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U de Talca
Prof. J. Contreras S. Prof. C. del Pino O.
Sesi ´on 9
Introducci´on Integral definida (o
Integral de Riemann)
Temas X Introducci´on. X Soluci´on matem´atica al problema del ´area. X Sumas de Riemann.
Capacidades B Conocer la soluci´on matem´atica al problema del ´area. B Aplicar sumas de Riemann para cal- cular aproximadamente ´areas bajo una curva.
9.1 Introducci´on
B. Riemann Alem´an. (1826 - 1866).
En esta sesi´on se revisa la forma de resolver matem´aticamente el problema del ´area, comen- tado en la sesi´on precedente. Tal como veremos a continuaci´on, el m´etodo que se usa es, esencial- mente, el m´etodo de exhauci´on de Arqu´ımedes. El valor definido, en honor al matem´atico que for- maliz´o finalmente este concepto, recibe el nom- bre de Integral de Riemann (alem´an, 1826-1866). Otros matem´aticos que aportaron a esta teor´ıa fueron: Barrow, Newton y Leibniz.
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9.2 Soluci´on matem´atica al problema del ´area
Para ilustrar la soluci´on matem´atica del problema del ´area, se trabajar´a con la funci´on y = f (x) = x^2 + 2 en el intervalo [1, 5].
Gr´afico de y = f (x) = x^2 + 2 en [1, 5]
El problema que se quiere resolver es: Determinar el ´area de la regi´on R del plano delimitada por:
- Arriba: Gr´afico de la funci´on y = f (x) = x^2 + 2.
- Abajo: Eje X.
- Izquierda: La recta x = 1.
- Derecha: La recta x = 5
Es decir, el ´area que se desea calcular, es la que se encuentra achurada en el siguiente gr´afico:
Regi´on R cuya ´area se desea calcular
Nota 9.1. Como veremos m´as adelante el valor exacto del ´area buscada es 1483 ≈
- 3333
Para, inicialmente, aproximar el ´area buscada de la regi´on R, dividamos el intervalo [1, 5] en 5 subintervalos∗^ de igual longitud, cada uno tendr´a una longitud igual a
∗ (^) Como es de suponer, se podr´ıa haber dividido, tal como se ver´a m´as adelante, en otro n´umero de
subintervalos.
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A continuaci´on, se muestran los gr´aficos de algunas sumas de Riemann y una tabla en la cual se indican el n´umero de subintervalos considerados, el valor aproximado de la respectiva suma de Riemann y una aproximaci´on del valor exacto del ´area bajo la curva:
Suma de Riemann con n = 10 Suma de Riemann con n = 20
Suma de Riemann con n = 30 Suma de Riemann con n = 40
Subintervalos Suma de Riemann Valor exacto
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Subintervalos Suma de Riemann Valor exacto
Por lo tanto, para encontrar por medio de sumas de Riemann, el ´area bajo la curva se tendr´ıa que calcular:
lim n→+∞
∑^ n
i=
f (xi)∆x
De hecho, matem´aticamente, el ´area bajo una curva se define de esta manera, tal como se plantea en la siguiente definici´on:
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Soluci´on:
- • Para n = 2, se tiene que ∆x = 2 − 2 0 = 1. Luego se tienen 2 subintervalos: [0, 1] y [1, 2]. Los puntos medios son: x 1 = 0.5 y x 2 = 1.5. Por lo tanto, la suma de Riemann es este caso es: ∑^2
i=
f (xi)∆x = f (x 1 )∆x + f (x 2 )∆x = f (0.5) · 1 + f (1.5) · 1 = 32 + 52 = 4
Luego, el ´area buscada es, aproximadamente, 4 (unidades de longitud)^2
Suma de Riemann con n = 2
- Para n = 4, se tiene que ∆x = 2 − 4 0 = 0.5. Luego se tienen 4 subintervalos: [0, 0 .5], [0. 5 , 1], [1, 1 .5] y [1. 5 , 2]. Los puntos medios son: x 1 = 0.25, x 2 = 0 .75, x 3 = 1.25 y x 4 = 1.75. Por lo tanto, la suma de Riemann en este caso es:
∑^4
i=
f (xi)∆x = f (x 1 )∆x + f (x 2 )∆x + f (x 3 )∆x + f (x 4 )∆x
= f (0.25) · 0 .5 + f (0.75) · 0 .5 + f (1.25) · 0 .5 + f (1.75) · 0. 5 = 4
Luego, el ´area buscada es, aproximadamente, 4 (unidades de longitud)^2
Suma de Riemann con n = 4
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- En esta situaci´on, casualmente, los valores entregados por estas sumas de Rie- mann particulares, entregan el valor exacto de ´area calculada. ¿Por qu´e?.
9.4 Autoevaluaci´on
Usando el m´etodo de las sumas de Riemann, calcular aproximadamente el ´area bajo la curva y =
x entre 1 y 5, tomando n = 6 y eligiendo en cada subintervalo el punto de la derecha. Respuesta: 7.18877245 (unidades de longitud)^2.
9.5 Desaf´ıo
A continuaci´on se entrega el gr´afico de y = f (x) = 1 − x^2 , entre 0 y 2. Calcular aproximadamente, usando sumas de Riemann, el ´area de la regi´on achurada R.
Gr´afico de la regi´on R
