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UNIVERSIDAD RICARDO PALMA
LICENCIAMIENTO INSTITUCIONAL RESOLUCIÓN DEL CONSEJO DIRECTIVOS N°040- 2016 - SUNEDU/CD
FACULTAD DE INGENIERÍA
Dirección Académico De Ciencias
AC-M001 ATEMÁTICA I
2021 - II
PRACTICA DE VALORES EXTREMOS Y OTROS
PROFESOR :P. CÁRDENAS TORRES
1 .- Halle los puntos críticos o estacionarios de las siguientes funciones
i)
3 4 3
F x ( ) = x + x
Solución
D F ( )=
1 2
3 3
3 2
x
F x x x
x
−
en x = 0 F '(0)no está definida, pero x = 0 D F ( )
x = − , entonces
x = − son puntos críticos.
ii)
2 3
G x ( ) = ( x − 2) ( x +2)
Solución
3 2 2 2 2
G '( ) x = 2( x − 2)( x + 2) + 3( x − 2) ( x + 2) = 0 ( x − 4)(4 x − 8) = 0
2 2
( x − 4)( x − 2) = 0 x = −2, − 2, 2, 2 son los cuatro puntos críticos.
iii.-
2
3
x
H x
x
Solución
3 2 2
6 4
x x x x x x
H x x
x x
son los puntos críticos
2.-Determine un polinomio P x ( )
de grado menor o igual que cinco tal que
P (0) = 1 , P (1) = 2 , P '(0) = P ''(0) = P '(1) = P ''(1) = 0
Solución
5 4 3 2
P x ( ) = ax + bx + cx + dx + ex + f
P (0) = 1 = f f = 1
P (1) = a + + b + c + d + e = 1 (*)
4 3 2
P '( ) x = 5 ax + 4 bx + 3 cx + 2 dx + e P '(0) = e e = 0
3 2
P ''( ) x = 20 ax + 12 bx + 6 cx + 2 d 0 = P ''(0) = 2 d d = 0
P '(1) = 5 a + 4 b + 3 c + 2 d P '(1) = 5 a + 4 b + 3 c = 0
, pues d = 0
P ''(1) = 20 a + 12 b + 6 c = 0
a b c
a b c a b c
a b c
5 4 3
P x ( ) = 6 x − 15 x + 10 x + 1
3.-Se quiere construir una pista de carrera de 400 km de perímetro de forma rectangular con
dos semicirculos en los lados opuestos del rectángulo¿Cuáles deben ser las dimensiones del
rectángulo para que el área sea máxima?. (radio de los semicirculos
b
r = )
Solución
Sean
x
y b el largo y el ancho del rectágulo , entonces su área es ( )
A = bx 1 ,el radio de los
semicirculos es
b
r = y la longitud de los semicirculos es
b
b
, pero como el perímetro
de la pista es 400 km ,entonces
400 2
2 400
x
x b b
−
( )
2
400 2 x 400 x 2 x
A A x x
es la función a maximizar ( 0 x 200 )
( )
x
A' x x
b =
( )
2
max
A = u
4.- Un rectángulo tiene 120 m de perímetro ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que
hacen que el área sea máxima?
Solución
Area del rectángulo: A = xy ,perímetro: 2 x + 2 y = 120 y = 60 − x
A x ( ) = x (60 − x ) , 0 x 60 ,
A x '( ) = 60 − 2 x = 0 x = 30 , además y = 30 y por condición del problema x = 30
Hace que el área sea máxima y
2
max
A (30) = 900 m , cuando x = y = 30 (cuando es un cuadrado).
5 .- Dado la función
3 2
y = F x ( ) = x + x − 5 x − 5
i) Halle todos los puntos críticos o estacionarios
ii) Mediante una esquena, determine los intervalos de monotonía (de crecimiento y de decrecimiento)
iii) Clasifique los puntos críticos y determine los valores extremos y los puntos cima y sima
iv) Grafique la curva
Solución
i)
2
F x = x + x − = x + x − = x = − x =
ii) Analicemos en los intervalos − −, 5 / 3 , −5 / 3,1 , 1,
Intervalos − −, 5 / 3 −5 / 3,1 1,
Valor de prueba x = − 2 x = 0 x = 2
Valor de F '( ) x
F '( 2)− = 3 F '(0) = − 5 F '(2) = 11
Signo de F '( ) x
−
Comportamiento
de
F
crece en
− −, 5 / 3]
decrece en
[ 5 / 3,1]−
crece en[1,
iii) Como el signo de F 'cambia de signo de positivo a negativo en x = −5 / 3,existe máximo y su
valor máximo es F ( 5 / 3)− =40 / 27
Como el signo de F 'cambia de signo de negativo a positivo en x = 1 ,existe mínimo y su
valor mínimo es F (1) = − 8
Punto cima (pico más alto, cúspide) Q ( 5 / 3,40 / 27) − , punto sima (valle, profundidad, abismo) Q '(1, −8)
iv)
Como h '
cambia de signo de −a
en x = −3,
existe mínimo y su valor mínimo es h ( 3,31) − =?
