z) = (y, x, 0) y C la curva parametrizada por σ(t) = (t^4 / 4 , sen^3 tπ/ 2 , 0), t ∈ [0, 1]. Para calcular
C F^ , basta observar que^ F^ es un campo conservativo y que f (x, y, z) = xy es el potencial de F. Por tanto, sabiendo que σ(0) = (0, 0 , 0) y σ(1) = (1/ 4 , 1 , 0), resulta:
∫
C
F =
C
∇f = f (1/ 4 , 1 , 0) − f (0, 0 , 0) = 1/ 4.
El resultado anterior no especifica qu´e campos son conservativos pues, en general, no es sencillo comprobar la independencia de la integral respecto a la trayectoria.
¿Cu´ando un campo vectorial es conservativo?
Condici´on necesaria: Si F = (F 1 , F 2 , F 3 ) es un campo conservativo de clase C(1)
trabajo sobre electricidad y magnetismo que public´o el matem´atico y f´ısico ingl´es G. Green en 1828, aunque de forma independiente fue descubierto por el matem´atico ruso Ostrogradski.
El teorema afirma que, si F = (P, Q) : R^2 → R^2 es un campo vectorial de clase C(1) en un abierto A ⊂ R^2 y C es una curva cerrada simple suave a trozos contenida en A y que recorre en sentido antihorario la frontera de la regi´on D, entonces ∫ ∫
D
(∂Q
∂x
∂P
∂y
dxdy =
C
P (x, y) dx + Q(x, y) dy.
Esta f´ormula permite tambi´en calcular ´areas de regiones planas mediante una integral
de l´ınea. Para ello podemos utilizar cualquiera de las f´ormulas siguientes:
a(D) =
∂D
x dy =
∂D
−y dx =
∂D
x dy − y dx,
pues en los tres casos se verifica que
∂Q
∂x
∂P
∂y
El teorema de Green tambi´en es v´alido cuando la curva ∂D no es simple, por ejemplo cuando la regi´on D no sea simplemente conexa (es decir que tenga alg´un agujero en su interior).
Ejemplos.
- Calcular
C (3y^ −^ e
sen x) dx + (7x + √y (^4) + 1) dy, donde C es la circunferencia x^2 + y^2 = 9. Al aplicar el teorema de Green, si llamamos D a la regi´on x^2 +y^2 ≤ 9, la integral se calcula f´acilmente por ∫ ∫
D
(7 − 3) dxdy = 4a(D) = 4π · 32 = 36π.
- Calcular el ´area de una elipse
x^2 a^2
y^2 b^2
Parametrizamos la elipse mediante la funci´on σ(t) = (a cos t, b sen t), con 0 ≤ t ≤ 2 π. As´ı, ´area =
C
x dy =
∫ (^2) π
0
a cos t · b cos t dt = πab.
- Calcular
C
−y x^2 + y^2
dx +
x x^2 + y^2
dy, donde C es cualquier trayectoria cerrada simple y orientada positivamente, que sea frontera de una regi´on D que contiene
al origen. En este caso la funci´on integrando no es continua en el origen, de modo que definimos D′^ a la regi´on interior a C pero exterior a C′, que es la circunferencia contenida en D de centro el origen y radio ε. Sobre C ∪ C′^ la funci´on s´ı es continua, por lo que se puede aplicar el teorema de Green. Teniendo en cuenta adem´as que
∂Q
∂x
∂P
∂y
= 0, tenemos:
∫
C∪−C′
P dx + Q dy =
D′
∂Q
∂x
∂P
∂y
) dxdy = 0.
Por otra parte,
C∪−C′
P dx + Q dy =
C
P dx + Q dy −
C′
P dx + Q dy = 0, es
decir
C
P dx + Q dy =
C′
P dx + Q dy y esta ´ultima integral se puede calcular parametrizando la circunferencia C′^ por σ(t) = (ε cos t, ε sen t). As´ı: ∫
C′
P dx + Q dy =
∫ (^2) π
0
(sen^2 t + cos^2 t) dt = 2π.
Forma vectorial del teorema de Green.
Haciendo uso del operador rotacional, la f´ormula dada en el teorema de Green se puede escribir como (^) ∫
∂D
F ds =
D
rot F ·
k dxdy.
Ahora bien, por definici´on, la integral de l´ınea corresponde a la integral de la compo-
nente tangencial de
F a lo largo de la curva ∂D. Una f´ormula similar que involucra
la componente normal de
F a lo largo de ∂D es la siguiente: ∫
∂D
F · −→n ds =
D
div F dxdy
(−→n representa el vector unitario normal exterior a la curva), f´ormula que recibe el nombre de teorema de la divergencia en el plano.
Ejercicios.
- Si∫ C es el per´ımetro del cuadrado unidad, recorrido en sentido antihorario, calcular
C x
(^2) dx + xy dy.
