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Cálculo II 2.2-
§2.2 Integrales de superficie
La segunda forma de integral de campos es la integral extendida a una superficie S ⊂ 3. Las aplicaciones a la Física nos obligarán a distinguir entre campos escalares y campos vectoriales, como en las integrales de línea. Tendremos que completar la presentación de los campos vectoriales, viendo las bases vectoriales a que referir los campos en los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas. Y también tenemos que presentar la parametrización de superficies en el espacio antes de estudiar la definición, propiedades y cálculo de las integrales de superficie.
a) Preliminares sobre campos vectoriales en curvilíneas
En la sección anterior se han presentado las curvas parametrizadas en el espacio 3 y eso nos permite a continuación añadir contenidos de mucho interés para manejar los campos vectoriales en los sistemas de coordenadas curvilíneas, en particular los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas. Expresar un campo escalar en curvilíneas consiste simplemente en cambiar las coordenadas usando las relaciones de transformación. Pero expresar un campo vectorial exige no sólo cambiar las coordenadas, sino también cambiar la base de referencia en la que dar los vectores en cada punto.
a1) Base natural de un sistema de coordenadas curvilíneas generales
Si ( u,v,w ) son un sistema de coordenadas del espacio introducidas mediante unas relaciones de transformación { x = f 1 ( u,v,w ), y = f2( u,v,w ), z = f3( u,v,w )}, podemos expresar en función de ( u,v,w ) el vector de posición r ( x,y,z ) en la base cartesiana {_i , (^) _j , (^) _k } ≡ { e 1, e 2 , e 3 }:
r ( u,v,w ) = x ( u,v,w )_i + y ( u,v,w )_j + z ( u,v,w )_k = f1( u,v,w ) e 1 + f2( u,v,w ) e 2 + f3( u,v,w ) e 3 (2.2-1)
La exigencia de unicidad de coordenadas se obtiene con la condición del jacobiano
: ( , , )
( , , ) (^) det ( , , ) 0 ( , , ) ( , , ) J u v w
x y z x y z u v w u v w =
y llamaremos regulares a los puntos ( u,v,w ) que la cumplan.
Definición : Sea ( u 0 ,v 0 ,w 0 ) un punto genérico regular. Definimos las líneas coordenadas del sistema como las 3 curvas que pasan por ( u 0 ,v 0 ,w 0) en las que sólo varía una de las 3 coordenadas curvilíneas; su ecuación vectorial es sencilla a partir de (2.2-1): línea coordenada u : Cu ( u 0 ,v 0 ,w 0) ≡ { r ( u ) = r ( u,v 0 ,w 0) = x ( u,v 0 ,w 0 )_i + y ( u,v 0 ,w 0)_j + z ( u,v 0 ,w 0)_k , línea coordenada v : Cv ( u 0 ,v 0 ,w 0) ≡ { r ( v ) = r ( u 0 ,v,w 0) = x ( u 0 ,v,w 0 )_i + y ( u 0 ,v,w 0)_j + z ( u 0 ,v,w 0)_k , línea coordenada w : C (^) w ( u 0 ,v 0 ,w 0) ≡ { r ( w ) = r ( u 0 ,v 0 ,w ) = x ( u 0 ,v 0 ,w )_i + y ( u 0 ,v 0 ,w )_j + z ( u 0 ,v 0 ,w )_k.
Los vectores velocidad de estas curvas en el punto ( u 0 ,v 0 ,w 0 ) se denotan
_ gu ( u 0 ,v 0 ,w 0) :=^ ∂∂ u r (^ u 0^ ,^ v 0^ ,^ w 0 ),^ _ gv ( u 0 , v 0 , w 0) :=^ ∂∂ rv (^ u 0^ ,^ v 0^ ,^ w 0 ),^ _ gw ( u 0 ,v 0 ,w 0) :=^ ∂∂ rw (^ u 0^ ,^ v 0^ ,^ w 0 ) (2.2-3)
y forman una base tridimensional, llamada base natural del sistema. Si esta base es ortogonal, el sistema de coordenadas se dice sistema de coordenadas ortogonales. En tal caso la base normalizada de la base natural es una base ortonormal que se llama base física del sistema.
La independencia lineal de los tres vectores naturales (2.2-3) está garantizada en los puntos regulares, por la condición del jacobiano (2.2-2), ya que la matriz jacobiana , J ( u,v,w ), tiene por columnas las componentes cartesianas de los tres vectores en la base canónica { e 1, e 2, e 3} ≡ {_i , (^) _j , k}, en la que se han obtenido las derivadas, a partir de expresión canónica del vector de posición, (2.2-1). Expresar un campo vectorial F = F ( x,y,z ) en el sistema curvilíneo ( u, v, w ) no es sólo cambiar las coordenadas, sino cambiar también la base. El proceso comienza cambiando, sí, las coordenadas, obteniendo F en función de ( u, v, w ) pero todavía en la base {_i , (^) j , k}, y pasando finalmente a la base natural { gu , (^) _g v , (^) _ gw }. Esquemáticamente sería:
2.2-2 Cálculo II
F = Fx ( x,y,z )_i + Fy _jE A+ Fz _kEA
^ (2.2 1)− →
Fx ( u,v,w )A (^) _iE A+ Fy ( u,v,w )A _jE A+ Fz ( u,v,w )A (^) _kE A
c.de base: J −^1
→ F ( u,v,w ) = Fu _ g A u E + Fv _ g E A v + Fw _ g AE w
En el último paso se logra expresar el campo vectorial F en el sistema curvilíneo de un modo completo.
