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Definiciones: Capital: Unidades monetarias expresadas en determinado momento del tiempo.
Plazo: Valor absoluto expresado en unidades de tiempo en que se desarrolla la operación.
MATEMÁTICA FINANCIERA
Capital monetario expresado en unidades monetarias en el momento 0 del plazo. Capital Inicial
Capital monetario expresado en unidades monetarias en el momento final del plazo de la operación. Capital Final o Monto.
Unidades temporales: días, meses, semestres o años.
Dicho precio se denomina entonces: Interés; que medido en términos monetarios refleja el alquiler por prestar dicho capital a otro o el costo por tomarlo prestado.
La variable relativa que determina el precio de tomar prestado un capital o el ingreso futuro de invertir es la tasa de interés. Está expresada como un tanto por ciento, por ejemplo una tasa del 6%, indicaría que por cada $1 prestado recibiré 6 centavos de Interés.
El lapso de tiempo en que transcurre la operación financiera de entrega y devolución del capital monetario lo denominamos plazo de la operación.
Existe en la matemática financiera entonces, dos leyes para el cálculo de capitales de determinado momento del tiempo:
La primera de ellas es la Capitalización. Se utiliza cuando quiero calcular el valor futuro de un capital expresado en unidades monetarias actuales. Dicho cálculo depende de la tasa de interés pactada, del capital inicial y el tiempo de la operación.
La segunda ley se denomina Actualización. Se utiliza cuando quiero calcular el valor actual de un capital expresado en unidades monetarias en el futuro. Este valor actual dependerá entonces de la tasa de interés pactada, del mismo capital futuro y el tiempo de la operación.
1. Interés Simple: Conceptos y Generalidades
Se define Matemática Financiera como el conjunto de herramientas matemáticas destinadas a cuantificar el valor del dinero en el tiempo.
Si tenemos un capital monetario hoy, tenemos dos opciones: gastarlo satifsfaciendo alguna necesidad hoy o invertirlo para recuperarlo en un futuro. Esa decisión de invertir depende en gran medida de la compensación monetaria que recibamos en el futuro. Es justamente ese sacrificio del consumo, lo que nos lleva a determinar el precio del dinero en el tiempo.
Tasa de Interés: Variable relativa, porcentaje que mide la proporción del valor del dinero en el tiempo; siempre expresada en tanto por uno.
La característica funadmental del Interés Simple es que los Intereses se calculan siempre sobre el capital inicial que da origen a la operación.
Interés: Variable absoluta. Expresado en términos monetarios es el precio por el alquiler o uso del dinero durante el tiempo pactado en la operación financiera.
Intereses acumulados desde el momento en que se inicia la operación y el final.
Intereses periódicos del momento p
Por lo tanto los intereses periódicos son constantes, esto define al Interés Simple como una función lineal. Este tipo de cálculo es el utilizado
en los plazos fijos, en el cálculo de intereses de mora y en general a operaciones a corto plazo.
Introducción
Descripción de fórmulas para el cálculo de intereses bajo régimen simple, proceso de capitalización y actualización.
Tasa de interés pactada de la operación.
Cuadro de marcha: Capitalización en el Interés Simple
Plazo
Interés
Periódico
Formulas del Interés Simple
Capital Inicial Monto
El Capital final es el resultado de la suma del Capital Inicial y los Intereses acumulados
El Interés acumulado está en función del producto del capital inicial por la tasa de interés y el plazo
Ley de Capitalización: Capital final en función del Capital Inicial, la tasa de interés y el plazo.
Ley de Actualización: Capital Inicial en función del Capital Final, la tasa de interés y el plazo.
FACTOR DE ACTUALIZACIÓN DEL INTERÉS SIMPLE
Plazo de la operación en función del Capital Inicial, Capital Final y Tasa de Interés
Tasa de Interés de la operación en función del Capital Inicial, Capital Final y el plazo.
