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UNIDAD 3: INTEGRAL INDEFINIDA
ÍNDICE DE LA UNIDAD
1.- INTRODUCCIÓN. .................................................................................. 1
2 .- PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. ............................................................ 2
3.- INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES ........................................... 2
4.- INTEGRACIÓN INMEDIATA. ................................................................ 3
5.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE..................................... 5
6 .- INTEGRACIÓN POR PARTES.............................................................. 6
7.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES.................................. 6
8.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ...................... 8
9.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES .............................. 11
10.- ACTIVIDADES .................................................................................... 12
11.- SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES................................................. 18
1.- INTRODUCCIÓN.
El Cálculo Integral , que es una de las más importantes y complejas partes del
Análisis Matemático tiene su origen en el estudio del área de figuras planas. Las
fórmulas para el cálculo de las áreas de triángulos y rectángulos eran ya conocidas en la
Grecia Clásica, así como la de los polígonos regulares previa descomposición en
triángulos.
El problema se plantea a la hora de calcular áreas de figuras limitadas por líneas
curvas. Euclides (300 a.C.) sigue los trabajos de Eudoxio (400-355 a.C.) para calcular el
área del círculo por el método de exhaución , es decir, inscribiendo en él sucesivamente
polígonos con más lados. La suma de estas áreas se aproximaba cada vez más al área
del círculo, estando en el “límite” el valor exacto
Arquímedes (2 87 - 212 a.C.) halló también el área encerrada por un arco de
parábola y la cuerda correspondiente, cosa realmente difícil en aquel tiempo, ya que no se
disponía del álgebra formalizada ni de la geometría analítica. El método utilizado era el de
agotamiento, esto es, se encaja el área entre dos polígonos, uno inscrito en la región y
otro circunscrito a la región.
Desde los griegos hasta el siglo XVII poco se hizo con relación al cálculo de áreas
y volúmenes de figuras limitadas por líneas o superficies cerradas. Pascal, Fermat y
Leibniz comienzan un estudio engarzado con el cálculo diferencial; así pues, aunque
históricamente se estudian los primeros elementos del cálculo integral antes que el
diferencial, en el siglo XVII se estudian y configuran a la par, relacionándose por medio de
muchos e importantes resultados.
En esta primera de las dos unidades que dedicaremos al cálculo integral, nos
centraremos en el Cálculo de Primitivas , herramienta necesaria para la segunda unidad,
en la que aplicaremos lo visto en esta para el cálculo de áreas.
2.- PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
Definición 1: Sean f ( ) x y F ( ) x dos funciones reales definidas en un mismo dominio D.
Se dice que F es una primitiva de f si se cumple que F '( ) x = f ( ) x ∀ x ∈ D.
Ejemplo 1: Sin más que recordar la tabla de derivadas, es evidente que:
a) F ( ) x = senx es una primitiva de f ( ) x = cos x en .
b) F ( ) x = ln x es una primitiva de ( ) ( )
f x en 0, x
Proposición 1: Si F ( ) x es una primitiva de f ( ) x , entonces F ( ) x + C es también una
primitiva de f ( ) x ∀ C ∈ .
Proposición 2: Si F ( ) x y G x ( ) son dos primitivas de una función f ( ) x , entonces
G x ( ) = F ( ) x + C. Es decir, dos primitivas de una misma función se diferencian en una
constante.
Nota 1: Según hemos visto en la proposición anterior para hallar todas las primitivas de
una función f ( ) x , basta calcular una primitiva concreta F ( ) x , ya que las infinitas
primitivas de dicha función serán todas las de la forma: F ( ) x + C , con C una constante
cualquiera.
3.- INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES
Definición 2: Se llama integral indefinida de una función f^ ( ) x^ al conjunto de todas las
primitivas de f ( ) x. A dicho conjunto lo representaremos por ∫ f ( ) x dx.
Ejemplo 2: Sin más que recordar el ejemplo 1, se concluye que:
a) ∫ cos x dx = senx + C. b)
dx ln x C x
∫ =^ +.^ c)^
x x
∫^ e dx^ =^ e^ + C
Proposición 3: (Linealidad de la integral indefinida)
a) ( f ( ) x ± g ( ) x ) dx = f ( ) x dx ± g ( ) x dx
b) f ( ) x dx = f ( ) x dx ∀ ∈
Antes de comenzar con todos los métodos de integración, conviene recordar
(porque las necesitaremos en muchas integrales), además de las propiedades de los
logaritmos vistas en la unidad anterior, las principales relaciones trigonométricas que
resumimos en la siguiente tabla:
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
2 2 sen x + cos x = 1
2 2 1 + tg x = sec x
2 2 1 + cotg x =cosec x
sen tg cos
x x x
cos cotg sen
x x x
sec cos
x x
cosec sen
x x
sen ( x + y )= sen x ⋅ cos y + cos x ⋅ sen y sen( x − y )= sen x ⋅ cos y − cos x ⋅sen y
cos ( x + y )= cos x ⋅ cos y − sen x ⋅ sen y cos ( a − b ) = cos a ⋅ cos b + sen a ⋅sen b
tg tg tg 1 tg tg
a b a b a b
tg tg tg 1 tg tg
x y x y x y
sen2 x = 2sen x ⋅ cos x
1 cos sen 2 2
x − x
2 2 cos 2 x = cos x − sen x
1 cos cos 2 2
x + x
2
2 tg tg 1 tg
x x x
1 cos tg 2 1 cos
x x
x
( (^ )^ (^ ))
sen sen cos cos 2
x ⋅ y = x − y − x + y ( ( ) ( ))
cos cos cos cos 2
x ⋅ y = x − y + x + y
( (^ )^ (^ ))
sen cos sen sen 2
x ⋅ y = x + y + x − y ( ( ) ( ))
cos sen sen sen 2
x ⋅ y = x + y − x − y
Nota 3: En muchos casos de integrales trigonométricas, resulta muy útil reducir los
exponentes pares. Esto se consigue despejando en la fórmula del coseno del ángulo
doble, obteniéndose las relaciones:
a)
2 1 cos 2 sen 2
x x
= b)
2 1 cos 2 cos 2
x x
Nota 4: (Integración por descomposición) Aunque la aplicación de las propiedades de
linealidad de la integral vistas en la proposición 3 no es realmente un método de
integración considerado como tal, es uno de los métodos más utilizados o combinados
con otros, proporcionándonos, en muchos casos, soluciones sencillas a determinadas
integrales. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 4:
a) (^) ( ) ( )
2 2 2 tg x dx = 1 + tg x − 1 dx = 1 + tg x dx − dx = tg x − x + C
b)
2 2
2 2 2 2 2 2
sen cos tg cotg sen cos sen cos cos sen
dx x x dx dx dx x x C x x x x x x
c)
2 2
2 2 2
arctg 1 1 1
x x dx dx dx dx x x C x x x
d)
dx dx dx x C x x x
∫ =^ ∫ =^ ∫ =^ +
e) (^) ( )
2 1 cos2^1 1 1 1 cos cos2 2cos2 sen 2 2 2 2 2 4
x xdx dx dx xdx x xdx x x C
Como se puede ver en el ejemplo, la estrategia de sumar y restar una misma
cantidad, al igual que la de multiplicar y dividir por una misma cantidad, resulta bastante
útil en determinados casos y ayuda a simplificar el cálculo de determinadas integrales.
Se proponen las actividades 1 y 2.
5.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE
Aunque el método de integración por sustitución o cambio de variable se aplica en
numerosas situaciones, su origen está en la regla de la cadena utilizada en la derivación.
En efecto, si f ( ) x es una función cuya primitiva es F ( ) x , entonces, F g ( ( ) x ) será una
primitiva de f ( g ( ) x ) g '( ) x , sin más que utilizar la regla de la cadena, porque
( F^ ( g^^ ( ) x^ )) '^ =^ F^ '^ ( g^ ( ) x^ ) g^ '^ ( ) x^^ =^ f^ ( g^ ( ) x^ ) g^ '( ) x , con^ lo que^ ∫ f^ ( g^ ( ) x^ ) g^ '( ) x dx^^ =^ F g (^ ( ) x^ )+ C.
En la práctica utilizaremos la notación: ( ( )) ( )
t g x f g x g x dx f t dt dt g x dx
con
el objetivo de simplificar dicha integral, es decir, el cambio de variable es un buen método
cuando se obtiene una integral más sencilla de resolver que la primera. En principio la
dificultad para aplicar este método radica en saber qué cambio hay que hacer. Esta
dificultad la salvaremos con la práctica y algunos cambios recomendados que veremos
más adelante.
Ejemplo 5:
a)
5 4 sen^4 sen cos sen cos 5 5
t x (^) t x x dx t dt C x C dt x dx
b)
3 1 3 1
x t t t x
t x dt e dx (^) dt e e dt e C e C dt dx dx
c)
( )
2 2 4 2 2 2
arcsen arcsen 1 2 2 2 1 2 2 1
x t x x dt dx dx t C x C x dt^ xdx t x
d)
2 3 2 3 2 (^3 2 )
ln ln 5 (^5) (3 10 )
x x t^ x^ x dt dx t C x x C x x (^) dt x x dx t
− =^ −
Se propone la actividad 3.
2º) Sustituyendo en la integral y aplicando la linealidad de la integral, obtenemos:
( )
( ) ( ) (^) ( ) ( ) ( ) (^) ( ) ( )
1 1
11 12 1 1 2 2 2 (^1 1 )
... ........ ... n n
m (^) n n nm m m n (^) n n
P x (^) A A A^ A A A
Q x x a (^) x a x a x a x a x a
= + + + + + + − (^) − − − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
3º) Resolvemos por separado cada una de estas integrales, que son inmediatas.
Caso 2: gr ( P ( ) x ) ≥ gr Q x ( ( ))
En este caso, efectuamos la división y obtenemos la igualdad:
P x R x C x Q x Q x
= + , con
lo que
, siendo ( ) el cociente y ( )el resto
P x R x C x C x R x Q x Q x
∫ =^ ∫ +∫.^ El^ primer
sumando es inmediata (polinómica) y el segundo sumando se resuelve procediendo como
en el caso 1.
Veamos esto con más claridad con algunos ejemplos:
Ejemplo 8:
a) (^2)
x 2 dx x x
- Lo primero que observamos es que el grado del numerador es menor que el del
denominador, así pues, no es necesario dividir. Pasamos directamente a descomponer en
fracciones simples el integrando:
- Factorizamos el denominador: (^) ( )
2 x + x = x x + 1
2 (^ )
x A B A x^ Bx x A x Bx x x x x x x
− +^ +
- Llegados a este punto, se puede proceder de dos formas para determinar A y B:
o Igualando coeficientes: ( )
A B A
x A B x A A B
+^ =^ = −
= −^ =
o Sustituyendo en dos valores:
x A A
x B B
=^ →−^ =^ = −
= − →−^ = −^ =
2ln 3 ln 1 1 1
x x dx dx dx x x C x x x x x x x x
b)
4
3 2
x dx x x x
- Lo primero que observamos es que el grado del numerador es mayor que el del
denominador, así pues, es necesario dividir:
4 2
3 2 3 2
x x x x x x x x x x
2 2
3 2 2 2
x x A B C^ A x^ Bx x^ Cx
x x x x x (^) x x x
− − −^ +^ −^ +
- Sustituyendo en tres valores:
x A A
x C C
x A B C B
=^ →^ =^ →^ =
=^ → −^ =^ −^ +^ →^ =^ +^ +^ =
4 2
3 2 3 2 2
x x x dx x dx x dx dx dx dx x x x x x x x x (^) x
2 1 49 15 4 ln ln 2 2 4 4 2 2
x x x x x
Se propone la actividad 5
8.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
La integración de funciones trigonométricas es, en general, un proceso largo y
laborioso. Los métodos que se pueden utilizar son diversos, aunque destaca la utilización
de determinados cambios de variable que veremos a continuación. Como norma general,
cuando nos encontremos con una integral trigonométrica, podemos recomendar probar
con lo siguiente (en ese orden):
1.- Simplificar el integrando lo máximo posible utilizando las relaciones trigonométricas.