Definición: superficies coordenadas Otros lugares geométricos de interés, asociados a los sistemas de coordenadas son las llamadas superficies coordenadas. Son las superficies determinadas por tener constante una sóla de las coordenadas curvilíneas y permitir variar a ls otras dos en toda su extensión. Son estas superficies las que dan nombre al sistema de coordenadas: en las cilíndricas la primera superficie coordenada sería determinada por {ρ = ρ 0 = cte.}, que es una superficie cilíndrica ilimitada de radio ρ 0. Las líneas coordenadas y la base natural son elementos fundamentales de cualquier sistema de coordenadas curvilíneas. Observemos que los vectores de la base natural son, por definición, tangentes a las líneas coordenadas en cada punto en que se consideren.
a2) Bases naturales cilíndrica y esférica
Los sistemas de coordenadas clásicos del espacio, cilíndricas y esféricas, son ahora ejemplos especialmente usados de lo presentado en el caso general. Comenzamos concretándolo para el sistema cilíndrico:
ρ θ
cos θ ρ sen θ 0 θ i sen θ j sen θ ρ cos θ 0 ρ sen θ i ρ cos θ j 0 0 1 k
cos ρ cos θ i ρ sen θ j k (ρ,θ, ) z
g g g
r z J z
− +
^ =
= + + ⇒ = ^ ⇒ = −
→ figura (2.2-1a)
Por su parte, en el sistema esférico, los elementos vistos se concretan así:
φ θ
sen φ cos θ cos φ cos θ sen φ sen θ^ sen^ φ cos θ i^ sen φ sen θ j^ cos φk sen φ sen θ cos φ sen θ sen φ cos θ cos φcosθ i cos φ sen θ j sen φk cos φ sen φ (^0) sen φsenθ i sen φ cos θ j
sen φ cos θ i sen φ sen θ j cos φk
r r g r r r g r r r r (^) g r r
r r r r J
−^ =^ +^ + = + − − (^) − +
= + + ⇒ = ^ ⇒
lo que se ilustra en la figura (2.2-1b).
Ejercicio: Identificar las superficies coordenadas de los sistemas cilíndrico y esférico del espacio.
Ejemplo 2.2-1: Expresar en los sistemas cilíndrico y esférico el vector de posición r = x A _iE A+ y A _jE A+ zA _kE A.
Solución: i) En cilíndricas: r = ρcosθA _iE A+ ρsenθA _jE A+ z A _kEA ; J =
cos θ ρ sen θ 0 sen θ ρ cos θ 0 0 0 1
⇒ J ‒^1 = senρ θ^ cos θρ
cos θ sen θ 0 0 0 0 1
−
Y ahora cambiamos la base:
ρ 1 θ
ρ cos θ ρ ρ sen θ 0 z
r r J r z z
(^) = −⋅ (^) = (^)
⇒ r (ρ,θ, z ) = ρA _ g A ρE + z A _ g EA z.
ii) En esféricas: como ejercicio realizar el mismo proceso para deducir que r ( r , ϕ,θ) = r A _ g E A r #.
Ejemplo 2.2-2: Expresar en el sistema de coordenadas cilíndrico el campo w = (^) x 2 − (^) +^ y y^ (^2) i + x (^2) (^) + xy 2 j
figura 2.2- 1
g _θ
_ g ρ
_ gz
_ g θ
_ g ϕ
_ gr
2.2-4 Cálculo II
En este caso, además: D = {( u,v ) ∈ R^2 : 0≤| u |≤2, 0≤| v |≤2} ,
σ( u,v ) = ( u , v , u^2 + v^2 ) r ( u,v ) = u (^) _i + v (^) _j + ( u^2 + v^2 ) (^) _k #.
El mismo procedimiento del ejemplo se puede aplicar con cualquier superficie que venga dada por una ecuación cartesiana explícita de la forma z = f ( x, y ) (y similares con otras variables y = f ( x, z ), etc…)
Ejemplo 2.2-4: Obtener una parametrización de una superficie esférica de radio R, utilizando como parámetros las coordenadas u = colatitud esférica = ángulo complementario de la latitud esférica, v = longitud esférica. Solución: Una parametrización cartesiana { x = Rsen u cos v , y = Rsen u sen v , z = Rcos u ; u ∈]0, π[, v ∈[0, 2π[}. Una parametrización esférica sería: { r = R, ϕ = u , θ = v ; u ∈]0, π[, v ∈[0, 2π[}, como 1ª superficie coordenada del sistema esférico. #.
