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INTEGRALES IMPROPIAS
- Hasta ahora hemos estudiado la integral de Riemann de una función f acotada y definida en un intervalo cerrado y acotado [ a , b ], con a b , ∈ . Ahora generalizamos este concepto.
- Integral de una función acotada, definida en un intervalo no acotado ( Integral impropia de 1ª especie ). Ejemplo:
1 f ( ) x en [1, ) x
- Integral de una función no acotada, definida en un intervalo acotado ( Integral impropia de 2ª especie ). Ejemplo:
1 f ( ) x en (0,1] x
- Integral de una función no acotada, definida en un intervalo no acotado ( Integral impropia de 1ª y 2ª especie ). Ejemplo:
1 0 0 1 1ª especie 2ª especie
f ( ) x en (0, ) dx dx dx x x x x
∞ ∞
- Definición : Sea f una función acotada definida en el intervalo [ , a ∞), a ∈ . Si para todo b > a la función es integrable en [ a , b ] y además es finito el límite lim ( )
b
b →∞ ∫ a^ f^ x dx < ∞,^ se^ dice^ que^ existe^ la^ integral
impropia de f en [ , a ∞) y es convergente.
Ejemplo:
2 [^ )
1 1 2 1 2 1
( ) en 1, ;
1 1 1 lim lim lim 1 1
b b b b b
f x x
dx dx x x x b
∞ (^) − →∞ →∞ →∞
= = ^ − = ^ − + =
- Definición : Sea f una función acotada definida en el intervalo ( −∞, ], b b ∈ . Si para todo a<b la función es integrable en [ a , b ] y además es finito el límite lim ( )
b
a →−∞ ∫ a^ f^ x dx < ∞,^ se^ dice^ que^ existe^ la^ integral
impropia de f en ( −∞, ] b y es convergente.
- Definición : Sea f una función acotada definida en el intervalo ( −∞ ∞, ). Si para todo a<b la función es integrable en [ a , b ] y además son finitos los límites lim ( )
b
a →−∞ ∫ a^ f^ x dx < ∞ y^ lim^ ( )
b
b →∞ ∫ a^ f^ x dx < ∞, se dice que
existe la integral impropia de f en (^) ( −∞ ∞, ) y es convergente, es decir, ( ) lim ( ) lim ( )
c b f x dx (^) a a f x dx (^) b c f x dx
∞
∫−∞ =^ →−∞ ∫ +^ →∞∫ < ∞
Valor Principal en sentido de Cauchy
Si existe ( ) ( ) lim ( )
b f x dx f x dx (^) b b f x dx
∞ ∞
∫−∞ ⇒^ ∫−∞ =→∞∫−
La implicación contraria no se da.
Ejemplo:
2 2
1 (^2 2 2 2 22 )
es convergente para todo 2 ya que (1 ) 1 1 1 1 1 0 y lim lim. (1 ) 2
x
b b x (^) b b
dx x x e
dx dx x x e x x x
∞
∞ (^) − →∞ →∞
≤ ≤ = = ^ − =
Ejemplo:
1 5 / 3 2 / 3 2 / 3 1/ 3 5 / 3 5 / 3 (^11)
(^2) es divergente para todo 1 ya que 2 (^2 1) y 1 1 lim 3. 2 2 2 2 2
b b
x (^) dx x x x x (^) x x dx x x x
∞
− ∞ − →∞
(^) ≥
(^) > = = = ∞
Ejercicio : Estudie para qué valores de α ∈ es
convergente la integral de la función
f ( ) x x^ α
= en el
intervalo [ , a ∞), con a >0.
- Integrales impropias de 2ª especie Definición: Sea f una función definida en ( a , b ] y
supóngase que f es integrable en [ a + ε , ] b ∀ε > 0. Si
existe y es finito el límite 0
lim ( )
b
ε → +^ ∫ a^^ +^ ε f^ x dx < ∞ , se dice
que existe la integral impropia de f en ( a , b ] y es convergente.
Análogamente:
- La integral de una función f no acotada en el intervalo [ a , b ) se define como el límite (cuando existe y es finito): 0
lim ( )
b a f^ x dx
ε ε +
−
→ ∫^
- Si la función f no está acotada en c ∈ [ a , b ], entonces se define
0 0
( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
b c b c b a f^ x dx^ a f^ x dx^ c f^ x dx^ a f^ x dx^ c f^ x dx
ε ε +^ ε + ε
−
∫ =^ ∫ +^ ∫ =^ → ∫ + → ∫+
Teorema: Sea f una función definida en ( a , b ] que tiene función primitiva F. Entonces si 0
lim F a ( ) k ε
→
verifica que ( )
b
∫ a f^ x dx es convergente y además
b
∫ a f^ x dx^ =^ F b^ − k
Ejercicio: Estudie la convergencia de:
y de: 2
( ) ln( ), (0,1] 1 ( ) , [ 2,3]
f x x x
g x x x
