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1 Integrales Impropias
La definición de integral de Riemann necesita dos hipótesis mínimas que son que la función sea acotada y que esté definida
en un intervalo cerrado y acotado. Cuando al menos una de estas condiciones no se cumple debemos usar otros recursos para
darle sentido a las integrales. Hablaremos de integrales impropias cuando la función no es acotada en el intervalo de integración
o cuando el intervalo de integración no es acotado, es decir tiene una de las formas: ] − ∞, a]; [a, +∞[; ] − ∞, +∞[.
1.1 Integrales impropias tipo I: Intervalos infinitos
Estas corresponden al caso en que la integración se realiza sobre un intervalo no acotado. Integrales impropias sobre intervalo
no acotados o de primera clase.
Definición 1.
1 Si la función f : [a, +∞[→ R es una función integrable en [a, c], para todo c ∈ [a, +∞[, entonces definimos:
∫ +∞
a
f (x) dx = l´ım c→+∞
∫ c
a
f (x) dx ,
cuando este límite existe.
(^2) Si la función f :] − ∞, a] → R es integrable en [c, a] para todo c ∈] − ∞, a], entonces definimos:
∫ a
−∞
f (x) dx = l´ım c→−∞
∫ a
c
f (x) dx ,
cuando este límite existe.
(^3) Si la función f :] − ∞, +∞[→ R es tal que para algún a ∈ R existen las dos integrales impropias
∫ a
−∞
f (x) dx y
∫ +∞
a
f (x) dx, entonces definimos:
∫ (^) +∞
−∞
f (x) dx =
∫ (^) a
−∞
f (x) dx +
∫ (^) +∞
a
f (x) dx.
Esta integral también puede denotarse como
∫
R
f (x) dx.
2 CAPÍTULO 1. INTEGRALES IMPROPIAS
N Es importante notar que la definición de integral impropia sobre todo R no depende del punto a elegido. Para ver esto
elijamos otro punto b y supongamos para fijar las ideas que b 6 a. Entonces,
∫ a
−∞
f (x) dx =
∫ b
−∞
f (x) dx +
∫ a
b
f (x) dx.
Así,
∫ (^) b
−∞
f (x) dx existe, y por lo tanto, la integral
∫ a −∞ f (x) dx también existe.
N Si existe el límite l´ım c→+∞
∫ c
a
f (x) dx =
∫ +∞
a
f (x) dx, diremos que la integral
∫ +∞
a
f (x) dx es convergente. De manera
análoga, si existe l´ım c→+∞
∫ c
a
f (x) dx =
∫ a
−∞
f (x) dx, diremos que la integral
∫ a
−∞
f (x) dx es convergente. Cuando los
límites que definen las integrales impropias de la definición 1.1, no existen diremos que las integrales divergen.
Sea f : [ 1 , ∞[→ R tal que f (x) =
x 2
. Analicemos la existencia de la integral de f sobre su dominio.
∫ +∞
1
f (x) dx =
∫ +∞
1
x
− 2 dx = l´ım c→∞
∫ c
1
dx
x 2
= l´ım c→+∞
x
c
1
= l´ım c→+∞
c
Analicemos la convergencia de la integral
∫ ∞
0
e
−x dx.
∫ +∞
0
e
−x dx = l´ım c→+∞
∫ c
0
e
−x dx = l´ım c→+∞
−e
−x
c
0
= l´ım c→+∞
[ 1 − e
−c ] = 1.
1.3 (Ejemplo de referencia)
El siguiente ejemplo generaliza el ejemplo 1.1 y constituye una de las bases para usar los criterios de convergencia.
Si a > 0 y p ∈ R, entonces la integral impropia de primera clase
∫ (^) +∞
a
x p
dx =
a 1 −p
p − 1
si p > 1
+∞ si p 6 1
En efecto,
4 CAPÍTULO 1. INTEGRALES IMPROPIAS
3 Cambio de variable: Si f : [a, +∞[→ R es una función continua en [a, +∞[ y si ϕ : [α, β[→ R es una función con derivada
continua en [α, β[; donde −∞ < α < β 6 +∞; y si además ϕ(α) = a, ϕ(t) → b
− , cuando t → β
− y si ϕ([α, β[) = [a, +∞[,
entonces ∫ +∞
a
f (x) dx =
∫ β −
α
f (ϕ(t))ϕ
′ (t).