Ejemplo 2.2-5: Parametrizar una superficie cónica de radio R y altura 3 R, tomando origen en el vértice del cono y colocándolo en posición invertida (el vértice debajo de la base) con su altura contenida en el eje Z. Solución: Como ejercicio, parametrizar previamente sus coordenadas esféricas y pasar luego a cartesianas.
Ejemplo 2.2-6: Parametrizar el paraboloide { z = x^2 + y^2 ; x^2 + y^2 ≤ 4} tomando parámetros ( u,v ) de las coordenadas cilíndricas. Solución: Se trata de una superficie de revolución alrededor del eje Z , y su ecuación en cilíndricas relaciona z con ρ directamente: z = ρ^2 , de manera que la parametrización pedida, en cilíndricas, es: {ρ = u , θ = v , z = u^2 ; u ∈]0,2], v ∈[0,2π[}. Y en cartesianas: { x = u cos v , y = u sen v , z = u^2 ; u ∈]0, 2], v ∈[0, 2π[ } La figura (2.2-4) está elaborada en MatLab con el siguiente M-file:
El comando “syms” introduce variables reales “u” y “v”: los parámetros de la parametrización. En la línea siguiente se introduce la parametrización expresando las coordenadas cartesianas en función de ( u, v ), directamente. El comando “ezmesh” dibuja la superficie parametrizada introducida, con los dominios de los parámetros que se le indique entre corchetes, para u y para v , respectivamente. Observamos que es la misma superficie del ejemplo 2.2-3 (figura 2.2-3), pero allí se usó la parametrización cartesiana (o de Monge) en el dominio [−2, 2]×[-2, 2]. Ejemplo 2.2-7: Parametrizar una cúpula semiesférica de radio 1 con su ecuador en el plano XY y origen en el centro de su base. Solución: Como ejercicio: i) parametrizarla usando coordenadas esféricas (ver ejemplo 2.2-4). ii) usando coordenadas cilíndricas. iii) parametrización de Monge.
Ejemplo 2.2-8: Cada punto del segmento C 1 : { x = t , y = 0, z = 1; t Î[−1, 1]} se une mediante otro segmento con el punto del segmento C 2 : { x = 0, y = t , z = ‒1; t Î[−1, 1]} con el mismo valor de t. Se determina así una superficie reglada, S. Se pide parametrizarla escogiendo parámetros ( u , v ) de modo que u permita fijar los puntos que quedan unidos de los segmentos C 1 y C 2, y v determine el punto del segmento que se apoya en los dos. Solución: Como ejercicio. Como indicación: una superficie se llama reglada si está generada por rectas o segmentos de recta, que se apoyan en una curva directriz , X ( u ), en una dirección dada para cada punto de la directriz, (^) _ g ( u ), la generatriz ; la ecuación vectorial de la superficie es, entonces, r ( u,v ) = X ( u ) + v _ g ( u ). Se observa que la superficie de la figura (2.2-2) es una superficie reglada cuya directriz es una circunferencia y cuyas generatrices son rectas oblicuas al plano de la circunferencia.
clear all syms u v x=ucos(v); y=usin(v);z=u^2; ezmesh(x,y,z,[0,2],[0,2*pi]) axis equal
figura 2.2- 4
Cálculo II 2.2-
b1) Líneas coordenadas, base natural, vector normal y orientación de una parametrización
Si S ≡ (σ, D ) es una superficie parametrizada con ecuación vectorial (2.2-5), observamos que todas las figuras
presentadas hasta ahora de una superficie están trazadas a base de líneas que forman parte de la superficie y, de hecho, permiten construir un entramado reticular que da la forma de S. Estas curvas dependen esencialmente de la parametrización, como muestran las figuras (2.2-3) y (2.2-4), y forman un elemento importante de cada superficie parametrizada, de un modo tan sistemático, que debe formularse como una definición:
Definición : Se llaman líneas coordenadas de una superficie parametrizada a las curvas en el espacio y sobre la superficie que resultan de dejar variar una y sólo una de las variables u ó v manteniendo constante la otra. Si ( u 0, v 0) es un punto concreto de S tendremos dos líneas coordenadas que pasan por él: La línea coordenada u , es la curva de ecuación vectorial de parámetro u dada por Lu ≡ r = r ( u , v 0) y la línea coordenada v , curva de ecuación vectorial de parámetro v dada por Lv ≡ r = r ( u 0, v ). Estas líneas forman un entramado de curvas sobre la superficie que la estructuran en función de la parametrización. También pueden denotarse Lv (^) 0 (^) y Lu 0
respectivamente, si se destaca el parámetro que permanece constante en cada una.
