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1. ¿UNA IDEA ESOTÉRICA O UNA IDEA
CIENTÍFICA?
Aunque la idea de “la cuarta dimensión” ha sido a partir del siglo XIX cuando ha comenzado a alcan- zar una cierta popularidad, parece, según Rucker, que ya había sido insinuada unos doscientos años antes por el platónico Henry More (1614-87). More se oponía a la idea de que los espíritus, los ángeles y las ideas platónicas pudieran existir sólo como abs- tracciones insubstanciales, sino que él creía que existían realmente y que ocupaban algún lugar en el espacio. Ahora bien, este espacio no podía ser el tri- dimensional a que estamos acostumbrados, sino que debía ser cuadridimensional (1).
Ya en el siglo XIX, fue el astrónomo alemán Johann Karl Friedrich Zöllner (1834-82) el que, con su Cuarta dimensión y ocultismo, más contri- buyó a popularizar la idea espiritista de que los fantasmas proceden de la cuarta dimensión y de que es en ella donde hacen sus “diabluras” incom- prensibles para nosotros. A este autor se refiere
precisamente Julio Rey Pastor en una serie de conferencias que dio en el Ateneo de Madrid en
- Después de haber estado hablando del espacio formal, axiomatizado, dice.
“De intento hemos pasado por alto el número de dimensiones del espacio físico, problema extraño a la matemática. Omitimos, en consecuencia, las diversas razones de índole filosófica, matemática, química, etc., que se han aducido para probar la posibilidad de un espacio cuadridimensional: el argumento de los poliedros simétricos, el del átomo plurivalente, etc. Pero citaremos siquiera las curiosas teorías del astrónomo Zöllner, profesor de la Univer- sidad de Leipzig hacia el año 70.
“Dio el famoso Slate unas sesiones de espiritis- mo - prosigue el ilustre matemático español -, en las cuales, una vez puesto en comunicación con los espíritus, desataba lazos inextricables, hacia desaparecer objetos diversos sin que los asistentes lograran dar con ellos, y después los hacía apare- cer... No sólo creyó Zöllner en la verdad de tales experimentos, sino que ideó una teoría para expli- carlos.
Julián Sanz Pascual
(1) R. RUCKER, La cuarta dimensión , Salvat, Barcelona 1987, p. 63 y ss.
“Pensemos en los animales planos que viven en una superficie, la cual constituye para ellos todo el espacio físico. Imaginémonos trasladados a ese mundo plano, análogo al de la conocida novela inglesa Flatland (Más adelante hablaremos de ella). Si retiramos un objeto de ese mundo, deja de ser visible para sus habitantes; y para justificar esta desaparición, y su reaparición después, tendrán que idear esos pobres bichos alguna explicación sobre- natural. Pues bien, dice Zöllner: ¿No estaremos nosotros en un caso análogo? Nuestros sentidos no perciben más allá de un espacio de tres dimensio- nes; para un médium que esté en relación con seres exteriores a nuestro espacio, y que goce de una visión perfecta (privilegiada), capaz de percibir la cuarta dimensión, podrá alejar objetos de nuestro espacio visible y hacerlos reaparecer, efectuar opera- ciones para nosotros imposibles, como son: lograr la coincidencia de un tetraedro con su simétrico (un equivalente a hacer coincidir dos guantes de distinta mano), soltar lazos inextricables, etc..., que en el espacio de cuatro dimensiones no ofrecen dificul- tad” (2).
La verdad es que, según la historia que se cuenta, Zöllner no consiguió probar su teoría con hechos y menos aún librar al famoso Slate de la sentencia que un tribunal inglés había dictado contra él por embaucador. Y me parece que, hoy por hoy, esta pretendida relación entre la cuarta dimensión y las ciencias ocultas no pasa de ser vana palabrería.
La ciencia seria, sin embargo, ha tratado de darle salida al tema de la cuarta dimensión identificándo- la con el tiempo. La figura científica que se conside- ra más ligada a esta concepción es Albert Einstein (1879-1955). En su primera Memoria sobre la relati- vidad, publicada en 1905, propuso que a las tres dimensiones del espacio físico se añadiese el con- cepto “tiempo”, la cuarta dimensión, teoría que había sido esbozada ya por su maestro Minkowski. Henri Poincare (1954-1912) se pronuncia en un sentido muy similar. Después de haber especulado ampliamente sobre el tema de la cuarta dimensión, concluye: “Todo sucede como si el tiempo fuese una cuarta dimensión del espacio, como si el espa- cio de cuatro dimensiones que resulta de una com- binación del espacio ordinario y del tiempo, pudiese
girar no sólo en torno a un eje del espacio ordinario, de manera que el tiempo no sufriese alteración, sino en torno a un eje cualquiera.... Para que la compa- ración sea matemáticamente justa, es necesario atri- buir valores puramente imaginarios a la cuarta ordenada del espacio” (3).
Conviene decir que el tema de la cuar ta dimensión y su relación con el tiempo era algo que estaba latente en el ambiente científico y aún literario de aquellos años. Así, no faltan autores que atribuyen el origen de la idea al Reverendo Edwin Abbott Abbott, director-jefe de la Escuela de la Cuidad de Londres. Este hombre escribió hacia 1895 un libro de ciencia-ficción titulado Fla- tland, un cuento en varias dimensiones, que es al que se ha referido Rey Pastor. Primero describe un mundo en dos dimensiones, un simple plano, habitado por seres inteligentes “incapacitados para comprender nada ajeno a su espacio y sin medios para escapar de la superficie en que viven”. Los habitantes de ese extraño país son figuras planas y su forma depende del estado social de cada uno. Las mujeres, inferiores en la escala jerárquica, son simples líneas rectas; los sol- dados y obreros destinados a los trabajos más pesados son triángulos; la clase media tiene forma de triángulo equilátero; los hombres de las profe- siones liberales y los señores son cuadrados; y así sucesivamente siguiendo el orden poligonal hasta llegar a los hombres de iglesia formados por polí- gonos de infinito número de lados, tan diminutos cada uno que semejan circunferencias. Fig. 1.
Figura 1. Ocho habitantes de Planilandia: Mujer, Soldado, Obrero, Comerciante, Profesional, Caballero, Noble y Sumo Sacerdote. (R. Rucker).
(2) J. REY PASTOR, Introducción a la matemática superior , Biblioteca Corona, Madrid 1916, pp. 56-57. (3) POINCARE, H., El espacio y el tiempo , Universidad Autónoma de Méjico 1964, p. 98.
tingente de las cosas, lo incierto, lo dinámico, lo ilógico digo yo en mi libro Primer discurso de iló- gica (Tecnos, Madrid 1992), mientras que el espa- cio representa lo necesario, lo cierto y lo estático, lo lógico en una palabra.
La diferencia entre el espacio y el tiempo se entiende muy bien, creo yo, en el lenguaje ordina- rio: en lo que va de la escritura a la lectura. Aque- lla es espacial, ésta es temporal. La primera nos ofrece los signos como inmóviles (estáticos) al sen- tido de la vista, mientras que la segunda nos los ofrece como móviles (dinámicos) al del oído: es lo que nos permite al sentido entender de manera no idéntica signos que visualmente son idénticos. Ejemplo: “Sal a la calle y di a esa gente que se calle ”. Visualmente (espacialmente) los dos térmi- nos “calle” son idénticos, pero al sentido auditivo (temporalmente) son distintos. Esto tiene la venta- ja de que con la misma letra se puedan hacer muchas músicas: “Fin de un modelo político”, “Fin de un político modelo”. Tiene el inconvenien- te de que resulta muy difícil, por no decir imposi- ble, el dominio de la semántica mediante un método, lo que se convierte en el muro contra el que se estrella hoy la moderna informática.
En lo que se refiere al mundo físico, se acepta que la realidad de éste es dinámica, temporal, pero no sólo las cosas animadas, sino también las inanimadas. El Premio Nobel de Química Ilya Pri- gogine ha teorizado esto en lo que él llama “estructuras disipativas” (6). Podemos entender que “estructura disipativa” es lo mismo que “estructura abierta”. En el lenguaje ordinario, las palabras responden a una estructura disipativa o abierta, es decir, que sus posibilidades de signifi- cación nunca están cerradas o agotadas, sino que se van abriendo a medida que, en el uso inteligen- te y sensible del lenguaje, se van produciendo desequilibrios, a medida que los signos se van desespacializando o desidentificando; o lo que es lo mismo, a medida que se van temporalizando. En el lenguaje ordinario esto ocurre siempre que de la escritura se pasa a la lectura, cuando de la letra se pasa a la música.
3. LA CUARTA DIMENSIÓN
Y LAS MATEMÁTICAS.
Contra lo que hemos visto que decía Rey Pas- tor, que la cuarta dimensión es “un problema extraño a la matemática”, pienso que, si en algu- na ciencia tiene sentido hablar de ella, es precisa- mente en ésta, aunque quizá deberíamos hablar mejor de “las matemáticas”. ¿O es que el término “dimensión” y su correspondiente concepto no pertenecen a la más pura geometría? Claro está que, para entrar en la “cuarta”, algo completa- mente nuevo, que no “extraño”, es necesario abandonar el puro formalismo, el de la matemáti- ca, y adentrarse por los inseguros y resbaladizos caminos de la intuición, los de las matemáticas.
De acuerdo con el llamado “último teorema de Fermat”, la ecuación de tres cubos, x 3 = y 3 + z^3 , no tiene soluciones racionales (7). Para un matemático formalista, las ecuaciones cúbicas diofánticas han terminado ahí. Si no es posible solucionar racionalmente una ecuación de tres cubos, ¿en qué cabeza cabe que se pueda solucio- nar una de cuatro o más? Sin embargo, para un matemático intuicionista, parece claro que, si la ecuación de tres cubos no puede tener soluciones, la de cuatro sí ha de tenerlas. La razón es ésta: si un plano está determinado por tres puntos no en la misma recta, un espacio lo ha de estar por cua- tro no en el mismo plano. Fig. 3.
