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Objetivo:
Se pretende que el estudiante encuentre algebraicamente antiderivadas
1.1 DEFINICIÓN
1.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
1.2.1 FORMULAS
1.2.2 P ROPIEDADES
1.2.3 I NTEGRACIÓN D IRECTA
1.2.4 I NTEGRACIÓN POR S USTITUCIÓN
1.2.5 I NTEGRACIÓN POR P ARTES
1.2.6 I NTEGRALES DE F UNCIONES T RIGONOMÉTRICAS
1.2.7 I NTEGRACIÓN POR S USTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
1.2.8 I NTEGRALES DE F UNCIONES R ACIONALES.
FRACCIONES P ARCIALES
1.2.9 I NTEGRACIÓN DE FUNCIONES R ACIONALES
TRIGONOMÉTRICAS
En la antigüedad existían dos problemas a resolver, el de la recta
tangente y el área bajo una curva. El problema de la determinación de
la ecuación de la recta tangente fue resuelto con la derivada y ya fue
tratado en cálculo diferencial. El problema del cálculo del área bajo una
curva se lo resuelve con las nociones del cálculo integral los cuales
expondremos en este curso. Sin embargo empezaremos en este capítulo
hallando antiderivadas y en el siguiente capítulo utilizaremos
antiderivadas para el propósito del cálculo integral.
1.1 DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA O INTEGRAL
INDEFINIDA
Llamamos a F una antiderivada, primitiva o
integral indefinida de f en el intervalo I , si
D F ( x ) f ( x ) x = es decir F ´( x )= f ( x )
1.1.1 Notación
La notación que emplearemos para referirnos a una
antiderivada es la siguiente:
∫
f ( x ) dx = F ( x )+ C
1.1.2 Teorema
Si F ´( x )= G ´( x ) , ∀ x ∈( a , b ) entonces existe una
constante C tal que F ( x )= G ( x )+ C , ∀ x ∈( a , b )
Demostración :
Sea H ( x )= F ( x )− G ( x ) definida en un intervalo ( a , b ) entonces
H ´( x )= F ´( x )− G ´( x ). Por Hipótesis, como F ´( x )= G ´( x ) entonces H ´( x )= 0 ,
∀ x ∈( a , b ).
Como H es derivable ∀ x ∈( a , b ), entonces de acuerdo el teorema del valor medio para
derivada, ∃ x (^) 0 ∈( x , x 1 )⊆( a , b )tal que
x x
H x H x
H x
1
1 0
´( ). Haciendo H ´( x 0 )= 0
tenemos 0
1
1
x x
H x Hx
es decir H ( x )= H ( x 1 )= C.
Por lo tanto F ( x )− G ( x )= C
Las primeras 11 fórmulas se las puede entender fácilmente de
acuerdo a las formulas que se proporcionaron para derivadas.
Ejemplo 1
Calcular
∫
x dx
2
SOLUCIÓN :
Sería cuestión de emplear la formula 2.
C
x
C
x
x dx + = +
∫ (^213)
21 3 2
Ejemplo 2
Calcular
∫
dx
x
SOLUCIÓN :
Sería cuestión de emplear la formula 2.
C
x
dx x dx
x
−+
−+ −
∫ ∫^1
1 2
1
2
1
2
1
Ejemplo 3
Calcular
∫ (^) +
dx
x
2
SOLUCIÓN :
Sería cuestión de emplear la formula 17.
dx ( ) C
x
x
∫ (^) + 2 2 2
arctan
Para suma, resta de funciones y multiplicación por escalares
hacemos uso de las siguientes propiedades.
1.2.2 PROPIEDADES.
La Integral Indefinida cumple con propiedades de linealidad, es
decir:
- [ ] ∫ ∫ ∫
f ( x )± g ( x ) dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx
∫ ∫
kf ( x ) dx = k f ( x ) dx ; k ∈ R
Ejemplo 4
Calcular
∫
+ x − e dx
x
x
3 sin 4
SOLUCIÓN :
Aplicando propiedades y fórmulas:
x x e C
dx xdx edx
x
dx dx edx
x
x e dx
x
x
x
x x
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
2 ln 3 cos 4
3 sin 4
3 sin 4
3 sin 4
Para situaciones un tanto más complejas se requerirá de técnicas
para lograr el objetivo.