Definición : La base natural de superficie se define de modo análogo a las bases naturales de los sistemas de
coordenadas curvilíneos del espacio. El vector (^) ( ) 0
d d u r u v ( ,^0^ ) u = u es la velocidad de^ Lu^ y, por tanto, tangente a la línea
coordenada. En cada punto coincide con (^) _ gu = (^) ∂^ ∂ ru ( u 0 (^) , v 0 )y lo mismo puede decirse de (^) _ gv = ∂∂ rv ( u 0 (^) , v 0 ), tangente a la línea
coordenada Lv. Ambos vectores son linealmente independientes, por la condición (2.2-7) de rango 2 de la matriz jacobiana, y forman una base bidimensional del plano tangente a S en cada punto, {_ gu , (^) _ g (^) v }, que es conocida como base
de superficie o base natural de superficie.
Con la base natural de superficie {_ gu , (^) _ g (^) v } sólo podemos describir vectores tangentes a la superficie. Para referir
un campo vectorial cualquiera en los puntos de S , necesitamos un tercer vector para completar una base tridimensional. El vector que se toma es el unitario normal a la base natural, llamado el vector normal a S en cada punto:
( , ) : u^ v u v
g g g g
N u v × ×
La base tridimensional {_ gu ( u,v ), (^) _ g (^) v ( u,v ), N ( u,v )} se conoce como el triedro de superficie y ya permite referir a ella
cualquier campo vectorial del espacio que se particularice sobre la superficie S.
El vector N ( u , v ) determina lo que llamamos orientación de la superficie : es decir, permite considerar un "encima" y un "debajo" de la superficie y, en las superficies cerradas, un "interior" y un "exterior". Para ello es preciso que la superficie sea orientable , lo que quiere decir que al variar N continuamente a lo largo y/o ancho de la superficie y regresar al punto de partida, el vector N conserva la orientación. Existen superficies no orientables (como la cinta de Moebius), pero sólo consideraremos el caso de superficies orientables, es decir con dos caras. Si se hace una reparametrización de S mediante un cambio de parámetros habrá que cuidar el detalle de si el cambio de parámetros conserva o cambia la orientación de la superficie. Si ( u, v ) = ψ( u, v ) es el cambio de parámetros, el signo del
jacobiano J ψ = det ^ ∂( *, *)∂( u^ u v , ) v es el factor decisivo en este sentido: si es positivo la orientación se conserva y si es
negativo, cambia.
En lo que sigue consideraremos superficies regulares, al menos de clase C (1, y globalmente orientables. También admitimos superficies regulares a trozos que comprenden poliedros o cilindros cerrados con sus tapas circulares, etc…
Ejemplo 2.2-9: En una superficie esférica con la parametrización estándar { r = R, ϕ = u , θ = v } como superficie coordenada el sistema de coordenadas esféricas, las líneas coordenadas también coinciden con las del sistema esférico. Es decir, las líneas Lu son las semicircunferencias de los meridianos de cada punto de la esfera, salvo los polos; las líneas Lv son las circunferencias de los paralelos de cada punto, salvo de nuevo los polos. El vector normal N es el unitario de (^) _ g ϕ por (^) _ g θ , es decir, de (^) _ gu ×_ g (^) v , que es r^2 senϕ (^) _ gr , o sea, el unitario de R^2 sen u (^) _ g (^) r que es el propio (^) _ gr , pues éste es unitario. Así, la orientación inducida por la parametrización estándar de la superficie esférica es exterior.
Cálculo II 2.2-
denotada (^) ∫∫ S (^) f ( , x y z , )d S , mediante la integral doble:
∫∫ S ^ f ( , x y z^ , )d^^ S^ :^ =^ ∫∫ D f ( ( , ), x u v^^ y u v ( , ), ( , )) |^ z u v^^ gu^ × g^ v | d d u v (2.2-12)
donde simplemente se ha entendido cada elemento de (^) ∫∫ S (^) f ( , x y z , )d S sobre la superficie parametrizada, de
modo similar a las integrales de línea de 1ª especie. Observamos que el área de S que se ha definido no es
más que (^) ∫∫ S (^) d S entendida según esta definición con f( x,y,z ) = 1.
Ejemplo 2.2-13: Calcular la integral de U = (^2 ) x + y
sobre S ≡ { z = x^2 + y^2 ; 0 ≤ z ≤ 1}, el paraboloide.