Suele ser útil, a menudo poner el integrando en función de seno y coseno.
2.- Observar si es inmediata o si se puede transformar por descomposición en integrales
más sencillas utilizando las relaciones trigonométricas.
3.- Si después de probar con lo anterior no se resuelve de manera sencilla, escribirla de la
forma f ( sen x ,cos x ), siendo una función en la que aparecen operaciones elementales
(suma, resta, producto, cociente, potencia) y se recomiendan los siguientes cambios de
variable:
- Si la función es impar en seno, es decir, si f (^) ( − sen x ,cos x (^) ) = − f (^) ( sen x ,cos x )
En este caso, se recomienda el cambio de variable
cos
sen
t x
dt x dx
Ejemplo 9: (^) ( )
3 cos 2 2 sen sen sen 1 cos sen sen
t x x dx x x dx x x dx dt x dx
( )(^ )^ ( )
3 3 2 2 cos 1 1 cos 3 3
t x
= ∫ − t − dt = ∫ t − dt = − t + C = − x + C
- Si la función es impar en coseno, es decir, si f (^) ( sen x , − cos x (^) ) = − f (^) ( sen x ,cos x )
En este caso, se recomienda el cambio de variable
sen
cos
t x
dt x dx
2 2 3 1 4 2 4 4 4 3
3 1 3 tg tg
t t t t dt dt t t dt C C t t t x x
− −
- (^) − − − = = + = + = + + = − + − −
b) Si utilizamos las fórmulas de la nota 3:
4 2 2
sen (^1) cos2 1 cos
dx dx dx
x (^) x x
−^ −
∫ ∫ ∫ , cuya
resolución es bastante más larga y compleja que con el cambio de variable.
- Cambio general o universal
El siguiente cambio es válido para cualquier caso. No obstante, al ser algo más complejo,
conviene reservarlo para cuándo no se pueda resolver la integral con los anteriores.
El cambio es:
2
2
2
2
sen 1 tg (^2 ) cos 1
2
1
t x x (^) t t t x t
dt dx t
Veamos la demostración: ( )
1 cos 2 1 cos (^2) 1 cos 1 cos 2 1 cos 1 cos
x x x t tg t t x x x x
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cos 1 cos cos 1 1 cos 1 1 1
t t t t x x x t t x senx t t
( ) ( )
4 2 4 2 2
2 2 2 2 2
t t t t t t
t t t
Por otra parte, si (^2)
arctg 2 arctg 2 2 1
x x dt t tg t x t dx t
Ejemplo 12:
2
(^2 2 )
2 2 2 2
2 2
2
sen (^1 2 ) tg (^2 1 1 ) cos 3 5cos 1 1 8 2 4 3 5 2 1 1
1
t x x t (^) dt t dx (^) t (^) t t dt x dt x (^) t t t t
dt t^ t dx t
−^ +^ +
+ ^ + − − −
2
ln ln 4 4 2 4 2 4 2 4 2 2
Descomponemos
x tg t dt dt dt C t t t t x tg
Nota 6: Hay un caso particular de integrales trigonométricas, que son las del tipo
∫ sen^ ^ x^ ⋅cos x dx ,^ ∫ sen^ ^ x^ ⋅sen x dx ,^ ∫ cos^ ^ x^ ⋅cos x dx y cuya resolución es un tanto
particular, ya que se utilizan las relaciones trigonométricas que vimos en el punto 4.
Concretamente son las siguientes:
sen ( x + y )= sen x ⋅ cos y + cos x ⋅ sen y sen( x − y )= sen x ⋅ cos y − cos x ⋅sen y
cos ( x + y )= cos x ⋅ cos y − sen x ⋅ sen y cos ( a − b ) = cos a ⋅ cos b + sen a ⋅sen b
Se trata de buscar dos es estas relaciones que tengan en común el radicando y sumar o
restar, según sea más apropiado. Veamoslo de forma más clara con un ejemplo:
Ejemplo 13: sen2 x ⋅cos5 x dx
Buscamos dos de las relaciones en la que aparezcan. En este caso es evidente que son
las de la primera fila.