1.2.3 TECNICAS DE INTEGRACIÓN
1.2.3.1 INTEGRACIÓN DIRECTA.
Puede ser que, haciendo uso de recursos algebraicos, de las
propiedades y de las formulas se puedan encontrar antiderivadas.
Ejemplo 1
Calcular
( )
∫
dx
x x
x
3
3
SOLUCIÓN:
Elevando al cubo el binomio y luego simplificando para aplicar propiedades, resulta:
( )
x x x x C
C
x x x x
x dx x dx x dx x dx
x x x x dx
dx
x
x
x
x
x
x
x
dx
x
x x x dx x x
x
−
−
− −
− −
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
3
8 3
5 3
2 3
1
3
8 3
5 3
2 3
1
3
5 3
2 3
1 3
4
3
5 3
2 3
1 3
4
3
4
3
3
4
2
3
4 3
4
3
4
2 3
3
3
Una vez integrado, reemplazando " t " tenemos: dx x C
x
x =− +
∫
2 cos
sen
Ejemplo 3
Calcular
∫
x x − 1 dx
SOLUCIÓN :
Aquí empleamos el cambio de variable: t = x − 1
Del cambio de variable se obtiene: dx dt
dx
dt
Sustituyendo resulta:
∫ ∫
x x − 1 dx = x tdt
Como no se simplifica la x , debemos reemplazarla.
En este caso, despejando del cambio de variable: x = t + 1
Entonces:
( ) ( )
t t C
x tdt t tdt t t tdt t dt t dt
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
3
3
2 2
5
5
2
2
1 2
3 1
Una vez integrado, reemplazando t resulta:
x x − dx = ( x −) + ( x −) + C
∫
2
3
3
2 2
5
5
2 1 1 1
Ejemplo 4
Calcular dx
x
x arctanx e
arctanx
∫
2
SOLUCIÓN:
Separando las integrales, tenemos:
dx x
e dx x
arctanx dx x
dx x
x
arctanx
∫ ∫ ∫ ∫ +
2 2 2 2
Ahora tenemos 4 integrales, que se las trata por separado.
- dx
x
x
∫ +^1
2
. Esta integral se la resuelve por cambio de variable 1
2 t = x + , de donde
x dx
dt = 2 , entonces x
dt dx 2
Sustituyendo, resulta: dt t C x C x t
dt
t
x dx x
x = = = + = + +
∫ +^ ∫ ∫
2 ln 2 ln 1
2
- dx
∫ x +^1
2
. Esta integral es directa. dx arctanx C x
∫ +^1
2
- dx
x
x
∫ +^1
arctg
2
. Esta integral se la resuelve por cambio de variable t = arctg x , de donde
2
dx x
dt , entonces dx ( x 1 ) dt
2 = +.
Sustituyendo, resulta:
( )
( ) C
arctanx C
t x dt tdt x
t dx x
arctanx
∫ +^ ∫ ∫^22
2 2 2 2 2
- dx
x
e
arc x
∫ +^1
2
tg
. Para esta integral sirve el mismo cambio de variable, por tanto:
( )
∫ ∫ ∫
x dt edt e C e C x
e dx x
e (^) t t arctanx
arctanx t
1 1 1
2 2 2
FINALMENTE:
( ) e C
arctanx dx x arctanx x
x arctanx e arctanx
arctanx
= + − + − + ⎟
∫ 2
2 ln 1 1
2 2 2
Ejemplo 5
Calcular
∫ (^) ( ) ⎟
2 2
1 x ln x 1 x
dx
SOLUCIÓN :
Tomando el cambio de variable: (^) ⎟ ⎠
2 t ln x 1 x
Del cambio de variable:
dx x dt
x
dx
dt
x
x x
x x
x
x x x
dx
dt
2
2
2
2
2
2 2
Reemplazando, resulta:
( )
x x C
t dt t C
x t
x dt
x x x
dx
⎟^ +
∫
∫ ∫
−
2
2
1 2
1
2
2
2 2
2 ln 1
1 ln 1
Entonces du = dx y x x v = e dx = e ∫
Integrando, resulta:
} } }^ }^ }
xe e C
xe dx xe e dx
x x
v du
x
v
x
u dv
x
u
∫ ∫
Ejemplo 2
Calcular ( )
∫
2 x + 3 x − 5 sen xdx
2
SOLUCIÓN:
Haciendo 2 3 5
2
u = x + x − y dv = sen xdx.
Entonces du = ( 4 x + 3 ) dx y v = sen xdx =−cos x
∫
Por lo tanto, integrando tenemos:
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ∫
∫ ∫
x x x x xdx
x x xdx x x x x x dx
v v du u dv u
2 3 5 cos 4 3 cos
2 3 5 sen 2 3 5 cos cos 4 3
2
2 2
Ahora, la integral ( )
∫
4 x + 3 cos xdx también se la realiza por partes.
Haciendo u = 4 x + 3 y dv = cos xdx. Entonces du = 4 dx y
v = cos xdx =sen x ∫
Por tanto:
( ) ( ) (
( x ) x x
x xdx x x x dx
4 3 sen 4 cos
4 3 cos 4 3 sen sen 4
∫ ∫
FINALMENTE:
( x + x − ) xdx =−( x + x − ) x +( x + ) x + x + C
∫
2 3 5 sen 2 3 5 cos 4 3 sen 4 cos
2 2
Ejemplo 3
Calcular e xdx
x
cos
∫
SOLUCIÓN:
Haciendo
x u = e y dv = cos xdx.
Entonces du e dx
x = y (^) v = cos xdx =sen x
∫
Por tanto:
∫ ∫
e xdx = e x − xedx
x x x cos sen sen
La integral se la calcula por parte. Hacemos
∫
xe dx
x sen
x
u = e y dv = sen xdx.
Entonces du e dx
x = y v = sen xdx =−cos x
∫
Por lo tanto
∫ ∫
e xdx = − e x + e xdx
x x x sen cos cos
FINALMENTE:
∫ ∫
∫ ∫
e xdx e x e x e xdx
e xdx e x e x e xdx
x x x x
x x x x
cos sen cos cos
cos sen cos cos
Note que la última integral es semejante a la primera; entonces, despejando
C
e x e x e xdx
e xdx e x e x
x x x
x x x
∫
∫
sen cos cos
2 cos sen cos
Ejemplo 4
Calcular
∫
x ln xdx
SOLUCIÓN:
Aquí debemos tomar u = ln x y dv = xdx .(¿por qué?)
Entonces dx x
du
= y 2
2 x v = xdx =
∫
Por tanto:
( )
C
x x x
x x xdx
dx x
x x x xdx x
∫
∫ ∫
ln
ln
ln ln
2
2
2 1 2
1
2
(^21) 2
1
2 2
Ejemplo 5
Calcular
∫
ln xdx
SOLUCIÓN :
∫
x xdx 2 ln
∫
x ln xdx
∫ x
x xdx
2 sen
cos
- xdx ∫
sen
- ( ) ∫
senln xdx
- ( ) ∫
sen x lntg xdx
1.2.3.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
Cuando se integran funciones trigonométricas que no sean
directas, es necesario utilizar identidades trigonométricas. Se las ha
clasificado de la siguiente manera:
TIPO I: Integrales de la forma:
∫
xdx
n sen o
∫
xdx
n
cos
Para este caso se sugiere, lo siguiente:
- Si " n " es IMPAR usar:
x x
x x
2 2
2 2
cos 1 sen
sen 1 cos
- Si " n " es PAR usar:
1 cos 2 cos
1 cos 2 sen
2
2
x x
x x
Ejemplo 1
Calcular
∫
xdx
2
cos
SOLUCIÓN :
Usamos la regla para la potencia par:
C
x x
dx xdx
dx
x xdx
∫ ∫
∫ ∫
sen 2
1 cos 2 2
1 cos 2 cos
2
Ejemplo 2
Calcular
∫
xdx
3
sen
SOLUCIÓN :
Ahora usamos la regla para la potencia impar:
( )
∫ ∫
∫
∫ ∫
xdx x xdx
x xdx
xdx x xdx
sen cos sen
1 cos sen
sen sen sen
2
2
3 2
De esto último, la primera integral es directa y la segunda es por sustitución.
- sen xdx =−cos x ∫
∫
cos x sen xdx requiere el cambio de variable
2 t = cos x entonces dt = −sen xdx.
Reemplazando resulta: ( ) ∫ ∫
cos cos sen
3 2 2 x x xdx t dt
FINALMENTE: C
x xdx =− x + + ∫ 3
cos sen cos
3 3
Ejemplo 3
Calcular
∫
xdx
4
cos
SOLUCIÓN :
Ahora usamos la regla para la potencia par:
( )
C
x x x x
x x dx xdx
dx
x x x
dx xdx xdx
dx
x
xdx x dx
⎥^ + ⎦
⎤ ⎢ ⎣
⎡ ⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ = + + +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ = + + +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ ⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ + = + +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ = + +
⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ +
=
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
4
sen 4
2
1 sen 2 4
1
1 cos 4 2
1 sen 2 4
1
2
1 cos 4
2
sen 2 2 4
1
1 2 cos 2 cos 2 4
1
2
1 cos 2
cos cos
2
2
2 4 2
TIPO II. Integrales de la forma
∫
x xdx
m n
sen cos
1. si m ∨ n son impares
Ejemplo
Calcular
∫
−
x xdx
3 4
sen cos
SOLUCIÓN:
Como el exponente de seno es impar, hacemos lo siguiente:
( )
( ) ( ) ∫ ∫
∫
∫ ∫
− −
−
− −
x xdx x x dx
x x xdx
x xdx x x xdx
cos sen cos sen
1 cos sen cos
sen cos sen sen cos
4 2
2 4
3 4 2 4
Ambas integrales se resuelven por sustitución. Haciendo cambio de variable t = cos x de donde
dt = −sen xdx , resulta
TIPO III. Integrales de la forma: sen mx cos nxdx
∫
, sen mx sen nxdx ,
∫
cos mx cos nxdx
∫
En este caso se recomienda usar, las siguientes identidades como
sea conveniente:
[ ( ) ( )]
[ ( ) ( )]
mx nx [ ( m n ) x ( m n ) x ]
mx nx m nx m nx
mx nx m nx m nx
cos cos
cos cos
cos cos
sen sen
sen sen
sen cos
Ejemplo 1
Calcular: x xdx
∫
sen 2 cos 3
SOLUCIÓN:
Empleando la identidad trigonométrica respectiva y simplificando, resulta:
[ ( ) ( )]
( )
x C
x
xdx xdx
x xdx x xdx
∫ ∫
∫ ∫
cos 5
cos 5
sen 5 sen 2
sen 2 3 sen 2 3 2
sen 2 cos 3
Ejemplo 2
Calcular sen x sen 2 x sen 3 xdx
∫
SOLUCIÓN :
Agrupando y aplicando identidades, tenemos:
( )
[ ( ) ( )]
[ ( ) ]
[ ] [ ]
C
x x x
xdx xdx xdx
x x x xdx
x xdx x xdx
x x x xdx
x x xdx
x x xdx x x xdx
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
cos 2
cos 4
cos 6
sen 6 sen 4 sen 2 4
sen 4 sen 2 2
sen 6 sen 0 2
sen 3 cos 3 sen 3 cos 2
cos 3 sen 3 cos sen 3 2
cos 1 2 cos 1 2 sen 3 2
sen sen 2 sen 3 sen sen 2 sen 3
TIPO IV. Integrales de la forma:
∫
xdx
n tg y
∫
g xdx
n
cot
Aquí se recomienda usar las identidades:
cot csc 1
tg sec 1
2 2
2 2
g x x
x x
Ejemplo 1
Calcular
∫
xdx
3
tg
SOLUCIÓN:
( )
∫ ∫
∫
∫ ∫
x xdx xdx
x xdx
xdx xtgxdx
sec tg tg
sec 1 tg
tg tg
2
2
3 2
La segunda integral es directa, mientras que la primera es por sustitución.