Solución: i) Parametrizamos la superficie usando como parámetros las coordenadas cilíndricas:
{ρ = u , θ = v , z = u^2 } ⇔ { x = u cos v , y = u sen v , z = u^2 ; 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2 π}
ii) Obtenemos la base natural y el d S : _ gu =^
r u
∂ ∂ = cos v^ _i^ + sen v^ _j + 2 u^ _k^ ;^ _ gv^ =^
r v
∂ ∂ =^ ‒ u^ sen v^ i^ +^ u^ cos v^ j Observando que los dos vectores son ortogonales, no es preciso efectuar el producto vectorial para calcular el d S , pues el módulo de su producto vectorial es lo que interesa y será el producto de los dos módulos. O sea: | gu × (^) _ gv | = | gu |·|_ gv |·sen(π 2 ) = |_ g (^) u |·|_ gv | = u 1 + 4 u^2 EA ⇒ d S = u A 1 + 4 u^2 EA d u d v iii) Finalmente, la integral queda:
2 2 (^ )(^ )
1 1 2 1 2 2 π^12 ∫∫ S (^) (^) x + y d^ S^ =^ ∫∫ D uu^^1 +^4 u^ d d u v^^ =^ ∫ 0 1 +^4 u^ d^ u^ ∫ 0 d^ v^ =^2 π^ ∫ 0 1 +^4 u^ d u La última integral la resolvemos por cambio de variables:
1 2
2
1 2 argSh 2 1 2 1 argSh 21 Ch 2 1 Sh 2 argSh 2 0 0 2 2 0 2 2 2 4 0
2 Sh d Ch d 0 0; 1 arg Sh(2) 1 4 Ch
1 4 d Ch d t^ d t^ t
u t u t t u t u t u t
u u t t + t
= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =
+ = ^ = = = +
∫ ∫ ∫ =
= (^) ( ) argSh 2 (^1) 2Sh Ch argSh 2 argSh 2 (^) 2·2· 1 22 argSh 2 (^5) 4 2 4 0 4 8 4 2 +^ t^ t^ = + + = +.
Luego la integral pedida es: (^) S 21 2 d π( argSh 2 2 5) x y
S
∫∫ =^ + #.
Ejemplo 2.2-14: Calcular la integral de U = A 1 + x^2 + y^2 EA sobre el helicoide {ρ = u , θ = v , z = v ; ρ∈[0, 1], θ∈[0, 2 π]} parametrizado en coordenadas cilíndricas. Solución: Como ejercicio. Resulta 83 π #.
Propiedades de la integral de superficie de campos escalares
Las propiedades son prácticamente las mismas que las de la integral de línea de 1ª especie:
- Linealidad respecto del integrando y propiedad triangular , como la integral de línea de 1ª especie.
- Aditividad respecto a las superficies, lo que permite considerar superficies regulares "a trozos".
- Propiedad de monotonía : la integral sobre la misma superficie conserva la relación de orden entre los
integrandos.
- Propiedad triangular : (^) { } ( , , )
f ( , , )d | f ( , , ) |d f ( , , ) ·Área( )
S S (^) x y z S
x y z S x y z S máx x y z S
∈
∫∫ ≤^ ∫∫ ≤
- Teorema del valor medio : Si el campo escalar U = f( x,y,z ) es continuo y la superficie S es medible, existe
un punto P 0 de S tal que f( x 0 , y 0 , z 0 )·Área( S ) = (^) ∫∫ S (^) f(x,y,z)d S.
- Invariancia de la integral de superficie respecto de la parametrización. Aunque no la probaremos es esta
propiedad la que permite denotar la integral indicando S , la superficie, en lugar de σ( D ). La demostración es
un resultado de cambio de variables mediante cambio de parametrización.
2.2-8 Cálculo II
c3) Integral de superficie de un campo vectorial: flujo
Definición:
Dado un campo vectorial w = w ( x,y,z ) = w 1 ( x,y,z )A _iE A+ w 2( x,y,z )A _jE A+ w 3( x,y,z )A _kEA , definido en su región de
influencia Ω⊂ 3 , y dada una superficie S ⊂Ω. regular y parametrizada mediante una parametrización (σ, D ),
la integral de superficie de w sobre S se define como una integral del escalar que resulta de proyectar w
sobre el vector normal N de S en cada punto, lo que produce una magnitud escalar que se llama flujo del
campo w a través de S , y se denota Φ( w , S ), de manera que
Φ ( w S , ) := (^) ∫∫ S (^) w ⋅ d S = (^) ∫∫ S w N S ⋅ d (2.2-13)
Cálculo:
Por las definiciones (2.2-8 á 11) de los elementos N , d S y d S y la de integral de 1ª especie, se
comprende que el desarrollo de la integral de 2ª especie (2.2-13) es como sigue:
Φ( w , S ) = ( ( , ), ( , ) ( , ))·| u^ v | u v d d ( , )·( (^) u v )d d u v
g g
w x u v y u v z u v g g g g u v w u v g g u v
×
∫∫ D × ×^ =^ ∫∫ D ×
es decir, el escalar que se integra en la integral del campo vectorial w es el producto mixto de w con los
vectores de la base natural:
Φ ( w , S ) = (^) ∫∫ S (^) w ⋅ d S =∫∫ D ^ w u v ( , ), gu ( , ), u v gv ( u v , ) d d u v (2.2-14)
Este producto mixto, que resulta en el integrando, puede especificarse más si se tiene en cuanta la definición
de los vectores de la base natural de superficie, porque es el determinante siguiente:
1 ( , )^2 ( , )^3 ( , )
x y z u v (^) u u u x y z v v v
w u v w u v w u v
w u v g u v g u v u v u v u v
u v u v u v
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
por lo que, desarrollando por la primera fila y teniendo en cuenta la notación jacobiano, se tiene
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
1 ( , )^ ( , ) 2 ( , )^ ( , ) 3 ( , )^ ( , ) 1 ( , )^ ( , ) 2 ( , )^ ( , ) 3 ( , ) ( , )
y z x z x y y z z x x y
w u v u v w u v u v w u v u v w u v u v w u v u v w u v u v
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ −^ ∂ +^ ∂ =^ ∂ +^ ∂ + ∂
Así pues, también puede escribirse:
( )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) d 1 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) 3 ( , ) ( , )dd
y z z x x y
w S S w S w u v u v w u v u v w u v u v uv
∂ ∂ ∂ Φ = (^) ∫∫ ⋅ =∫∫ D ∂ + (^) ∂ + ∂ (2.2-15)
La orientación concreta que tenga la parametrización de S permite especificar el sentido del flujo del campo al "atravesar" la superficie: flujo ascendente o hacia arriba, descendente o hacia abajo y, en superficies cerradas, flujo hacia el exterior o saliente y hacia el interior o entrante. Si interesa un sentido particular, debe verificarse si el que proporciona la parametrización coincide o no con el de interés. De no coincidir,, bastará cambiar el signo del flujo
obtenido. Es costumbre denotar (^) ∫∫ S el flujo sobre superficies cerradas, como con las circulaciones.
Numerosas leyes de la Física se formulan en términos de flujos de campos vectoriales significativos, ya sea en Termodinámica (el flujo del gradiente de temperaturas regula la transmisión del calor), en Electricidad (la ley de Faraday y el flujo del campo eléctrico relacionado con la corriente que circula en el borde de la superficie atravesada o la ley de Gauss, que relaciona el flujo del campo eléctrico al exterior de una superficie cerrada con la carga eléctrica acumulada en el interior de la superficie), etc…
Ejemplo 2.2-15: Hallar el flujo del campo vectorial w = r = x A_iE A+ y A _jE A+ z A_kEA al exterior de la esfera unidad, S. Solución: Se pide (^) ∫∫ S (^) r ⋅ N ext (^) d S y procedemos sistemáticamente:
- i) Parametrización de S : ya la hemos hecho para la esfera de radio R. Basta particularizar R = 1 y se tiene la parametrización como superficie coordenada de las coordenadas esféricas, que implica la parametrización cartesiana: { r = 1, ϕ = u , θ = v ; u ∈]0, π[ , v ∈[0, 2π[ } ⇒ { x = sen u cos v , y = sen u sen v , z = cos u } luego r ( u , v ) = sen u cos v A_iE A+ sen u sen v A _jE A+ cos u A_kEA
2.2-10 Cálculo II
∫ (^) ∂ (^) S w^ ⋅^ d^ r^ =^ ∫∫ S (^) ∇ ×^ w^ ⋅^ d^ S^ =^ ∫∫ S ∇ ×^ w N S ⋅ d (2.2-16)
Demostración: En la asignatura Teoría de Campos del tercer cuatrimestre.
Observemos que el Teorema de Green es un caso particular del Teorema de Stokes cuando tanto la
curva como el casquete de superficie se encuentran "aplastados" en un plano, sobre el que está definido el
campo plano w = P_i + Q_j.
Ejemplo 2.2-17: Verificar el teorema de Stokes calculando por separado los dos miembros de la igualdad, siendo: el campo w = xy r , definido en 3 , y S la semiesfera positiva con borde la circunferencia unidad del plano XY. Solución: Se observa, en primer lugar, que el campo u es regular, de clase C∞, al ser funciones polinómicas sus componentes cartesianas, ( x^2 y, xy^2 , xyz ); además w está definido en todo el espacio, o sea Ω = 3. El casquete esférico S es una superficie regular con borde regular y es simplemente conexo (sin agujeros). Luego, cuidando la orientación de S y el sentido de ∂ S , se puede aplicar el Teorema de Stokes.
- i) Se tienen las parametrizaciones siguientes: S ≡ { x = sen u cos v , y = sen u sen v , z = cos u ; 0≤ u ≤π 2 , 0≤ v ≤ 2 π} ⇒ N = (^) _ gr = r (como ya hemos visto) NOTA: en la superficie esférica considerada r es unitario y d S = |_ gu ×_ gv |d u d v = sen u d u d v (la parametrización
de S es regular si 0< u ≤π 2 , lo que excluye el punto de coordenadas cartesianas (0,0,1), polo norte de la esfera; pero en él el campo w se anula sin ninguna irregularidad, de manera que a los efectos de describir S podemos tomar 0 ≤ u ≤ π 2 y cubrir el punto dicho sin problemas. C ≡ { x = cos t , y = sen t , z = 0 ; 0≤ t ≤ 2 π} ⇒ d r = (−sen t (^) _i + cos t (^) _j )d t y w ( t ) = cos t sen t r ( t ) El sentido de recorrido de esta parametrización de ∂ S es compatible con la normal de S , como sabemos.