Como h 'cambia de signo de +a −en x = 0 existe máximo y su valor máximo es
1
(0)
4
h =
Como h '
cambia de signo de −a
en x =1,
existe mínimo y su valor mínimo es h (1,81) =?
Representación gráfica de
4 3
2
( ) 1
12 6
x x
h x = + − x +
8 .- El costo total de producción de x unidades diarias de un producto es
2
1
( ) 35 25
4
C x = x + x +
en de miles de dólares y el precio de venta de una de ellas es de
1
( ) 50
2
V x = − x miles de dólares.
i) Determine el número de unidades que se deben vender diariamente para que el beneficio sea máximo
ii ) Verifique que el costo de producción de una unidad tiene un mínimo
Solución
i) Observar que: Beneficio = Utilidad y Utilidad = Ingreso −Cos to
( ) ( ) (50 )
2
x
Ingreso = I x = xV x = x −
2
2
1 3
Cos ( ) (50 ) 35 25 15 25
2 4 4
x x
Utilidad = Ingreso − to U x = x − − x − x − = x − −
2
x
U x = x − − U x = − x = x = es el único punto critico
La producción que proporciona el mayor beneficio o utilidad es de x = 10 unidades diarias
ii ) El costo de producción de una unidad es
2
p
x x
C x
C x x
x x x
miles de dólares y
2
p
C x x
x
= − = = el mínimo costo de producción es
p
C == + + = , como está dado en miles de dólares
p
C =
9 .- El espacio recorrido por un móvil en línea recta está dado por
3 2
s t ( ) = t − 6 t + 9 t + 4 (ley del
movimiento).
i) Hallar s y la aceleración a , cuando la velocidad v = 0
ii) Hallar s y la velocidad v , cuando la aceleración a = 0
iii) ¿Cuándo aumenta s?
iv) ¿Cuándo aumenta v?
v) ¿Cuándo cambia el sentido del movimiento?
Solución
Velocidad:
2
( ) '( ) 3 12 9 3( 1)( 3)
ds
v v t s t t t t t
dt
= = = = − + = − −
Aceleración:
( ) ''( ) 6( 2)
dv d s
a a t s t t
dt
dt
= = = = = −
i) Para v = 0 t = 1 y t = 3
Para t = 1 , s = s (1) = 8 y a = a (1) = − 6
Para t = 3 , s = s (3) = 4 y a = a (3) = 6
ii) Para a = 0 t = 2 s = s (2) = 6 y v = v (2) = − 3
iii) s aumenta cuando
v 0 , es decir ,cuando
t 1 y
t 3
iv) v aumenta cuando
a 0 ,es decir, cuando
t 2
v) El sentido del movimiento cambia cuando
v = 0 y
a 0 , de (i) deducimos que el sentido
cambia cuando
t = 1 y
t = 3
10 .-La ley del movimiento rectilíneo de un cuerpo está dado por
3 2
s t ( ) = t − 9 t + 24 t , determinar
cuando aumenta y disminuye:
i) El espacio s
ii) La velocidad v
iii) La celeridad del cuerpo
iv) La distancia total recorrida en los primeros t = 5 seg del movimiento
Solución
Velocidad:
2
( ) '( ) 3 18 24 3( 2)( 4)
ds
v v t s t t t t t
dt
= = = = − + = − −
Aceleración:
( ) 6( 3)
dv d s
a a t t
dt
dt
= = = = −
i) s aumenta cuando v 0 y esto ocurre cuando t 2 y t 4
s disminuye cuando v 0 y esto ocurre cuando 2 t 4
ii) v aumenta cuando a 0 , esto es, cuando t 3
v disminuye cuando a 0 y esto ocurre cuando t 3
iii)La celeridad aumenta cuando la velocidad v y la aceleración a tienen el mismo signo y
disminuye cuando la velocidad v y la aceleración a tienen signos contrarios
Como v cambia de signo en t = 2 y t = 4 ; la aceleración a lo hace en t = 3 ,tenemos que comparar los
signos en los intervalos t 2, 2 t 3 , 3 t 4 y t 4
En el intervalo
t 2, v 0 y a 0 ,la celeridad disminuye
En el intervalo 2 t 3 , v 0 y a 0 ,la celeridad aumenta
En el intervalo 3 t 4 , v 0 y a 0 ,la celeridad disminuye
En el intervalo t 4 , v 0 y a 0 ,la celeridad aumenta
10 - Se construye una caja metálica sin tapa de máximo volumen con láminas cuadrados que
tienen 12 cm
por lado recortándole cuadrados iguales en las esquinas y doblando hacia
arriba. Calcule el máximo volumen.
Solución
Sea x el lado del cuadrado, del gráfico el volumen de la caja es V = V x ( ) = x (12 − 2 )(12 x −2 ) x