t = tg x de donde dt xdx
2 =sec
FINALMENTE:
( )
x C
x
xdx tdt x
∫ ∫
lncos 2
tg
tg lncos
2
3
Ejemplo 2
Calcular
∫
g xdx
4 cot
SOLUCIÓN :
Empleando la identidad trigonométrica respectiva y aplicando propiedades, resulta:
( )
∫ ∫
∫
∫ ∫
gx xdx g xdx
gx x dx
gxdx gx gxdx
2 2 2
2 2
4 2 2
cot csc cot
cot csc 1
cot cot cot
La primera integral es por sustitución y la segunda se emplea la identidad trigonométrica
respectiva, es decir:
SOLUCIÓN :
Descomponiendo para obtener el diferencial de la secante
( )
( ) ∫ ∫
− −
142 4 434 d x
x xdx x x x xdx
sec
2
3 2 2
1 3 tg sec tg sec sec tg
y luego resolviendo, tenemos:
( ) ( )
( ) ( ) ∫ ∫
∫ ∫
−
− −
x x xdx x x xdx
x xdx x x x xdx
sec sec tg sec sec tg
tg sec sec 1 sec sec tg
2
3 2
1
2
3 2 2
1 3
estas últimas integrales se resuelven por sustitución:
{ (^ )^ { (^ )
x x
x xdx x x xdx x x xdx
dt t dt t
2
1 2
3
3
2
2
3 2
1
2
1 3
sec 2 sec
tg sec sec sec tg sec sec tg
−
− −
∫ ∫ ∫
Otras integrales trigonométricas pueden requerir tratamientos ya
definidos:
Ejemplo
Calcular
∫
xdx
3
sec
SOLUCIÓN :
Esta integral se resuelve por partes
∫ ∫
u dv
x dx x xdx
3 2
sec sec sec
Entonces si tomamos u = sec x tenemos du = sec x tg xdx y si tomamos dv xdx
2 =sec
tenemos v =tg x
Ahora, integrando
( )
xdx x x xdx x x
x x xdx xdx
x x x xdx
x x x xdx
xdx x x x x xdx
u v v du
sec sec tg sec lnsec tg
sec tg sec sec
sec tg sec 1 sec
sec tg tg sec
sec sec tg tg sec tg
3 3
3
2
2
3
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
FINALMENTE, despejamos la integral buscada
xdx x x x x C
xdx x x x x
∫
∫
sec sec tg lnsec tg
2 sec sec tg lnsec tg
2
1 2
(^31)
3
Ejercicios Propuestos 1.
Encuentre las antiderivadas de:
- ( x ) dx
∫
2 − 3 cos 2 2
∫
sen 3 xdx 3
∫
xdx 6 cos
∫
cos x sen xdx 5
∫
sen 3 x sen 5 xdx
∫
dx
x x
3
2 cos 3
sen
∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ ⎟ + ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ sen x − x dx 4
cos 3 6
2
π π
∫
cos x cos 3 xdx
2
- ( x ) ( x ) dx ∫
sen 2 cos 2
3 7
∫
cos x cos 2 x cos 3 xdx
∫
tanxdx 5
∫
c xdx 6 tg
- xdx ∫
tan 5 2
- x xdx ∫
− (^32) tg sec 5
∫ x x
dx
2 2 sen cos
∫ (^) ( ) ( ) 2
3 2
x x Sen Cos
dx
∫ x x
dx
2 4 sen cos
( )
∫
x
sen cos
sen 4
∫ x x
dx
sen cos
2
∫
xdx 3 csc
1.2.3.5 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA.
Se trata ahora de convertir las integrales dadas en directas
mediante una sustitución trigonométrica. Usualmente presenta la
forma de radicales con suma o diferencia de cuadrados, en tal caso se
recomienda:
Si tenemos
2 2 a − x sustituir
x = a sen t
Si tenemos
2 2 a + x sustituir
x = a tg t
Si tenemos
2 2 x − a sustituir
x = a sec t