- ii) Expresamos los campos particularizados sobre S o ∂ S :
∇× w = 2 2
i j k
x y z x y xy xyz
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =^ xz _i^ −^ yz _j + ( y
(^2) − x (^2) )_k
luego si se particulariza el rotacional en la superficie S , se tiene: (∇× w )| S = sen u cos u cos v (^) _i − sen u cos u sen v (^) _j − sen^2 u cos^2 v (^) _k de donde: ∇× w · N = ∇× w · r = sen^2 u cos u cos^2 v ‒ sen^2 u cos u sen^2 v ‒ sen 2 u cos u cos2 v = 0 Por su parte w ·d r = ‒sen t cos t + sen t cos t ≡ 0.
- iii) No es preciso, pues, integrar porque los integrandos se anulan y la igualdad (^) ∫ S
(∇× w )· N d S = o∫
∂ S
w ·d r se
cumple, con los valores 0 = 0 #.
Aplicaciones del Teorema de Stokes
Las aplicaciones del Teorema de Stokes son muy parecidas a las del teorema de Green en el plano.
Pero nosotros en este curso nos limitaremos a la de sustitución de integrales : es decir, elegir la integral que
resulte más sencilla, el flujo del rotacional a través del casquete S o la circulación del campo a lo largo de su
borde ∂ S para efectuar cualquiera de las dos.
Supuestas las condiciones de su enunciado, se observa que el teorema nos dice que el rotacional debe
dar el mismo flujo sobre distintos casquetes que compartan el mismo borde, pues el flujo del rotacional sólo
depende del campo w y de la curva cerrada C que sea el borde común de ellos. Esto permite sustituir
casquetes complicados por otros más sencillos en condiciones de regularidad y respetando las condiciones
del enunciado de Stokes.
No hay, en cambio, una fórmula para calcular el área de los casquetes. Pero sí hay consecuencias para
los campos irrotacionales y se pueden conectar con la propiedad de anularse su circulación sobre curvas
Cálculo II 2.2-
cerradas, en condiciones de regularidad, es decir, con su naturaleza de campos conservativos. Pero esto sólo
lo hemos estudiado en el plano con el teorema de Green y en el espacio se estudia en la asignatura Teoría de
Campos (tercer cuatrimestre).
Ejemplo 2.2-18: Dado el campo w = xy _i + yz _j + xz _k, sea S el casquete cilíndrico { z = 1 ‒ x^2 ; x ∈[0, 1], y ∈[‒2, 2]} y sea C = ∂ S. Se pide calcular la circulación de w alrededor de C. (ver ejercicio nº 20 de la hoja de problemas del capítulo).
Solución: Se pide (^) ∫ C (^) =∂ S w ⋅d r. Comenzamos observando que el campo es de clase C (∞^ por tener componentes polinómicas. Por su parte, S es regular, simplemente conexa y C es cerrada, simple y regular a trozos. Se puede, pues, aplicar el Teorema de Stokes. El enunciado no precisa el sentido de recorrido: tomaremos como estándar el sentido de la normal ascendente y recorreremos ∂ S en sentido positivo alrededor de ésta (figura 2.2-6). i) Observemos el rotacional del campo para valorar aplicar Stokes: i j k w (^) x y z y i z j x k xy yz xz
∂ ∂ ∂ ∇ × = (^) ∂ ∂ ∂ = − − − (® es sencillo y puede ser ventajoso Stokes)
ii) Parametricemos S y veamos su base natural. Usaremos la parametrización de Monge: S ≡ { x = u , y = v , z = 1 ‒ u^2 ; u ∈ [0, 1], v ∈ [‒2, 2]} ⇒ r ( u, v ) = u _i + v _j + (1− u^2 )_k Luego: (^) _ gu = (^) _i ‒ 2 u _k ; (^) _ gv = (^) _j ⇒ (^) _ g (^) u × (^) _ gv = (^) _i ×_j ‒ 2 u (^) _k×_j = (^) _k + 2 u _i = 2 u _i + (^) _k (ascendente, por tener 3ª compte.>0) Además particularizamos el rotacional sobre S : ∇× w ( u , v ) = ‒ v _i ‒ (1‒ u^2 )_j ‒ u _k
iii) Finalmente obtenemos el producto mixto [∇× w ( u , v ), (^) _ gu ( u, v ), (^) _ g (^) v ( u , v )] = ∇× w ·(_ gu ×_ gv ) = ‒ 2 uv ‒ u = ‒ u (2 v + 1) iv) Y con lo ya obtenido, podemos efectuar la integral aplicando el teorema de Stokes:
( ) (^) ( ) (^) ( )( ) ( )
1 2 1 2 2 1 2 2 S d^ S u^ v d d^0 2 (2^ 1)d d^0 d^2 (2^ 1)d^202 w r w g g u v u v u v u u v v u v v ∂ − − (^) −
⋅ = ∇ × ⋅ × = − + = − + = ^ − ^ + =
∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
= − 21 ( (4 + 2) − (4 − 2) (^) )= − 2 El problema de las hojas pide hacer la integral también directamente, parametrizando la curva, lo que puede hacerse como ejercicio. #.