(^4) Integración por partes: Si f , g son dos funciones con derivadas continuas en [a, +∞[ y son convergentes dos de los tres
términos siguientes, entonces
∫ +∞
a
f (x)g
′ (x) dx = f (x)g(x)
+∞
a
∫ +∞
a
f
′ (x)g(x) dx.
N Todas las propiedades anteriores son válidas para integrales sobre intervalos del tipo ] − ∞, a].
Criterios de convergencia para integrales de primera clase
Los criterios de convergencia están enunciados para integrales impropias sobre intervalos de la forma [a, +∞[, pero todos
ellos valen de la misma forma para intervalos del tipo ] − ∞, a].
Teorema 1.1 (Criterio de Comparación)
Sean f (x), g(x) funciones continuas, positivas y tales que g(x) 6 f (x) para todo x > a. Entonces se tiene que:
Si
∫ +∞
a
f (x) dx converge, entonces
∫ +∞
a
g(x) dx converge.
Si
∫ +∞
a
g(x) dx diverge, entonces
∫ +∞
a
f (x) dx diverge.
Demostración. Observemos que si f : [a, +∞[→ R es creciente y acotada superiormente, entonces l´ım x→+∞
f (x) existe. Definimos
la funciones F y G mediante las ecuaciones
F(x) =
∫ x
a
f (t) dt y G(x) =
∫ x
a
g(t) dt.
Ambas funciones son crecientes. En efecto, si x 1 < x 2 entonces
F(x 2 ) =
∫ x 2
a
f (t) dt =
∫ x 1
a
f (t) dt +
∫ x 2
x 1
f (t) dt = F(x 1 ) +
∫ x 2
x 1
f (t) dt.
Como f es positiva entonces la integral
∫ x 2
x 1
f (t) dt es positiva y por lo tanto, F(x 1 ) 6 F(x 2 ). Del mismo modo se prueba que G
es creciente.
Recordemos ahora, que por definición:
l´ım x→+∞
F(x) = l´ım x→+∞
∫ x
a
f (u) du =
∫ +∞
a
f (x) dx ,
l´ım x→+∞
G(x) = l´ım x→+∞
∫ x
a
g(u) du =
∫ +∞
a
g(x) dx.
Entonces, por hipótesis, l´ım x→+∞
F(x) exise y como además F(x) > G(x), la función G es creciente y acotada superiormente. Por lo
cual, l´ım x→+∞
G(x) existe. Esto es equivalente a tener la convergencia de la integral impropia de g.
1.1 Integrales impropias tipo I: Intervalos infinitos 5
En los siguientes ejemplos que veremos a continuación usaremos como integral de referencia la vista en el ejemplo 1.4,
que es una integral convergente.
(^1) La integral:
∫ ∞
1
dx
1 + x 2
es convergente.
En efecto, x 2 > 0, luego
0 6 x
2 6 1 + x
2 =⇒ 0 6
1 + x 2
x 2
∫ ∞
1
dx
1 + x 2
∫ ∞
1
dx
x 2
(^2) La integral
∫ +∞
1
| sen(x)|
x 2
dx es convergente.
Usando el criterio de comparación, tenemos:
| sen(x)| 6 1 =⇒
| sen(x)|
x 2
x 2
∫ +∞
1
| sen(x)|
x 2
dx 6
∫ +∞
1
x 2
dx.
Como
∫ +∞
1
x 2 dx es convergente, la integral dada inicialmente también converge.
3 Un ejemplo de divergencia por comparación
La integral I =
∫ +∞
1
x
x 2
dx diverge.
1 6 x implica x 2
x 2
x 2
. Multiplicando la desigualdad por x que es positivo, obte-
nemos
x
x 2
x
x 2
lo que implica que,
x + 1
x
x 2
La integral
∫ (^) +∞
1
x + 1
dx diverge, por comparación también diverge I.
Criterio de comparación al límite
Teorema 1.2 (Criterio de comparación al límite)
Sean f (x), g(x) funciones continuas, positivas y supongamos que
K = l´ım x→+∞
f (x)
g(x)
. Entonces, para x > a tenemos que:
Si K 6 = 0, entonces ambas integrales impropias sobre [a, +∞[
∫ +∞
a
f (x) dx y
∫ +∞
a
g(x) dx
convergen o ambas divergen.
Si K = 0, entonces la convergencia de
∫ +∞
a
g(x) dx implica la convergencia de
∫ +∞
a
f (x) dx.
Si K = +∞, entonces la divergencia de
∫ +∞
a
g(x) dx implica la divergencia de
∫ +∞
a
f (x) dx.
1.2 Integrales impropias de tipo II: Integrandos discontinuos 7
que q − p =
(^2) En cambio la integral J =
∫ +∞
1
x
1 + x 2
dx converge. En este caso p =
y q = 2 implican que q − p =
1.9 (Ejemplo de aplicación del teorema 1.2 cuando K = 0 )
(^1) La convergencia de I =
∫ +∞
1
exp(x
2 ) dx puede obtenerse por comparación al límite con g(x) =
x 2
En efecto, tenemos
f (x)
g(x)
x 2
e x^2
=⇒ l´ım x→+∞
f (x)
g(x)
En este caso K = 0 y la función con la cual comparamos tiene integral impropia convergente, por tanto la integral I
es convergente.
2 Para ilustrar que en el caso de K = 0 la divergencia de g no implica la divergencia de la integral de f , nos inspiramos
en el ejemplo anterior. Sea I =
∫ +∞
1
exp(x
2 ) dx y aplicaremos el teorema 1.2 con g(x) =
x
, cuya integral sobre
[ 1 , +∞[ diverge
f (x)
g(x)
x
e x^2
=⇒ l´ım x→+∞
f (x)
g(x)
Pero, como ya sabemos, la integral de f converge y la de g diverge.
1.10 (Ejemplo de aplicación del teorema 1.2 cuando K = +∞)
1 La divergencia de I =
∫ +∞
1
x
dx puede obtenerse por comparación al límite con g(x) =
x
. En efecto,
f (x)
g(x)
x √ x
x =⇒ l´ım x→+∞
f (x)
g(x)
En este caso K = +∞ y la función con la cual comparamos tiene integral impropia divergente, por tanto la integral
I es divergente.
(^2) Para ilustrar que en el caso K = +∞ la convergencia de g no implica la convergencia de la integral de f , nos
inspiraremos en el ejemplo anteior. Sea I =
∫ (^) +∞
1
x
dx y aplicaremos el teorema 1.2 con g(x) =
x 2
, cuya integral
sobre [ 1 , +∞[ converge.
f (x)
g(x)
= x =⇒ l´ım x→+∞
f (x)
g(x)
Pero, como ya sabemos, la integral de f diverge y la de g converge.
1.2 Integrales impropias de tipo II: Integrandos discontinuos
Estas integrales impropias corresponden al caso en que la función no es acotada en el intervalo de integración
8 CAPÍTULO 1. INTEGRALES IMPROPIAS
Definición 1.
(^1) Si f :]a, b] → R es una función tal que, para todo c ∈]a, b[, f es integrable en [c, b], entonces se define
∫ (^) b
a+^
f (x) dx = l´ım c→a+
∫ (^) b
c
f (x) dx ,
cuando este límite existe.
(^2) Si f : [a, b[→ R es una función tal que, para todo c ∈]a, b[, f es integrable en [a, c[, entonces se define
∫ b−
a
f (x) dx = l´ım c→b−
∫ c
a
f (x) dx ,
cuando este límite existe.
La función f (x) =
x
, no está definida para x = 0. Calculamos la integral impropia:
∫ 1
0 +
x
dx = l´ım c→ 0 +
∫ 1
c
x
dx = l´ım c→ 0 +
x
1
c
= l´ım c→ 0 +
c) = 1.
Definición 1.
Si f :]a, b[→ R es una función tal que, para todo c 1 < c 2 ∈]a, b[, f es integrable en [c 1 , c 2 ] entonces se define
∫ (^) b
a
f (x) dx = l´ım c 1 →a
∫ (^) x 0
c 1
f (x) dx + l´ım c 2 →b
∫ (^) c 2
x 0
f (x) dx ,
para cualquier x 0 ∈]a, b[, si los límites existen.
(^1) Sea f : [− 1 , 1 ] → R tal que
f (x) =
3
x
x 6 = 0
1 x = 0
Esta función no es acotada en el intervalo [− 1 , 1 ], debido a que entorno a cero tiende a ∓∞. Usaremos a definición
10 CAPÍTULO 1. INTEGRALES IMPROPIAS
En efecto, si ε > 0 tenemos ∫ b
ε
x
−p dx =
b
1 −p − ε
1 −p
1 − p
; p 6 = 1.
Entonces,
I =
∫ b
0
x
−p dx = l´ım ε→ 0
∫ b
ε
x
−p dx
= l´ım ε→ 0
b 1 −p
1 − p
ε 1 − p
1 − p
b
1 −p
1 − p
− l´ım ε→ 0
ε
1 −p
1 − p
Cuando ε → 0
tenemos:
l´ım ε→ 0 +^
ε
1 −p
l´ım ε→ 0 +
ε p− 1
si 1 − p < 0
l´ım ε→ 0 +^
ε
1 −p si 1 − p > 0
Por tanto,
l´ım ε→ 0
ε
1 −p
+∞ si 1 − p < 0
0 si 1 − p > 0
Si p = 1, entonces ∫ b
0
x
dx = l´ım ε→ 0 +^
ln(x)
b
ε
En particular, tenemos que
∫ 1 / 2
0
x 1 / 2
dx =
∫ 2
0 +
x 1 / 2
dx = 2
∫ 1 / 3
0 +
x 3 / 2
dx es divergente, pues el exponente de x es mayor que 1.
Propiedades de las integrales impropias de segunda clase
Las propiedades de la integral de Riemann se extienden, mediante procesos de paso al límite, a las integrales impropias. Por
ejemplo:
(^1) Linealidad: Si f y g son integrables en [a, b[ y si sus respectivas integrales impropias son convergentes, entonces también
existe, es decir, es convergente la integral impropia de c f + dg sobre [a, b[; cualesquiera sea c, d ∈ R y se tiene:
∫ b −
a
(c f (x) + dg(x)) dx = c
∫ b −
a
f (x) dx + d
∫ b −
a
g(x) dx.
2 Regla de Barrow: Si f : [a, b[→ R es continua en [a, b[, si F : [a, b[→ R es una función primitiva de f en [a, b[ y si existe
el límite: ∫ b −
a
f (x) dx = l´ım t→b−^
(F(t) − F(a)).
Entonces este límite es el valor de
∫ b−
a
f (x) dx lo cual lo podemos abreviar como: F(x)
b−
a
1.2 Integrales impropias de tipo II: Integrandos discontinuos 11
3 Cambio de variable: Sean f : [a, b[→ R continua, ϕ : [α, β[→ R una funci´n con derivada continua, −∞ < α < β 6 +∞
tal que ϕ(α) = a, ϕ(β) → b
− cuando t → β
− y si ϕ([α, β[) = [a, b[. Entonces
∫ b −
a
f (x) dx =
∫ β −
α
f (ϕ(t))ϕ
′ (t) dt.
Si una de las integrales es convergente (divergente) la otra también lo es.
4 Integración por partes: Si u y v son funciones con derivada continua en [a, b[ y son convergentes dos de los tres términos
de la siguiente ecuación, entonces el tercero también lo es y se tiene la igualdad:
∫ b −
a
u(x)v
′ (x) dx = u(x)v(x)
b −
a
∫ b −
a
u
′ (x)v(x) dx.
N Todas las propiedades son validas para integrales sobre intervalos de la forma ]a, b], cambiando a por a
y b
− por b.
Criterios de convergencia para integrales de segunda clase
Teorema 1.3 (Criterio de comparación)
Si f y g son funciones positivas, integrales en [x, b], para todo x ∈]a, b[ tales que f (x) 6 g(x) para todo x ∈]a, b[. Entonces,
Si
∫ b
a
g(x) dx converge, entonces
∫ b
a
f (x) dx converge. Además, se cumple que
∫ b
a
f (x) dx 6
∫ b
a
g(x) dx.
Si
∫ b
a
f (x) dx diverge, entonces
∫ b
a
g(x) dx diverge.
N La demostración del criterio de comparación está basado en las propiedades de la integral de Riemann y de los límites.
En particular de la propiedad siguiente: Si h :]a, b[→ R es creciente y acotado superiormente, entonces l´ım x→b−^
h(x) existe.
1.2 Integrales impropias de tipo II: Integrandos discontinuos 13
Implica que el límite del cociente cuando x → 0 es 1, por tanto, ambas integrales convergen, o ambas divergen; y
como la integral
∫ 1
0
x 3 / 2
es divergente; pues el exponente de x es mayor que 1, podemos concluir que
∫ 1
0
e
x
√ x 3
dx
diverge. Notemos que como ya hemos estudiado la convergencia en un intervalo del tipo S =] 0 , a[; a ∈ R, y hemos
concluido que la integral allí es divergente, no es necesario estudia que ocurre en todo R
, por cuanto si diverge en
S ⊆ R
, diverge en todo R
.
