Clases de Integrales, Diapositivas de Matemáticas

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MATEMÁTICA I

CICLO: 2021-II

SEMANA 4

DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR.

ÁPLICACIONES DE LA DERIVADA

TEMA:

Al término de la sesión el estudiante:

❑ Aplica las propiedades de

derivadas trigonométricas.

❑ Aplica las propiedades de

derivadas de funciones

exponenciales y logarítmicas.

❑ Aplica regla de la cadena y

derivadas de orden superior.

❑ Desarrolla problemas de aplicación

de la derivada.

LOGRO DE LA SESIÓN

Derivada de la función seno

Consideramos x en radianes

0

( ) ( ) ´( ) lim h

f x h f x f x → h

• −

Sabemos: = , si tenemos: f^ ( ) x^ = senx

0 0

´( ) lim lim h h

f x h f x sen x h senx f x → (^) h → h

0 0

.cosh cos. (cosh 1) cos. lim lim h h

senx x senh senx senx x senh

→ (^) h → h

0 0 0 0

(cosh 1) cos. 1 cosh

lim lim .lim cos .lim

h x h h

senx x senh senh

senx x

→ h → h → h → h

= − senx .(0) +cos x .(1)  f ´( ) x =cos x

Derivadas de funciones Trigonométricas

x en radianes

Así tenemos las derivadas de las 6 funciones trigonométricas:

( x ) x dx

d cos = −sen

( x ) x dx

d (^) 2 tan = sec

( x ) x x dx

d ( x ) x x csc = −csc cot dx

d sec = sec tan

( (^) x ) (^) x dx

d (^) 2 cot = − csc

( sen^ ) cos

d x x dx

=

Observación:

¿Cómo despeja x en la siguiente ecuación y = cos(𝑥)?

Recuerde que existen funciones trigonométricas inversas.

arctan( )

arccos( )

arcsen( )

y x

y x

y x

 

1

1

1

( ), [ 1;1]; ; 2 2

cos ( ), [ 1;1]; 0;

tan ( ), ; ; 2 2

y sen x Domy Rany

y x Domy Rany

y x Domy R Rany

 



 

−

−

−

  = = − = −    

= = − =

= = = −

Notación equivalente

Entonces al despejar 𝑥 de la ecuación inicial se tiene: 𝑥 = cos

• 1 ( y )

Derivada de

Como y =arcsen( x ) , entonces: x = sen y

y = arcsen ( ) x

( ) Derivando y usando la regla de la cadena

d d

x seny

dx dx

 =  1 = cos y y  ´

1 ´

cos

y

y

 =

Si: x = sen y^2 cos y = 1 − x

2 1 − x

x

y

2

y

x

−^2

1 ( )

1

d arcsenx

dx (^) x

 =

−

Despejamos y’

Ejemplos:

Halle la derivada de las siguientes funciones:

2 a f ) ( ) x = arcsen (2 − x ) ) ( ) arccos( )

x b f x = e c f ) ( ) x = arctan( x )

Solución:

Para derivar la función haremos uso de la regla de la cadena.

Si entonces:

2 f ( ) x = arcsen (2 − x )^2 2 2

´( ) .[2 ]´

f x x

x

2 2

x

f x

x

2

a f ) ( ) x = arcsen (2 − x )

Seguimos:

) ( ) arccos( )

x b f x = e Para derivar la función haremos uso de la regla

de la cadena.

Si entonces:

'

2

x

x

f x e

e

= − ^ 

Si entonces:

2

´( ) .[ ]´

f x x

x

c f ) ( ) x =arctan( x )

( ) arccos( )

x f x = e

2

x

x

e

f x

e

f ( ) x = arctan( x )

2

f x

x x

Para derivar la función haremos uso de la regla

de la cadena.

Ejemplo:

Encuentre

Solución:

sen( 3 ) ' si 2

x y y =

( )

sen( ) '

x

dx

d y

3 = 2

( ) ( )

3

d sen( x )

y' sen( x ) ln

dx

3

d sen( x )

y' cos( x ) ( x ) ln( )

dx

3

sen( x )

y' cos( x )( ) ln( )

3  = 3 3 2 2

sen( x ) y' cos( x ) ln( )

Ejemplo:

Así:

[ ( ) ( )] [ ( )] ( ) ( ) [ ( )]

d d d f x g x f x g x f x g x dx dx dx

= +

Solución:

Si ( )^ , encuentre

x f x = xe f ´( ) x

Por la Regla del producto, tenemos:

´( ) ( )

d x f x xe dx

= ´( )^.^ ( ) ( )

d (^) x d x f x x e x e dx dx

 = +

x x

 f x = x e + e ´( )^ (^ 1).^

x

 f x = x + e

Ejemplo:

Derive:

4

y ln 3 4

x

x

  = (^)  

 − 

Solución: (^) Sabemos:

(ln ). u ´

u

u dx

d 1

( )(^ )^ ( )( )

( )

4 3 4

2

Hacemos

x x^ x^ x u u x (^) x

( )

( )

( )

( )

3 4

2

x x

u

x x

( )

( )

( )

( )

3 4

4 2

1 1 4 3 '. ' '. (^3 4 3 )

3 4

x x y u y u (^) x x x

x

 

 =  = ^ −    ^ − −       − 

4 3 '

3 4

y

x x

 = −

−

Ejercicios de refuerzo:

1. Derive:
2. Halle:
3. Derive:

y 3ln (^) ( )

3

= x + 1

ln(sen x )

dx

d

f ( x ) = ln x

(^2 2 ) 3

x x y

=

1. Derive:

Ejemplo:

El folio de Descartes es una curva que tiene por ecuación x^3 + y^3 = 6 xy

a)Encuentre y’

b)Halle la ecuación de la recta tangente al folio de Descartes en el

punto ( 3 ; 3 )

c) ¿En cuáles puntos de la curva se tiene que la recta tangente es

horizontal?

Ejercicios:

Halle dy/dx

x

y d e y

c x y x y

b x y

a x y

x

) sen

) sen( ) 0

3 2

4 3

4 3