Basta aplicar las igualdades:
sen 5 2 sen5 cos 2 cos5 sen
sen 5 2 sen5 cos 2 cos5 sen
x x x x x x
x x x x x x
−^ =^ −
Si restamos, obtenemos: sen7 x − sen3 x = 2cos5 x sen2 x.
Así pues, ( )
sen2 cos5 sen7 sen3 cos7 cos 2 14 6
x x dx x x dx x x C
∫ ⋅^ =^ ∫ −^ =^ +^ +
Se propone la actividad 6
9.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES
En general, aunque la palabra irracional se refiere a algo mucho más extenso,
cuando hablamos de integración de funciones irracionales, entenderemos que nos
referimos a integrales en las que la variable x se encuentra dentro de una raíz.
Este tipo de integrales es uno de los que presenta mayor complejidad al nivel que
nos movemos en Bachillerato y son muchos los casos que se nos pueden presentar. Por
lo general y, en las integrales que nos encontraremos en este curso, suele funcionar
alguna de las siguientes estrategias, que recomendamos probar en este orden:
1º) Hacer un cambio de variable, llamando al radicando
n t , siendo n el índice de la raíz.
En el caso de que haya varias raíces en el integrando, tomaremos como n el mínimo
común múltiplo de los índices.
2º) A veces, aunque son escasas, suele funcionar también un cambio de variable
llamando t al radicando sin más.
3º) Para determinadas integrales, se pueden hacer los siguientes cambios de variable de
tipo trigonométrico:
2 2
∫ R x^ ( ,^^ a^ −^ x^ )^ dx^ →^ x^ =^ a^ sen^ t^ o bien^ x^ = a^ cos t
2 2
∫ R x^ ( ,^^ a^ +^ x^ )^ dx^ →^ x^ = a^ tg t
n)
dx x −
ñ)
dx x
o)
5 2 x dx
p)
dx x
q) 2 6
dx
x +
r) 2cos x dx
s)
x 1 e dx
t)
2 x e dx
u) sen 2
x dx
v) tg x ⋅sec x dx
w)
1 3
x dx
x)
2 tg 2 x dx
y) tg x dx
Actividad 2: Halla el valor de las siguientes integrales por descomposición:
a)
3 2 (3 x − 5 x + 4 x −7) dx
b)
4 2
2
7 x 5 x 3 x 4 dx x
c) 2
1 dx x
d)
3
x dx x −
e)
3 3 5
3
x x dx x
f)
x 1 dx x
g) ∫ ( 3 x −5cotg x dx ) h)
1 cos
dx − x
i) (^) ( 5cos (^3) )
x
∫^ x^ + dx j)
2
2
x dx x
∫ k)^2
x dx x
∫ l)^2
x dx x x
Actividad 3: Halla el valor de las siguientes integrales mediante un cambio de variable:
a)
2
3
x dx x x
∫ b)^4
x dx
∫ c)^2
dx − x
∫ d)^
2 x^32 x e dx
−
∫^ ⋅
e) (^) ( )( )
2 7 2 x − 3 x − 3 x dx
f)
3 2
4 3
x x dx x x
g) 2 ln
dx
x x
h)
3 sen x cos x dx
i) (^) ( )
2
∫ x^^ cos 3^ x^ −^1 dx j)
ln 5
x dx x
∫ k)^ (^ )^
1 1
x x e e dx
∫ + l)^
ln x dx x
m) 2
cos
1 sen
x dx
n) 4
x dx − x
ñ) ( )
3
2 4 cos 1
x dx
x +
o)
sen cos
sen cos
x x dx x x
p)
dx x + x
∫ q)^2
1 tg
cos
x dx x
∫ r)^
sen x dx x
∫ s)^2
x dx − x
Actividad 4: Halla el valor de las siguientes integrales aplicando el método de integración
por partes:
a) ∫ x cos x dx b)
3
∫ x^ ln x dx c)^ ∫ x^ arctg x dx d)^ sen
x
∫^ e^ x dx e)^ cos
x
∫^ e^ x dx
f)
2 ∫ x^ sen x dx g)^ ∫ arctg^ x dx h)^ ∫ arcsen^ x dx i)^ (^ )
2
∫^ ln^ x^ +^1 + x^ dx
Actividad 5: Halla el valor de las siguientes integrales racionales:
a)
3 2
3
x x x dx x x
∫ b)
2
3
3 x 5 x 1 dx x
∫ c)
3
x dx x
∫ d)^3
x dx x x x
e)
3
2
x dx x
∫ f)
2
x dx x x
∫ g)
4
3 2
x dx x x x
∫ h)^3
x dx x x x
i) (^3 ) 3 3
dx
x + x − x −
j) (^3 )
x dx x x x
k)
3
3 2 5 8 4
x dx x − x + x −
Actividad 6: Halla el valor de las siguientes integrales trigonométricas:
a)
3 2
∫ sen^ x^ cos x dx b)^
sen
dx
x
∫ c)^3
sen cos
dx
x ⋅ x
∫ d)^
4cos 3 sen 5
dx
x + x +
e) sen cos
dx
x + x
∫ f)^2
9cos sen
dx
x − x
∫ g)^
4 3 sen x ⋅cotg x dx
h)
2
3
sec
cosec
x dx x
i)
3 sen
2 cos
x dx
j)
5 sen x dx
k)
4 cos 2 x dx
l) sen5 x ⋅sen x dx
m) cos 4 x ⋅cos 6 x dx
n)
3 2 tg x ⋅sec x dx
Actividad 7: Halla el valor de las siguientes integrales irracionales:
a)
2 2
∫ x^^4 −^4 x dx b)^
2 3 2
dx
x + x
∫ c)^2
dx
x + x
∫ d)
2 2 x 8 dx x
∫ e)
2 x 4 dx x
f)
x dx x
∫ g)^
2 4 − 9 x dx
h) 1
dx
x − x
∫ i)^
x dx x
ACTIVIDADES DE DESARROLLO
Actividad 8: Halla el valor de las siguientes integrales:
a)
4
5 2
x x dx x x
∫ b)
arcsen
2 1
x x e dx x
∫ c)^
3 2sen cos
dx
∫ d)^ (^ )
2
∫ x^ ⋅^ sen^ x^ +^4 dx
e) 3
x
∫^ x e ⋅^ dx f)^
2
∫ x^ ⋅^1 +^3 x^ dx g)^ (^ )^ (^ )
2 2
∫ sen^ x^ +^ 1 cos^ x^ +^1 dx h)^
cos ln( x )
dx x
i) ( )
2 1 sen 2 1
x e x dx
∫ + j)^ (^ )
3 1
x x
∫ +^^ e^ ⋅ e^ dx k)^ ∫ sen 6^ x^ ⋅cos 3 x dx l)^
x x dx x
m)
5 3 4 5 x x dx x
∫ n)^ ∫ (^ x^ −^1 )^ x^ −^1 dx ñ)
2
3
x dx x + x
∫ o)^
3
sen ln
cos ln
x dx x x
p)
ln 1
x dx x
∫ q)^ ∫ 1 +cos 2 x dx r)^2
x
x x
e dx e − e
∫ s)^ (^ )
3
∫ x^ sen^ x^ −^3 dx
t)
5 cos
dx
u) 2 4
dx
x + x
v)
2 sen ln
dx
x x
w) (^3 )
x dx x x x
x)
2 3
1
x x
x
e e dx e
∫ y)^ ∫ (^ x^ −1 arctg) x dx z)^
x dx x
Actividad 9: Halla la función cuya derivada sea la siguiente y que pase por el punto dado:
a) ( ) ( )
3 ' pasando por el punto 0,
x f x = e
b) ( ) ( ) ( )
2 g ' x = x − 1 pasando por el punto 0,
Actividad 10: Determina la función f tal que f '' ( ) x = −2sen2 x ; f ( ) 0 = 1 y f ( / 2 )= 0
Actividad 20: (2004) De la función f : ( −1, + ∞ )→ se sabe que ( )
2
f x x
y que
f ( ) 2 = 0.
a) Determina f.
b) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0, 1).
