Interpolador lineal y cuadrática, Diapositivas de Métodos Numéricos

¡Descarga Interpolador lineal y cuadrática y más Diapositivas en PDF de Métodos Numéricos solo en Docsity!

4.1 INTERPOLACION LINEAL Y

CUADRATICA

4.1 INTERPOLACION LINEAL Y CUADRATICA

 (^) La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos.  (^) El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:  (^) (xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)  (^) Se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.  (^) La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática cuando se tomen tres.

RECTA DE INTERPOLACIÓN LINEAL

 (^) Dados los puntos de la función (x1, y1) y (x2, y2), queremos estimar el valor de la función en un punto x en el intervalo x1<x<x2.  (^) Para ello utilizamos la semejanza de los triángulos ABD y CAE, obteniendo la siguiente proporcionalidad de segmentos: AB/AC=BD/CE.

 (^) Despejando el segmento BD (ya que el punto D es el que desconocemos) obtenemos:  (^) BD=(AB/AC)∙CE. Traduciendo al lenguaje algebraico obtenemos que:  (^) Y despejando y, obtenemos:

 (^) Ejemplo: En una determinada empresa de conservas se hace un estudio de los ingresos que se obtienen a partir de los gastos. Estos datos se recogen en la siguiente tabla (en miles de euros).  (^) A partir de los datos recogidos en la tabla, calcular: a) Los ingresos que se pueden esperar si hemos realizado un gasto de 4000 euros. b) Los ingresos obtenidos si en esta ocasión el gasto es de 6000 euros.  (^) En primer lugar podemos comenzar representado los datos facilitados por la tabla en el eje de coordenadas ( no es obligatorio pero nos facilita la visión del ejercicio).

 (^) Como no conocemos la función mediante la que se han obtenido los datos, vamos a utilizar la interpolación lineal.  (^) a) Cuando x=4, vamos a utilizar los datos que nos proporciona la tabla x1=3 y x2=5, cuyos valores respectivos son f(x1)=10 y f(x2)=14.  (^) Utilizando la fórmula de interpolación mencionada, sustituimos los valores que mencionados obteniendo:

 (^) b) De forma análoga al apartado anterior, en este caso tenemos que repetir la interpolación, ya que ahora el valor que nos piden es x=6 (no os olvidéis que los datos están dados en miles de euros), y esta valor está entre 5<x<7. En este caso sustituiremos en la fórmula x1=5 y y2=7, cuyos valores respectivos son f(x1)=y1= y f(x2)=y2=22. Obtenemos por tanto la siguiente fórmula:

 (^) Donde al sustituir por 4 obtenemos:  (^) Por tanto, si el gasto es de 6000 euros, los ingresos obtenidos serán de 18000 euros.

 (^) En el ejemplo 1 se da el método de resolver el sistema para encontrar los valores que determinan a la función cuadrática (a, b y c)  (^) También podemos utilizar la expresión del polinomio interpolador así:  (^) y= a + b(x-x 0 ) + c(x-x 0 )(x-x 1 ), con lo que la búsqueda de los coeficientes es muy sencilla.  (^) Lagrange (1736-1813) dio una manera simplificada de calcular los polinomios interpoladores de grado n Para el caso de un polinomio de 2º grado que pasa por los puntos (x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ):

 (^) Que es la fórmula de Lagrange para n=2.  (^) Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre valores conocidos. El método mas común empleado para este propósito es la interpolación polinomial.  (^) Recuerdese que la fórmula general de un polinomio de n-ésimo orden es: