©Mª Teresa González Manteiga
INTEGRAL INDEFINIDA
Se llama integral indefinida de
()fx
y se designa por
( ) f x dx
al conjunto de todas
las primitivas de
()fx
.
La función
()px
es una función primitiva de
()fx
si
'.p x f x
Si
()px
es una primitiva de
()fx
, entonces
()px
+C es también una primitiva de
()fx
ya que
( ( ) )' 'p x C p x f x
.
Si dos funciones
12
( ) y ( )p x p x
son ambas primitivas de una misma función
( ),fx
entonces
12
' ' 0p x p x
y en consecuencia
12
( ) - ( )p x p x C
, una constante. Por
tanto:
( ) ( ) , siendo ' . f x dx p x C p x f x
La función
()fx
se suele llamar integrando.
Propiedades de la integral indefinida:
Por ser
'p x f x
la diferencial de
()px
es
'p x dx f x dx
.Por tanto:
( ) ( ) = ( ) f x dx dp x p x C
Esto significa que la diferenciación y la integración son dos operaciones inversas
una de la otra.
Integral de una constante por una función:
. ( ) ( ) K f x dx K f x dx
Integral de una suma de funciones:
( ) ( ) ( ) + ( ) g x h x dx g x dx h x dx
Integración por partes:
Como consecuencia de la diferencial de un producto:
( . ) . .d u v u dv v du
( . ) . .d u v u dv v du
de donde:
. . .u dv u v v du
que se conoce como la fórmula de integración por partes.
Integración por sustitución o cambio de variable:
Sabemos que si
( ),siendo ( )f x g u u u x
entonces
' ' . 'f x g u u x
por tanto
. ' f x dx g u u x dx g u du
y si esta integral es más fácil de
calcular, una vez obtenido el resultado como función de u se deshace el cambio para dar
el resultado como función de x.