Actividad 21: (2005) Calcula la integral
3 2
2
x x x dx x x
Actividad 22: (2005) Calcula las siguientes integrales:
a) ∫ cos 5( x + 1 ) dx b)
3
dx
x +
∫ c)^
3 x xe dx
−
Actividad 23: (2005) De la función f : → definida por ( ) ( )
2 f x = x sen 2 x. Calcula la
primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto ( 0,1).
Actividad 24: (2006) Calcula:
a)
2
2
x x dx x
∫ b)^ (^ )^ (^ )
2
∫ 2 x^ −^3 ⋅^ tg^ x^ −^3 x dx siendo tg la función tangente.
Actividad 25: (2006) Sea la función f : → sabiendo que f '' ( ) x = 12 x − 6 y que la
recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisas x = 2 tiene de ecuación
4 x − y − 7 = 0.
Actividad 26: (2006) Calcula (^) ( )
2 1
x x e dx
−
∫^ −
Actividad 27: (2006) Sea f : 0,4[ ]→ una función tal que su función derivada viene
dada por ( )
x si x f x
x si x
<^ <
a) Determina la expresión de f sabiendo que ( )
f =
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.
Actividad 28: (2007) Determina la función f : → sabiendo que su derivada viene
dada por ( )
2 f ' x = x + x − 6 y que el valor que alcanza f en su punto de máximo (relativo)
es el triple del valor que alcanza en su punto de mínimo (relativo).
Actividad 29: (2007) Dada la función f : → definida por (^) ( ) (^) ( )
2 f x = Ln 1 + x , halla la
primitiva de f cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas (Ln denota logaritmo
neperiano).
Actividad 30: (2007) Sea
I (^) xdx e
a) Expresa I haciendo el cambio de variable
x t = e.
b) Calcula I.
Actividad 31: (2007) Calcula:
a) (^2)
x dx x
∫ b)^ ∫ x^ cos 2(^ x dx )
Actividad 32: (2007) Determina la función f : → sabiendo que ( )
2 f '' x = x − 1 y que la
recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0 es la recta y = 1.
Actividad 33: (2008) Considera las funciones : 0, 2
f
y g : 0,( + ∞ )→ definidas
por ( ) 3
sen
cos
x f x x
= y ( )
3 g x = x ln x (ln denota logaritmo neperiano)
a) Halla la primitiva de f que toma el valor 1 cuando 3
x
= (se puede hacer el cambio de
variable t = cos x ).
b) Calcula ∫ g ( ) x dx.
Actividad 34: (2009) Sea f función definida por ( )
4 4 9
x f x x
. Halla la primitiva F de f
que cumple que F ( ) 0 = 3. (Sugerencia: utiliza el cambio de variable
t = x )
Actividad 35: (2010) Sea f : ( −2, + ∞ →) la función definida por f ( ) x = ln ( x + 2 ). Halla
una primitiva F de f que verifique F ( ) 0 = 0. (ln denota logaritmo neperiano).
Actividad 36: (2010) Sea
x
I dx e
−
a) Expresa I haciendo el cambio de variable
2 x t e
− =.
b) Determina I.
Actividad 37: (2010) Sea la función f dada por ( ) 2
f x x x
para x ≠ 1 y x ≠ 0.
Determina la primitiva F de f tal que F ( ) 1 = 1.
Actividad 38: (2011) Sea f : 0,( + ∞) → la función definida por f ( ) x = x ( 1 − ln x ), donde
ln denota el logaritmo neperiano. Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto
P ( 1,1).