FACTOR DE CAPITALIZACIÓN DEL INTERÉS SIMPLE
𝐶𝑛 = 𝐶 0 + 𝐼 (^0) ,𝑛
𝐼 (^0) ,𝑛 = 𝐶 0 × 𝑖 × 𝑛
𝐶𝑛 = 𝐶 0 ( 1 + 𝑖𝑛)
𝐶 0 = 𝐶𝑛 1 + 𝑖𝑛 −^1
𝐶 0
𝐶 0 𝐶 0 𝑖 (^) 𝐶 1 = 𝐶 0 + 𝐼 (^0) , 1 = 𝐶 0 + 𝐶 0 𝑖 = 𝐶 0 1 + 𝑖
𝐶 1 = 𝐶 0 1 + 𝑖 𝐶 0 𝑖 𝐶 2 = 𝐶 0 1 + 𝑖 + 𝐶 0 𝑖 = 𝐶 0 1 + 2𝑖
𝐶 2 = 𝐶 0 1 + 2𝑖 𝐶 0 𝑖 𝐶 3 =^ 𝐶 0 1 +^ 2𝑖^ +^ 𝐶 0 𝑖^ =^ 𝐶 0 1 +^ 3𝑖
𝑛 − (^1) 𝐶 3 = 𝐶 0 1 + 3𝑖 𝐶 0 𝑖 𝐶𝑛− 1 = 𝐶 0 1 + 3𝑖 + 𝐶 0 𝑖 = 𝐶 0 1 + 𝑛 − 1 𝑖
𝑛 𝐶𝑛− 1 = 𝐶 0 1 + 𝑛 − 1 𝑖 𝐶 0 𝑖^ 𝐶𝑛^ =^ 𝐶^0 1 +^ 𝑛^ −^1 𝑖^ +^ 𝐶^0 𝑖^ =^ 𝐶^0 1 +^ 𝑖𝑛
𝑛 =
𝐶𝑛 − 𝐶 0 𝐶 0 𝑖
𝑖 =
𝐶𝑛 − 𝐶 0 𝐶 0 𝑛
Dos capitales expresados en distintos momentos del tiempo son equivalentes si actualizados a la misma tasa, tienen el mismo valor actual. En régimen simple de interés si dos capitales son equivalentes en determinado momento del tiempo, solo lo serán en dicho periodo.
Supongamos los siguientes datos para una operación financiera a interés simple:
$ 100, 5,00%
Periodo Capitalización Actualización 0 $ 100 $ 100 1 $ 105 $ 104 2 $ 110 $ 109 3 $ 115 $ 114 4 $ 120 $ 119 5 $ 125 $ 125
Si ese mismo capital inicial de $100 es capitalizado cuatro meses a una tasa mensual del 5%, obtenemos un monto de $120.
Si actualizamos $125 del periodo 5, un solo periodo, a una tasa del 5%, tenemos el valor en el mes 4 de $119.
Plazo medio de una operación a interés simple
Interés acumulado de invertir un capital A, a una tasa i, durante α periodos
Interés acumulado de invertir un capital B, a una tasa i, durante b periodos
Interés acumulado de invertir un capital C, a una tasa i, durante c periodos
Interés acumulado de invertir la suma de los capitales A, B y C, a una tasa i, durante n periodos n es el plazo medio de la operación
Si igualamos en términos de intereses acumulados:
Equivalencia financiera:
Si calculamos el valor actual de un capital que dentro de 5 meses equivale a $125 a una tasa mensual del 5%, obtenemos un valor hoy de $ Por lo tanto los capitales de $100 hoy y $125 en el mes 5, son equialentes financieramente a una tasa del 5% mensual..
Dada una serie de capitales ( A, B y C)depositados en distintos momentos del tiempo (a, b y c) y evaluados a una misma tasa de interés i, hallar un tiempo único (promedio ponderado) que tendrían que estar colocados a la misma tasa para producir los mismos intereses.
En interés simple, el plazo medio está dado por la suma de cada uno de los capitales invertidos multiplicado por su respectivo plazo, dividido en la suma de los capitales invertidos; siempre que estén valuados a la misma tasa de interés.
Esto demuestra que no hay equivalencia en ningún otro momento del tiempo.
Si un capital de $100 es capitalizado cinco meses a una tasa mensual del 5%, obtenemos un monto de $
Definición de plazo medio de una operación financiera
Definición de Equivalencia Financiera
Interés Simple
Tasa efectiva mensual
Capital Inicial
Equivalencia Financiera
𝐼𝐴 0 ,𝑎 = 𝐴 × 𝑖 × 𝑎
𝐼𝐵 0 ,𝑏 = 𝐵 × 𝑖 × 𝑏
𝐼𝐶 0 ,𝑏 = 𝐶 × 𝑖 × 𝑐
𝐼𝐴𝐵𝐶 0 ,𝑛 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 × 𝑖 × 𝑛
𝐴 × 𝑖 × 𝑎 + 𝐵 × 𝑖 × 𝑏 + 𝐶 × 𝑖 × 𝑐 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 × 𝑖 × 𝑛
𝑖 𝐴 × 𝑎 + 𝐵 × 𝑏 + 𝐶 × 𝑐 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 × 𝑖 × 𝑛
𝐴 × 𝑎 + 𝐵 × 𝑏 + 𝐶 × 𝑐 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 × 𝑛
𝐴 × 𝑎 + 𝐵 × 𝑏 + 𝐶 × 𝑐
𝐶 4 = 100 1 + 0 , 05 × 4 = 120
𝐶 4 = 125 1 + 0 , 05 × 1 −^1 = 119
Ejemplo:
Determinar el plazo medio de dicha operación.