Figura 3.
(6) I. PRIGOGINE, El nacimiento del tiempo, Tusquets, Barcelona 1991, p. 32. (7) Ver, por ejemplo: C. GOLDSTEIN, “El teorema de Fermat”, Rev. Mundo científico, Barcelona, mayo 1994, p. 419.
En el primer caso, la relación de esos tres pun- tos será cuadrática, que es la que corresponde a la naturaleza del plano: es el teorema de Pitágoras como relación más simple, x 2 = y 2 + z^2 , que tiene múltiples soluciones racionales. En el segundo caso, la relación de los cuatro puntos ha de ser cúbica, x 3 = y^3 + z^3 + t^3 , que es la que corres- ponde a la naturaleza del espacio. En efecto, por simple tanteo, se puede descubrir que 6 3 = 5^3 + 4 3 + 3^3. De esta ecuación apenas se han ocupado matemáticos como Euler en el siglo XVIII (8), Ramanujan en el XX y dos o tres más que yo sepa. El indio Ramanujan tiene una fórmula espléndida que permite obtener nuevas solucio- nes, además de las apuntadas:
x = 3a^2 + 5ab - 5b^2 y (^) = 4a 2 - 4ab + 6b 2 z = 5a^2 - 5ab - 3b^2 t = 6a^2 - 4ab + 4b 2 (9) Dando valores a las variables “a” y “b”, se obtienen soluciones como éstas, que se pueden comprobar:
3, 36, 37, 46; 18,19, 21, 28; 27, 30, 37, 46. Yo mismo he ideado una fórmula que, a partir de soluciones ya conocidas, permite obtenerlas nuevas:
d 2 + a 2 - b 2 - c^2 x = a - m m = ———————- y = b + m a + b + c - d z = c + m t = d + m Prueba, con las soluciones 3, 4, 5, 6: 6 2 + 3^2 - 4^2 - 5^2 x = 3 - 2/3 = 7/ m = ———————- y = 4 + 2/3 = 14/ 3 + 4 + 5 - 6 z = 5 + 2/3 = 17/ t = 6 + 2/3 = 20/ En efecto, simplificando, se puede comprobar que 7^3 + 14^3 + 17^3 = 20^3
Esta fórmula tiene dos posibilidades más:
d 2 - a 2 + b^2 - c^2 x = a + m m = ———————- y = b - m a + b+ c - d z = c + m t = d + m
A partir de las soluciones 3, 4, 5, 6, obtenemos 6, 1, 8, 9.
d 2 - a 2 - b^2 + c^2 x = a + m m = ———————- y = b + m a + b + c - d z = c - m t = d + m
A partir de las soluciones 3, 4, 5, 6, obtenemos 9, 10, - 1, 12.
4. LA ECUACIÓN DE LOS CUATRO CUBOS
EN LA GEOMETRÍA Y EN LA ARITMÉTICA
Es de suponer que, si la ecuación de tres cua- drados ha dado lugar a toda una geometría, la del plano, la de cuatro cubos ha de dar lugar a otra geometría, la del espacio. El capítulo de la geo- metría del espacio, la verdadera geometría del espacio se entiende, a partir de la ecuación de cuatro cubos, está en blanco, salvo lo poco que yo he publicado. Entre ello está, aparte de algunas construcciones nuevas que he conseguido hacer, una secuencia que permite pasar de las relaciones cúbicas en el espacio a las cuadráticas en el plano. La inversa parece que no es posible, al menos a priori, lo que quiere decir que la verdadera geo- metría del espacio implica la del plano, pero no a la inversa. Dicho en otros términos, que a partir de la ecuación de cuatro cubos se puede deducir la de tres cuadrados, pero no a la inversa (10).
En este breve apunte, sólo diré que, combinan- do construcciones geométricas y desarrollos alge- braicos, he conseguido algo tan espectacular y tan nuevo como solucionar (con soluciones racionales positivas) una ecuación diofántica de un número impar de cubos, a partir de la de siete.
Partiendo de las soluciones 7, 14, 17, 20, tene- mos que 7^3 + 14^3 = 20^3 - 17^3 ; de aquí 7^3 (1 3 + 23 ) = 3087 = 3^2 .7^3. Dividiendo por 7 3 , queda 1 3
(8) L. EULER, Introductio in analysin infinitorum , Lausanne, Apud Marcum-Michaelem Bousquet et Socios, 1748, tomo II, pág. 202. (9) Ver: HARDY-WRIDTH, An introduction to the theory of numbers, Oxford 1956, pp. 190-203. (10) Ver: SANZ PASCUAL, J., Primer discurso de ilógica , Tecnos, Madrid 1992, p. 160 y ss. También: “La cuarta dimensión: una alternativa al teorema de Fermat”, en Rev, Puig Adam , Madrid, febrero 1996, pp. 65- 73. Teorema de los cuatro cubos y ecuación del espacio real, (Opúsculo, Segovia 1975)