Ejemplo 2.2-19: Calcular el flujo del rotacional del campo w = (^) a^ y (^2) i + (^) bx (^2) j + (^) cz 2 kal atravesar en sentido
ascendente el casquete de elipsoide S ≡ { 2 2 2 2 2 2 1,
x y z a^ +^ b +^ c =^ z^ ≥^ 0} (ver ejercicio nº 5 de la hoja de problemas de exámenes del primer parcial pasados).
Solución: Como ejercicio. Resulta π (^) ( ab^ − ba ) #.
e) Teorema de Gauss
El tercer teorema fundamental de la integración de campos relaciona una integral de superficie de un
campo vectorial con una integral de volumen. Al enunciarlo hay que extender la condición de “sin agujeros”
(o simplemente conexo) de los conjuntos bidimensionales, a la condición de “sin burbujas” o retráctiles para
los conjuntos tridimensionales. Concretamente: Entendemos que una región tridimensional V es retráctil si
toda superficie cerrada contenida en V puede contraerse de un modo continuo hasta cualquier punto que
encierre sin abandonar el conjunto V en ningún momento mientras se retrae. Intuitivamente puede decirse
que V es "sin burbujas".
figura 2.2- 6
N
Cálculo II 2.2-
( )
3 π 2π (^2)
∫∫∫ V ∇ ⋅^ w S d^^ =^ ∫ ∫ ∫ 0 0 0 −2 sen^ r^^ φ cos θ^ +^5 +6 cos φ r^^ r^ senφd dφdθ r =
3 π 2π 3 2 3 3 π 2π 3 2
= ∫ ∫ ∫ 0 0 0 − 2 r sen φ cos θ + 6 r sen φ cos φ d dφdθ r + 5 V = ∫ ∫ ∫ 0 0 0 − 2 r sen φ cos θ d dφdθ r +
3 π 2π 3 4 3 3 3 π 2 2π
+ ∫ ∫ ∫ 0 0 0 6 r sen φ cos φ d dφdθ r +5· π·3 3 = 180π + ∫ 0 − 2 r d r ∫ 0 sen φdφ ∫ 0 cos θdθ +
3 3 π
+ ∫ 0 3 r d r ∫ 0 2sen φ cos φdφ ( )
2 π
∫ 0 dθ^ =180π #.
Si desea hacerse el flujo directamente, se indican los pasos preliminares: Parametrización estándar de S = ∂ V , se tiene: S ≡ { x = 3sen u cos v , y = 3sen u sen v , z = 3cos u ; u ∈ ]0, π[, v ∈ [0, 2π[} de donde: A _ g E A u = 3cos u cos v A _iE A+ 3cos u sen v A _jE A‒ 3sen u A _kE A ⇒ |A _ g E A u | = 3 A _ g E A v = ‒3sen u sen v A_iE A+ 3sen u cos v A _jE A⇒ |A _ g E A v | = 3sen u
N ext d S = (A _ g EA u ×A _ g EA v )d u d v = |A _ g E A u | |A _ g EA v | sen A^ π 2 E AA _ g E r d u d v = 9sen u (^) _ gr d u d v d S = |_ gu ×_ g (^) v |d u d v = 9 sen u d u d v Particularizaríamos el campo escalar w en la superficie para integrar… Se deja el resto como ejercicio, convencidos de que se ha elegido la integral más corta. #.
Ejemplo 2.2-21: Sea V un sólido de volumen 13 unidades, limitado por una superficie cerrada σ. Sea w el campo
vectorial definido por el vector posición r = x _i + y _j + z _k. Calcular ∫∫ σ w ⋅d S , suponiendo la orientación de σ al
exterior. Solución: Como ejercicio. Resulta 39. #.
Ejemplo 2.2-22: Sea V el cuerpo acotado determinado por { 0 ≤ z ≤ x^2^ + y^2 , x^2^ + y^2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 }. Hallar el
flujo sobre la superficie que limita V del campo F = ( y , 2 x^2 yz , y^2 z^2 ) (del ejercicio nº 4 de la hoja de enunciados de examen del primer parcial de cursos pasados). Solución: Ejercicio. Resulta π 3 #.
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