Si desarrollamos con la teoría tradicional:
Utilizando la fórmula de plazo medio:
Tres capitales de $2.000, $8.000 y $2.500 fueron colocados a la misma tasa del 10% mensual durante 4, 10 y 5 meses respectivamente.
𝐼𝐴 0 , 4 = 2. 000 × 0 , 10 × 4 = 800
𝐼𝐵 0 , 10 = 8. 000 × 0 , 10 × 10 = 8. 000
𝐼𝐶 0 , 5 = 2. 500 × 0. 10 × 5 = 1. 250
𝐼𝐴𝐵𝐶 0 ,𝑛 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 × 𝑖 × 𝑛
10. 050 = 12. 500 × 0 , 10 × 𝑛
𝐴 × 𝑎 + 𝐵 × 𝑏 + 𝐶 × 𝑐
2. 000 × 4 + 8. 000 × 10 + 2. 500 × 5
Incidencia de la Inflación:
En presencia de Inflación, es necesario disponer de más dinero para adquirir en términos de bienes o productos la misma cantidad en el tiempo.
Ejemplo:
Se pide calcular el monto pasados los 30 días.
Primer paso:Calculamos Ca, capital ajustado por inflación
Segundo paso: Calculamos el monto total, capitalizado a la tasa de rendimiento real
El monto al final del mes asciende a $110,
El monto al final del mes asciende a $110,
Se pacta un plazo fijo a 30 días a una tasa mensual del 1% ajustable por inflación. Se sabe además que la inflación fue del 9% mensual.
El objetivo de la matemáticafinanciera es estimar la variación de los capitales financieros a través del tiempo, sabemos que dicha variación está determinada por la tasa de interés que representa el precio del dinero en el tiempo.
La tasa de interés i, que conocemos hasta ahora debe estar compuesta por dos factores importantes, en primer lugar compensar la pérdida de poder adquisitivo del dinero (Inflación) y en segundo lugar el rendimiento real del capital.
En otras palabras, si yo presto determinada cantidad de dinero, que hoy me permite comprarme unbien X, esperaría que al final del plazo, el monto a devolver me permita comprarme ese mismo bien (compesacion por inflación) y además un premio por no disponer de ese dinero durante el plazo de la operación (rendimiento real del capital).
Cuando las economías presentan procesos inflacionarios importantes, se hace dificil estimar la tasa de interés a la cual invertir o tomar prestado. Es ahí donde surgen los métodos indexables por inflación. En estas operaciones se pacta una tasa fija (rendimiento real del capital) mas el ajuste inflacionario periódico correspondiente. Esto origina las operaciones a tasa varible.
Otra manera de resolver el problema anterior, en un solo paso, es ajustar por inflación y tasa de redimiento real juntas, siermpre y cuando se trate de un solo periodo:
Inflación
𝐶𝑎 = 𝐶𝑜 ( 1 + π × 𝑛)
𝐶𝑎 = 100 ( 1 + 0 , 09 × 1 )
𝐶𝑛 = 109 ( 1 + 0 , 01 × 1 )
𝐶𝑛 = 𝐶 0 ( 1 + 𝒓 × 𝑛)
𝐶𝑛 = 𝐶 0 1 + π × 1 + 𝒓
𝐶𝑛 = 100 1 + 0 , 09 × 1 + 0 , 01
EJEMPLO
CFT de un Plazo Fijo El Banco Nación me ofrece la siguiente cotización para un plazo fijo que pienso abrir:
Los gastos por mantenimiento de cuenta tienen un valor de $5.000.
Primer paso:
Calculamos la tasa efectiva anual implícita en el Plazo Fijo
i 365 = (^) 34,00%
Calculamos el Impuesto Cedular a pagar
T (^) x = (^) 21.752,
Calculamos el importe neto recibido por el inversionista
Calculamos el CFT como tasa efectiva anual
i 365 = (^) 32,37%
El costo financiero total de la inversión es de 32,37% efectivo anual por efectos de Impuestos y gastos de mantenimiento de cuenta.
El costo financiero total hace referencia a aquella tasa de interés implícita en una operación financiera, incluyendo por lo tanto, cobros de comisiones, impuestos y otros gastos asociados a la operación realizada.
Costo Financiero Total (C.F.T) de una Operación a Interés Simple
Es importante tener en cuenta que las instituciones financieras harán efectivo el cobro de los gastos y comisiones en el momento en que entregan o desembolsan el dinero al usuario.
Se sabe además que el Impuesto cedular (Renta Financiera) en Pesos para 2021 es de 5% sobre el excedente del mínimo no imponible de $123.862 de los intereses ganados.
Es decir que invertir en un plazo fijo que me prometía el 34% anual de interés; pero después de Impuestos y Gastos, termina rindiendo el 32,37%
558. 904 , 11 = 10. 000. 000 × 𝑖 ×
𝑇𝑥 = 558. 904 , 11 − 123. 862 × 5%