e)
( )
2 8 3
x x C
ln 2 1 2
x − x + + C g)
ln
C
x
4 sen
4
x
i) (^) ( )
sen 3 1 6
x − + C j)
ln 5
ln
x
x e + e + C l)
ln 2
x + C
m) arctg sen( x )+ C n) (^) ( )
arcsen 3 2 3
x + C ñ) (^) ( )
tg 1 4
x + + C
o) − ln sen x + cos x + C p) 2arctg x + C q)
2 1 tg
2
x C
s)
2 − 1 − x + C
Actividad 4:
a) cos x + x sen x + C b)
(^4 ) ln
4 16
x x (^) x − + C c)
2 1 arctg 2 2
x x x C
d)
( sen^ cos )
x e x x C
( sen^ cos )
x e x x C
2 − x cos x + 2 x sen x + 2cos x + C
g) (^) ( )
arctg ln 1 2
x x − + x + C h)
2 x arcsen x − 1 − x + C i) (^) ( )
2 2 x ln x + 1 + x − 1 + x + C
Actividad 5:
a) x + 7ln x + 2 + 2ln x − 3 − 5ln x + 1 + C b) (^2)
3ln 2
x C x x
2
x C x
d)
ln 1 ln 1 1
x x C x
e)
ln 1 ln 1 2 2 2
x − x − + x + + C
f)
ln 1 ln 1 4 4 2 1
x x C x
g)
ln 1 ln 3 2 8 2 1 8
x x x x C x
h)
ln ln 3 9 9 3 3
x x C x
i)
ln 1 ln 1 ln 3 4 8 8
x x x C
j) − ln x − 1 + ln x − 2 + c k)
ln 1 4ln 2 2
x x x C x
Actividad 6:
a)
5 3 cos cos
5 3
x x − + C b)
ln 1 cos ln 1 cos
2
x x C
2 sec ln sen ln cos 2
x x − x + + C
d)
tg 3 2
C
x
e)
ln 1 2 tg ln 1 2 tg 2 2 2
x x C
+^ +^ −^ −^ +^ +
^ ^ ^
f) ( )
ln 3 tg ln 3 tg 6
cos 4
x C
i)
2 cos 3ln 2 cos 2cos 2
x
cos cos cos 3 5
− x + x − + C
k)
sen 4 sen 8 8 64
x + x + x + C l)^
sen 4 sen 8 12
x − x + C
m)
sen10 sen 20 4
x + x + C n)
sec sec 4 2
x − x + C
Actividad 7:
a) ( )
arcsen sen 4arcsen 4 16
x − x + C b)
2 2 ln 3 2 3 ln 3 2 3
x x C
c)
2 2 3
3
x C x
2 2 4 2 8 8 arctg 2
x x C
− − + e)
2 2 4 4 2arctg 2
x x C
f) ( )
ln 1 ln 1 1 1 1 1
x x x x C x x x
g)
arcsen 4 9 3 2 2
x x
h) ln 1 − x + 1 − ln 1 − x − 1 + C i) ( )
4 4ln 1 3
x x − x + x − x + + C
Actividad 8:
a)
5 2
ln x + 3 x + 1 + C b) ( ( ))
(^1) arcsen cos arcsen 2
x e ⋅ x − x + C c) arctg 1 tg 2
x C
+^ +
d) ( )
cos 4 2
x C
+ + e) 3 ( 1 )
x
e x − + C f) ( )
g) ( )
cos 4 4 8 32
x
− x + + C h) sen ln( x )+ C i) ( ( ) ( ))
sen 2 1 cos 2 1 4
x e x x C
j) ( )
x e + + C k)
cos9 cos 12 6
x x C
− + l)
x x
m)
x x + x x + C n) ( )
x − x − + C ñ) ( )
ln 1 2
x + + C
o) ( )
sec ln 2
x + C p) ( x − 1 ln) x − 1 − ( x + 1 ln) x + 1 + C q) 2 sen x + C
r)
(ln 3 ) 3
x
e − − x + C s) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 3 x − 2 sen x − 3 + 6 x − x cos x − 3 + C
t)
arctg tg 6 3 2
x C
^
u) ( )
ln 4 2 ln 4 2 4
+ x − − + x + + C v) − cotg ln( x )+ C
w)
ln ln 2 ln 3 6 10 15
x x x C
+ − − + + x) 3 4ln 1( )
x x − e + + e + C
y) ( ) ( )
1 arctg ln 1 2 2
x − x − x − x + + C z) ( )
x x C
Actividad 9:
a) ( )
3 2
3
x e f x
= b) ( )
3 1 1
3
x g x
Actividad 10: ( )
sen2 1 2
f x x x
